2024屆江西省等三省十校數學高二第二學期期末質量檢測模擬試題含解析

2024屆江西省等三省十校數學高二第二學期期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．給出以下四個說法：①殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關指數越小②在刻畫回歸模型的擬合效果時，相關指數的值越大，說明擬合的效果越好；③在回歸直線方程中，當解釋變量每增加一個單位時，預報變量平均增加個單位；④對分類變量與，若它們的隨機變量的觀測值越小，則判斷“與有關系”的把握程度越大．其中正確的說法是A．①④ B．②④ C．①③ D．②③2．設i是虛數單位，則復數i3A．-i B．i C．1 D．-13．已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為A． B． C． D．4．在等比數列{an}中，Sn是它的前n項和，若q＝2，且a2與2a4的等差中項為18，則S5＝()A．－62 B．62 C．32 D．－325．函數是（）A．偶函數且最小正周期為2 B．奇函數且最小正周期為2C．偶函數且最小正周期為 D．奇函數且最小正周期為6．“b2=ac”是“a,b,c成等比數列”A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件7．若集合,則實數的取值范圍是()A． B．C． D．8．函數的極大值為（）A．3 B． C． D．29．函數在區(qū)間上是增函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知定義域為的奇函數，當時，滿足，則（）A． B． C． D．11．如圖，在直角梯形中，，是的中點，若在直角梯形中投擲一點，則以，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形的概率為（）A． B． C． D．12．一組統(tǒng)計數據與另一組統(tǒng)計數據相比較（）A．標準差一定相同 B．中位數一定相同C．平均數一定相同 D．以上都不一定相同二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的二項展開式中項的系數為______.14．函數f（x）＝sinx+aex的圖象過點（0，2），則曲線y＝f（x）在（0，2）處的切線方程為__15．若則的值為_______．16．已知函數（），若對任意，總存在滿足，則正數a的最小值是_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列{an}的前n項和Sn滿足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.（1）求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項公式；（2）證明（1）中的猜想.18．（12分）己知復數滿足，，其中，為虛數單位.（l）求：（2）若.求實數的取值范圍.19．（12分）已知函數的定義域是，關于的不等式的解集為．（1）求集合；（2）已知，，若是的必要不充分條件，試求實數的取值范圍．20．（12分）在長方體中，底面是邊長為2的正方形，是的中點，是的中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的正弦值.21．（12分）某市交通管理有關部門對年參加駕照考試的歲以下的學員隨機抽取名學員，對他們的科目三（道路駕駛）和科目四（安全文明相關知識）進行兩輪測試，并把兩輪成績的平均分作為該學員的抽測成績，記錄數據如下：學員編號科目三成績科目四成績（1）從年參加駕照考試的歲以下學員中隨機抽取一名學員，估計這名學員抽測成績大于或等于分的概率；（2）根據規(guī)定，科目三和科目四測試成績均達到分以上（含分）才算合格，從抽測的到號學員中任意抽取兩名學員，記為抽取學員不合格的人數，求的分布列和數學期望．22．（10分）在平面直角坐標系中,曲線過點,其參數方程為（t為參數，），以為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為．求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；已知曲線和曲線交于兩點，且，求實數的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據殘差點分布和相關指數的關系判斷①是否正確，根據相關指數判斷②是否正確，根據回歸直線的知識判斷③是否正確，根據聯表獨立性檢驗的知識判斷④是否正確.【題目詳解】殘差點分布寬度越窄，相關指數越大，故①錯誤.相關指數越大，擬合效果越好，故②正確.回歸直線方程斜率為故解釋變量每增加一個單位時，預報變量平均增加個單位，即③正確.越大，有把握程度越大，故④錯誤.故正確的是②③，故選D.【題目點撥】本小題主要考查殘差分析、相關指數、回歸直線方程和獨立性檢驗等知識，屬于基礎題.2、C【解題分析】分析：由條件利用兩個復數代數形式的除法運算，虛數單位i的冪運算性質，計算求得結果．詳解：i3∴復數i3故選C點睛：本題主要考查兩個復數代數形式的乘除法，虛數單位i的冪運算性質，屬于基礎題．3、D【解題分析】試題分析：設的中點為，連接，易知即為異面直線與所成的角，設三棱柱的側棱與底面邊長為，則，由余弦定理，得，故選D.考點：異面直線所成的角.4、B【解題分析】

先根據a2與2a4的等差中項為18求出，再利用等比數列的前n項和求S5.【題目詳解】因為a2與2a4的等差中項為18，所以，所以.故答案為：B【題目點撥】(1)本題主要考查等比數列的通項和前n項和，考查等差中項，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)等比數列的前項和公式：.5、C【解題分析】

首先化簡為，再求函數的性質.【題目詳解】，是偶函數，故選C.【題目點撥】本題考查了三角函數的基本性質，屬于簡單題型.6、B【解題分析】7、D【解題分析】

本題需要考慮兩種情況，，通過二次函數性質以及即集合性質來確定實數的取值范圍。【題目詳解】設當時，，滿足題意當時，時二次函數因為所以恒大于0，即所以，解得。【題目點撥】本題考察的是集合和帶有未知數的函數的綜合題，需要對未知數進行分類討論。8、B【解題分析】

求得函數的導數，得出函數的單調性，再根據集合的定義，即可求解.【題目詳解】由題意，函數，則，令，即，解得或，令，即，解得，即函數在上函數單調遞增，在上函數單調遞減，所以當時，函數取得極大值，極大值，故選B.【題目點撥】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及求解函數的極值問題，其中解答中熟記導數與原函數的單調性之間的關系，以及極值的概念是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.9、D【解題分析】

求出函數的導數，由題意可得恒成立，轉化求解函數的最值即可．【題目詳解】由函數，得，故據題意可得問題等價于時，恒成立，即恒成立，函數單調遞減，故而，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數的導數的應用，函數的單調性以及不等式的解法，函數恒成立的等價轉化，屬于中檔題.10、D【解題分析】分析：通過計算前幾項，可得n=3，4，…，2018，數列以3為周期的數列，計算可得所求和．詳解：定義域為R的奇函數f（x），可得f（﹣x）=﹣f（x），當x＞0時，滿足，可得x＞時，f（x）=f（x﹣3），則f（1）=﹣log25，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（3）=f（0）=0，f（4）=f（1）=﹣log25，f（5）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（6）=f（3）=f（0）=0，f（7）=f（4）=f（1）=﹣log25，f（8）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，…f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=﹣log25+log25+（0﹣log25+log25）×672=0，故選：D．點睛：歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.11、C【解題分析】

根據，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形建立不等式，其幾何意義為以原點為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分，用此部分去掉即為符合條件的的運動區(qū)域，作出面積比即可【題目詳解】由題，，，故設為最長邊長，以，，2為三邊構成的三角形為鈍角三角形，即以原點為圓心，半徑為的圓，，故選【題目點撥】本題考查鈍角三角形的三邊關系，幾何意義轉化的能力及幾何概型12、D【解題分析】

根據數據變化規(guī)律確定平均數、標準差、中位數變化情況，即可判斷選擇.【題目詳解】設數據平均數、標準差、中位數分別為因為，所以數據平均數、標準差、中位數分別為，即平均數、標準差、中位數與原來不一定相同，故選：D【題目點撥】本題考查數據變化對平均數、標準差、中位數的影響規(guī)律，考查基本分析求解能力，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由二項式定理可得展開式通項公式，令冪指數等于可求得，代入通項公式可確定所求項的系數.【題目詳解】展開式通項公式為：令，解得：項的系數為故答案為：【題目點撥】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數問題，關鍵是能夠熟練掌握二項展開式通項公式的形式，屬于基礎題.14、【解題分析】

先根據求得的值，然后利用導數求得切線的斜率，由此求得切線方程.【題目詳解】由可得，從而，，故在處的切線方程為，即切線方程為.【題目點撥】本小題主要考查函數解析式的求法，考查在函數圖像上一點處切線方程的求法，屬于基礎題.15、【解題分析】

由排列數和組合數展開可解得n=6.【題目詳解】由排列數和組合數可知，化簡得，所以n=6,經檢驗符合，所以填6.【題目點撥】本題考查排列數組合數方程，一般用公式展開或用排列數組合公式化簡，求得n,注意n取正整數且有范圍限制。16、【解題分析】

對任意，總存在滿足，只需函數的值域為函數的值域的子集.【題目詳解】函數（）是對勾函數，對任意，在時，即取得最小值，值域為當時，若，即時在上是單減函數，在上是單增函數，此時值域為由題得，函數的值域為函數的值域的子集.顯然成立當時，若，即時是單增函數，此時值域為由題得，函數的值域為函數的值域的子集.，解得綜上正數a的最小值是故答案為：【題目點撥】利用函數圖象可以解決很多與函數有關的問題，如利用函數的圖象解決函數性質問題，函數的零點、方程根的問題，有關不等式的問題等.解決上述問題的關鍵是根據題意畫出相應函數的圖象，利用數形結合思想求解.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a1＝－1；a2＝－；a3＝－；猜想an＝－（n∈N*）（2）證明見解析【解題分析】

（1）分別令n＝1、2，通過解一元二次方程結合已知的遞推公式可以求出a1，a2，同理求出a3，根據它們的值的特征猜想{an}的通項公式；（2）利用數學歸納法，通過解一元二次方程可以證明即可.【題目詳解】（1）當n＝1時，由已知得a1＝＋－1，即∴當n＝2時，由已知得a1＋a2＝＋－1，將a1＝－1代入并整理得＋2a2－2＝0.∴a2＝－（a2>0）.同理可得a3＝－.猜想an＝－（n∈N*）.（2）【證明】①由（1）知，當n＝1，2，3時，通項公式成立.②假設當n＝k（k≥3，k∈N*）時，通項公式成立，即ak＝－.由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，將ak＝－代入上式，整理得＋2ak＋1－2＝0，∴ak+1＝－，即n＝k＋1時通項公式成立.根據①②可知，對所有n∈N*，an＝－成立.【題目點撥】本題考查了通過數列前幾項的值，猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明猜想，屬于基礎題.18、（1）（2）【解題分析】

根據復數的概念和復數的運算法則求解.【題目詳解】解：（1）（2）∴，解得：；【題目點撥】本題考查共軛復數、復數的模和復數的運算，屬于基礎題.19、（1）當時，；當時，；當時，（2）【解題分析】

（1）由含參二次不等式的解法可得，只需，，即可得解；（2）由函數定義域的求法求得，再結合命題間的充要性求解即可.【題目詳解】解：（1）因為，所以，當時，；當時，方程無解；當時，，故當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.（2）解不等式，即，即，解得，即，由，，若是的必要不充分條件，可得是的真子集，則當時，則，即；當時，顯然滿足題意；當時，則，即，綜上可知：，故實數的取值范圍為.【題目點撥】本題考查了函數定義域的求法、含參二次不等式的解法及充要條件，重點考查了分類討論的數學思想方法及簡易邏輯，屬中檔題.20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）由于長方體中，因此只要證，這由中位線定理可得，從而可得線面平行；（2）以為軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，由法向量的夾角與二面角相等或互補可得．【題目詳解】（1）證明：連接，∵分別為的中點，∴∵長方體中，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴∵平面，平面，∴平面（2）解：在長方體中，分別以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，∴，，，設平面的一個法向量，則，取，則同樣可求出平面的一個法向量∴∴二面角的正弦值為.【題目點撥】本題考查線面平行的證明，考查用空間向量法求二面角．本題屬于基礎題型．21、（1）；（2）見解析.【解題分析】

（1）根據表格中的數據得出個學員中抽測成績中大于或等于分的人數，然后利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率；（2）先根據表格中的數據得出到號學員合格與不合格的人數，可得知隨機變量的可能取值有、、，然后再根據超幾何分布的概率公式計算出隨機變量在相應取值時的概率，并列出分布列，結合數學期望公式可計算出的值.【題目詳解