云南省大理、麗江、怒江2024屆數(shù)學高二下期末統(tǒng)考試題含解析

云南省大理、麗江、怒江2024屆數(shù)學高二下期末統(tǒng)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的長軸長為（）A．1 B．2 C． D．42．已知集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為A．1， B． C． D．3．設是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點．若，則雙曲線的離心率是（）A． B．2 C． D．4．已知定義在上的函數(shù)滿足：函數(shù)的圖象關于直線對稱，且當成立(是函數(shù)的導函數(shù)),若，，,則的大小關系是（）A． B． C． D．5．若函數(shù)的定義域為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知直線與圓相交所得的弦長為，則圓的半徑（）A． B．2 C． D．47．已知函數(shù)，則使得成立的的解集為（）A． B． C． D．8．設函數(shù)滿足下列條件：（1）是定義在上的奇函數(shù)；（2）對任意的，其中，常數(shù)，當時，有.則下列不等式不一定成立的是（）.A．B．C．D．9．已知雙曲線my2－x2＝1(m∈R)與橢圓＋x2＝1有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x10．設表示不超過的最大整數(shù)（如，）.對于給定的，定義，.若當時，函數(shù)的值域是（），則的最小值是（）A． B． C． D．11．五名應屆畢業(yè)生報考三所高校,每人報且僅報一所院校,則不同的報名方法的種數(shù)是()A． B． C． D．12．已知{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a3=6，S3=12，則公差d等于（）A．1 B． C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，兩條距離為4的直線都與軸平行，它們與拋物線和圓分別交于，和，，且拋物線的準線與圓相切，則的最大值為______.14．直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則的傾斜角大小為__________．15．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)，使得成立的概率為．16．已知直線：，拋物線：圖像上的一動點到直線與到軸距離之和的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)在(1)的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.18．（12分）（1）若展開式中的常數(shù)項為60，求展開式中除常數(shù)項外其余各項系數(shù)之和；（2）已知二項式（是虛數(shù)單位，）的展開的展開式中有四項的系數(shù)為實數(shù)，求的值.19．（12分）已知函數(shù)（1）試討論在極值點的個數(shù)；（2）若函數(shù)的兩個極值點為，且，為的導函數(shù)，設，求實數(shù)的取值范圍．20．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為圓心的圓與直線相切。求圓的方程；若圓上有兩點關于直線對稱，且，求直線的方程；21．（12分）某企業(yè)對設備進行升級改造，現(xiàn)從設備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測一項質(zhì)量指標值，若該項指標值落在[20,40)內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品，圖1是設備改造前樣本的頻率分布直方圖，表1是設備改造后的頻數(shù)分布表.表1，設備改造后樣本的頻數(shù)分布表:質(zhì)量指標值頻數(shù)2184814162（1）請估計該企業(yè)在設備改造前的產(chǎn)品質(zhì)量指標的平均數(shù)；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進行等級細分，質(zhì)量指標值落在[25，30)內(nèi)的定為一等品，每件售價240元，質(zhì)量指標值落在[20，25)或[30，35)內(nèi)的定為二等品，每件售價180元，其它的合格品定為三等品，每件售價120元.根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應等級產(chǎn)品的概率，現(xiàn)有一名顧客隨機購買兩件產(chǎn)品，設其支付的費用為X（單位：元），求X得分布列和數(shù)學期望.22．（10分）給出如下兩個命題：命題，；命題已知函數(shù)，且對任意，，，都有，求實數(shù)的取值范圍，使命題為假，為真.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由橢圓方程得出即可【題目詳解】由可得，即所以長軸長為故選：D【題目點撥】本題考查的是由橢圓的方程得長軸長，較簡單2、B【解題分析】

圖中陰影部分表示的集合為，解出集合，再進行集合運算即可【題目詳解】圖中陰影部分表示的集合為故選【題目點撥】本題主要考查了圖表達集合的關系及交、并、補的運算，注意集合的限制條件．3、C【解題分析】試題分析：雙曲線的漸近線為，到一條漸近線的距離，則，在中，，則，設的傾斜角為，則，，在中，，在中，，而，代入化簡可得到，因此離心率考點：雙曲線的離心率；4、A【解題分析】

由導數(shù)性質(zhì)推導出當x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）時，函數(shù)y=xf（x）單調(diào)遞減．由此能求出結果．【題目詳解】∵函數(shù)的圖象關于直線對稱，∴關于軸對稱，∴函數(shù)為奇函數(shù).因為，∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞減.，，，，故選A【題目點撥】利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構造.構造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構造，構造，構造，構造等5、C【解題分析】分析：由題得恒成立，再解這個恒成立問題即得解.詳解：由題得恒成立，a=0時，不等式恒成立.a≠0時，由題得綜合得故答案為C.點睛：（1）本題主要考查函數(shù)的定義域和二次不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉化能力數(shù)形結合思想方法.（2）解答本題恒成立時，一定要討論a=0的情況,因為不一定時一元二次不等式.6、B【解題分析】

圓心到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離公式計算得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意：圓心到直線的距離，故，解得.故選：.【題目點撥】本題考查了根據(jù)弦長求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和轉化能力.7、A【解題分析】

由已知可得：是偶函數(shù)，當時，在為增函數(shù)，利用的單調(diào)性及奇偶性將轉化成：，解得：，問題得解.【題目詳解】因為所以是偶函數(shù).當時，又在為增函數(shù)，在為減函數(shù)所以在為增函數(shù)所以等價于，解得：故選：A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的應用，還考查了轉化思想及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題。8、C【解題分析】

因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，由條件（2）得;因為，所以;因為，所以，即即;當時，與大小不定，所以選C.9、A【解題分析】試題分析：由于的焦點為.雙曲線可化為.由題意可得.依題意得.所以雙曲線方程為.所以漸近線方程為.故選A.考點：1.橢圓的性質(zhì).2.雙曲線的性質(zhì).3.雙曲線的標準方程.10、B【解題分析】

先根據(jù)的定義化簡的表達式為,再根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)在兩段上的值域,結合已知條件列不等式即可解得.【題目詳解】①當時，.在上是減函數(shù)，；②當時，.在上是減函數(shù)，.的值域是或所以或，的最小值是.故:B.【題目點撥】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求分段函數(shù)的值域,屬于中檔題.11、D【解題分析】由題意，每個人可以報任何一所院校，則結合乘法原理可得：不同的報名方法的種數(shù)是.本題選擇D選項.12、C【解題分析】試題分析：設出等差數(shù)列的首項和公差，由a3=6，S3=11，聯(lián)立可求公差d．解：設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由a3=6，S3=11，得：解得：a1=1，d=1．故選C．考點：等差數(shù)列的前n項和．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先設直線的方程為，再利用直線與圓錐曲線的位置關系將用表示，再利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可得解.【題目詳解】解：由拋物線的準線與圓相切得或7，又，∴.設直線的方程為，則直線的方程為，則.設，，令，得；令，得.即函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，從而的最大值為，故答案為：.【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，重點考查了運算能力，屬中檔題.14、【解題分析】分析：根據(jù)題意，將直線的參數(shù)方程變形為普通方程，由直線的方程形式分析可得答案.詳解：根據(jù)題意，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的普通的方程為：，斜率為，傾斜角為.故答案為：.點睛：本題考查直線的參數(shù)方程及傾斜角，注意將直線的參數(shù)方程變形為普通方程.15、【解題分析】

利用零點分段法解不等式，得出解集與區(qū)間取交集，再利用幾何概型的概率公式計算出所求事件的概率．【題目詳解】當時，，解得，此時；當時，成立，此時；當時，，解得，此時.所以，不等式的解集為，因此，由幾何概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故答案為.s【題目點撥】本題考查絕對值不等式的解法、幾何概型概率公式的計算，解題的關鍵就是解出絕對值不等式，解絕對值不等式一般有零點分段法（分類討論法）以及幾何法兩種方法求解，考查計算能力，屬于中等題．16、1【解題分析】

首先根據(jù)拋物線的性質(zhì)，可將拋物線上的點到直線和軸的距離和轉化為拋物線上的點到直線的距離和到焦點的距離和減1，再根據(jù)數(shù)形結合求距離和的最小值.【題目詳解】設拋物線上的點到直線的距離為，到準線的距離為，到軸的距離為，拋物線上的點到準線的距離和到焦點的距離相等，，,如圖所示：的最小值就是焦點到直線的距離，焦點到直線的距離，所以有：的最小值是1，故答案為：1【題目點撥】本題考查拋物線的定義和拋物線的幾何性質(zhì)，意在考查轉化與化歸，關鍵是拋物線定義域的轉化，屬于中檔題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)見解析．【解題分析】

（1）將代入函數(shù)中，求出導函數(shù)大于零求出遞增區(qū)間，導函數(shù)小于零求出遞減區(qū)間；（2）分為和和三種情況分別判斷在上的單調(diào)性，然后求出最大值和最小值．【題目詳解】（1）若，則，求導得．因為，令，即，解得或令，即，解得∴函數(shù)在和上遞增，在上遞減．即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為（2）①當時，∵在上遞減，∴在區(qū)間上的最大值為，在區(qū)間上的最小值為．②當時，∵在上遞減，在上遞增，且，∴在上的最大值為，在區(qū)間上的最小值為．③當時，∵在上遞減，在上遞增，且，∴在上的最大值為，在區(qū)間上的最小值為．【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了轉化思想和分類討論思想，屬中檔題．18、（1）（2）或1【解題分析】

（1）求展開式的通項，根據(jù)常數(shù)項為60解得a的值，然后在原解析式中代入x=1求得各項系數(shù)之和，進而求出結果.（2）求出展開式的通項，因為展開式中有四項的系數(shù)為實數(shù)，所以r的取值為0,2,4,6，則可得出n的所有的可能的取值.【題目詳解】解：（1）展開式的通項為，常數(shù)項為，由，，得．令，得各項系數(shù)之和為．所以除常數(shù)項外其余各項系數(shù)之和為．（2）展開式的通項為，因為展開式中有四項的系數(shù)為實數(shù)，且，，所以或1．【題目點撥】本題考查二項式展開式的通項，考查求二項式特定項的系數(shù)，以及虛數(shù)單位的周期性，屬于基礎題.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）對函數(shù)求導，討論導函數(shù)的正負，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出極值的個數(shù)；（2）先求出函數(shù)的表達式，進而可得到極值點的關系，可用來表示及，代入的表達式，然后構造函數(shù)關于的函數(shù)，求出值域即可.【題目詳解】解：（1）易知定義域為，.①當時，恒成立，在為增函數(shù)，沒有極值點；②當時，恒成立，在為增函數(shù)，沒有極值點；③當時，，由，令得，令得，則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故只有一個極大值點，沒有極小值點；④當時，由，令得，令得,則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故只有一個極小值點，沒有極大值點.（2）由條件得且有兩個根，滿足，或，因為，所以，故符合題意.因為函數(shù)的對稱軸，，所以.，則，因為，所以，，，令，則，顯然在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，則.故的取值范圍是.【題目點撥】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了轉化思想與分類討論思想，屬于難題.20、（1）（2）或【解題分析】

（1）直接利用點到直線的距離公式求出半徑，即可得出答案。（2）設出直線，求出圓心到直線的距離，利用半弦長直角三角形解出即可?！绢}目詳解】解（1），所以圓的方程為（2）由題意，可設直線的方程為則圓心到直線的距離則，即所以直線的方程為或【題目點撥】本題考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題。21、(1)30.2；(2)分布列見解析，400.【解題分析】

（1）每個矩形的中點橫坐標與該矩形的縱坐標、組距相乘后求和可得平均值；（2）的可能取值為：240，300，360,420,480，根據(jù)直方圖求出樣本中一、二、三等品的頻率分別為，利用獨立事件與互斥事件概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數(shù)學期望.【題目詳解】(1)樣本的質(zhì)量指標平均值為.根據(jù)樣本質(zhì)量指標平均值估計總體質(zhì)量指標平均值為30.2.（2）根據(jù)樣本頻率分布估計總體分布，樣本中一、二、三等品的頻率分別為，故從所有產(chǎn)品中隨機抽一件，是一