亳州市重點中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

亳州市重點中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…2．已知一列數(shù)按如下規(guī)律排列：,則第9個數(shù)是()A．-50 B．50 C．42 D．—423．已知關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個根在復平面上對應點是，則這個方程可以是（）A． B．C． D．4．若集合,則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．5．已知隨機變量的分布列如下表所示：123450.10.20.20.1則的值等于（）A．1 B．2 C．3 D．46．為自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，則函數(shù)有唯一零點的充要條件是（）A．或或 B．或C．或 D．或7．設M為曲線C:y=2x2+3x+3上的點，且曲線C在點M處切線傾斜角的取值范圍為3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-8．下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是（）①是周期函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③是三角函數(shù)A．②③① B．②①③ C．①②③ D．③②①9．在中，內(nèi)角所對應的邊分別為，且，若，則邊的最小值為（）A． B． C． D．10．已知向量，若，則（）A． B． C． D．11．設是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖像繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則在以下各項中，的可能值只能是（）．A．0 B． C． D．12．已知函數(shù)，則使得成立的的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若變量、滿足約束條件，則的最大值為__________．14．已知，則__________________．15．若變量，滿足約束條件則的最大值為______．16．定義方程的實數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點”，如果函數(shù)，，（）的“新駐點”分別為，，，那么，，的大小關(guān)系是三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性；（2）若在是增函數(shù)，求實數(shù)的范圍.18．（12分）已知函數(shù)在處取得極小值1．（1）求的解析式；（2）求在上的最值．19．（12分）函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若，證明：當時，.20．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設為函數(shù)的兩個零點，求證：.21．（12分）對某種書籍的成本費（元）與印刷冊數(shù)（千冊）的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.表中.為了預測印刷20千冊時每冊的成本費，建立了兩個回歸模型：.（1）根據(jù)散點圖，擬認為選擇哪個模型預測更可靠?（只選出模型即可）（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和（1）中的模型選擇，求關(guān)于的回歸方程，并預測印刷20千冊時每冊的成本費.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.22．（10分）已知橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓C的標準方程；（2）設M為橢圓C的右頂點，過點N(6,0)且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2，求證:

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量X，則有可能第一次取出球，也有可能取完6個紅球后才取出白球.2、A【解題分析】分析：根據(jù)規(guī)律從第3個數(shù)起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)之差，確定第9個數(shù).詳解：因為從第3個數(shù)起，每一個數(shù)等于前兩個數(shù)之差，所以第9個數(shù)是，選A.點睛：由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法為：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.3、A【解題分析】

先由題意得到方程的兩復數(shù)根為，(為虛數(shù)單位)，求出，，根據(jù)選項，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為方程的根在復平面內(nèi)對應的點是，可設根為：，(為虛數(shù)單位)，所以方程必有另一根，又，，根據(jù)選項可得，該方程為.故選A【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的方程，熟記復數(shù)的運算法則即可，屬于?？碱}型.4、D【解題分析】

本題需要考慮兩種情況，，通過二次函數(shù)性質(zhì)以及即集合性質(zhì)來確定實數(shù)的取值范圍?！绢}目詳解】設當時，，滿足題意當時，時二次函數(shù)因為所以恒大于0，即所以，解得?！绢}目點撥】本題考察的是集合和帶有未知數(shù)的函數(shù)的綜合題，需要對未知數(shù)進行分類討論。5、A【解題分析】分析：由分布列的性質(zhì)可得，又由數(shù)學期望的計算公式求得數(shù)學期望，進而可求得．詳解：由分布列的性質(zhì)可得，解得，又由數(shù)學期望的計算公式可得，隨機變量的期望為：，所以，故選A．點睛：本題主要考查了隨機變量的分布列的性質(zhì)即數(shù)學期望的計算問題，其中熟記隨機變量的性質(zhì)和數(shù)學期望的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力．6、A【解題分析】

作出函數(shù)的圖像如圖所示，其中，則，設直線與曲線相切，則，即，設，則，當時，，分析可知，當時，函數(shù)有極大值也是最大值，，所以當時，有唯一解，此時直線與曲線相切．分析圖形可知，當或或時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像只有一個交點，即函數(shù)有唯一零點．故選.【題目點撥】本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題的處理方法，考查利用導數(shù)求相切時斜率的方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.首先畫出函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的圖象注意分界點的位置是實心的函數(shù)空心的.然后將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點來解決.7、D【解題分析】

求出導函數(shù)y'，傾斜角的范圍可轉(zhuǎn)化為斜率的范圍，斜率就是導數(shù)值，由可得y'的不等式，解之可得．【題目詳解】由題意y'=4x+3，切線傾斜角的范圍是[3π4,π)，則切線的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故選D．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點處的導數(shù)就是其圖象在該點處的切線的斜率．解題時要注意直線傾斜角與直線斜率之間的關(guān)系，特別是正切函數(shù)的性質(zhì)．8、A【解題分析】

根據(jù)“三段論”的排列模式：“大前提”“小前提”“結(jié)論”，分析即可得到正確的順序.【題目詳解】根據(jù)“三段論”的排列模式：“大前提”“小前提”“結(jié)論”，可知：①是周期函數(shù)是“結(jié)論”；②三角函數(shù)是周期函數(shù)是“大前提”；③是三角函數(shù)是“小前提”；故“三段論”模式排列順序為②③①.故選：A【題目點撥】本題考查了演繹推理的模式，需理解演繹推理的概念，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

根據(jù)由正弦定理可得，由余弦定理可得，利用基本不等式求出，求出邊的最小值．【題目詳解】根據(jù)由正弦定理可得．

由余弦定理可得．．即．，

故邊的最小值為，

故選D．【題目點撥】本題主要考查了余弦定理、基本不等式的應用，解三角形，屬于中檔題．10、C【解題分析】

首先根據(jù)向量的線性運算求出向量，再利用平面向量數(shù)量積的坐標表示列出方程，即可求出的值．【題目詳解】因為，，所以，因為，所以，即，解得或，又，所以．故選：C．【題目點撥】本題主要考查平面向量的線性運算，平面向量數(shù)量積的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

先閱讀理解題意，則問題可轉(zhuǎn)化為圓上有12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合，再結(jié)合函數(shù)的定義逐一檢驗即可.【題目詳解】解：由題意可得：問題可轉(zhuǎn)化為圓上有12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合，則通過代入和賦值的方法，當時，此時得到圓心角為，然而此時或時，都有2個與之對應，根據(jù)函數(shù)的定義，自變量與應變量只能“一對一”或“多對一”，不能“一對多”，因此，只有當時，此時旋轉(zhuǎn)，滿足一個對應一個，所以的可能值只能是，故選:C.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的定義，重點考查了函數(shù)的對應關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】

由已知可得：是偶函數(shù)，當時，在為增函數(shù)，利用的單調(diào)性及奇偶性將轉(zhuǎn)化成：，解得：，問題得解.【題目詳解】因為所以是偶函數(shù).當時，又在為增函數(shù)，在為減函數(shù)所以在為增函數(shù)所以等價于，解得：故選：A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的應用，還考查了轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于中檔題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解題分析】

首先畫出可行域，然后確定目標函數(shù)的最大值即可.【題目詳解】繪制不等式組表示的可行域如圖所示，結(jié)合目標函數(shù)的幾何意義可得目標函數(shù)在點處取得最大值，其最大值為：.【題目點撥】求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.14、-13【解題分析】

由題意可得：.15、9.【解題分析】分析：畫出可行域，然后結(jié)合目標函數(shù)求最值即可.詳解：作出如圖所示可行域：可知當目標函數(shù)經(jīng)過點A（2,3）時取得最大值，故最大值為9.點睛：考查簡單的線性規(guī)劃的最值問題，準確畫出圖形，畫出可行域確定最優(yōu)解是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】試題分析：，由，得；，由，得由，，由零點存在定理得；，由得，即，，考點：1、新定義的應用；2、零點存在定理.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，為偶函數(shù)，當時，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù),；（2）.【解題分析】

（1）當時，，對任意，，為偶函數(shù)．當時，，取，得，，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．（2）設，，要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立．，即恒成立．又，．的取值范圍是．18、（1）（2）最小值為1，最大值為2．【解題分析】

（1）利用導數(shù)，結(jié)合在處取得極小值1，求得的值，由此求得解析式.（2）根據(jù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值，求得在區(qū)間上的最值.【題目詳解】（1），由，得或．當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，由，得；當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，不符合題意．所以．（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，所以的最小值為1，最大值為2．【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.19、(Ⅰ)有極小值，無極大值.(Ⅱ)證明見解析.【解題分析】試題分析：（1）求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2）不等式等價于，由（1）得，可得，設，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，進而可得結(jié)果.試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，，由得，得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有極小值.（2）不等式等價于，由（1）得：.所以，，所以.令，則，當時，，所以在上為減函數(shù)，因此，，因為，所以，當時，，所以，而，所以.20、(1)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)見證明，【解題分析】

（1）利用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟即可求出；（2）將零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)以及圖像的交點問題，通過構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可?！绢}目詳解】解：（1）∵，∴.當時，，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，無增區(qū)間；當時，，由，得，當時，；當時，，∴時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，不妨設，由條件知即構(gòu)造函數(shù)，則，由，可得.而，∴.知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，可知，欲證，即證.考慮到在上遞增，只需證，由知，只需證.令，則.所以為增函數(shù).又，結(jié)合知，即成立，所以成立.【題目點撥】本題考查了導數(shù)在函數(shù)中的應用，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及函數(shù)零點的常用解法，涉及到分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸等基本數(shù)學思想，意在考查學生的邏輯推理、數(shù)學建模和運算能力。21、（1）模型更可靠.（2），1.6【解題分析】分析:(1)根據(jù)散點圖的形狀得到選擇模型更可靠.(2)令，則建立關(guān)于的線性回歸方程，求得關(guān)于的線性回歸方程為，再求出求關(guān)于的回歸方程，令x=20，求出的值，得到印刷20千冊時每冊的成本費.詳解：（1）由散點圖可以判斷，模型更可靠.（2）令，則建立關(guān)于的線性回歸方程，則，∴∴關(guān)于的線性回歸方程為，因此，關(guān)于的回歸方程為當時，該書每冊的成本費元.點睛：（1）本題主要考查線性回歸方程的求法，考查非線性回歸方程的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.（2）建立非線性回歸模型的基本步驟：①確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是預報變量；②畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系（是否存在非線性關(guān)系）；③由經(jīng)驗確定非線性回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈非線性關(guān)系，一般選用反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型等）；④通過換元，將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型；⑤按照公式計