結(jié)構(gòu)力學(xué)位移計(jì)算2

§9-5圖乘法位移計(jì)算舉例òkidsEIMMòT=kiCEIdxMMEI1?ò?==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòTBAkMdxxtgMEIi1a是直線òTkidxEIMM直桿αMiMi=xtgαyxMkdxxy0x0ω注：y0=x0tgα①∑表示對(duì)各桿和各桿段分別圖乘再相加。②圖乘法的應(yīng)用條件：a）EI=常數(shù)；b）直桿；c）兩個(gè)彎矩圖至少有一個(gè)是直線。③豎標(biāo)y0取在直線圖形中，對(duì)應(yīng)另一圖形的形心處。④面積ω與豎標(biāo)y0在桿的同側(cè)，ωy0

取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。⑤幾種常見圖形的面積和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋物線ω=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線ω=hl/3二次拋物線ω=2hl/34l/5l/5hh三次拋物線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物線ω=hl/(n+1)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)頂點(diǎn)⑥當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時(shí)的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時(shí)，只能用積分法求位移；b）當(dāng)EI分段為常數(shù)或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2

MPMPP=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例：求梁B點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移。例：求梁B點(diǎn)豎向線位移。3l/4M、MP均非直線時(shí)，應(yīng)分段圖乘再疊加。PPaaa例：求圖示梁中點(diǎn)的撓度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？？⑦非標(biāo)準(zhǔn)圖形乘直線形

a）直線形乘直線形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標(biāo)在基線同側(cè)乘積取正，否則取負(fù)。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）

=111（1）32649S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）

=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）

=15S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）

=332364（3）9（2）32649（4）2369＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線乘直線形

E=3.3×1010N/m2

I=1/12×100×2.53cm4=1.3×10-6m4

折減抗彎剛度

0.85EI=0.85×1.30×10-6×3.3×1010=3.6465×104Nm2例：預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土墻板單點(diǎn)起吊過程中的計(jì)算簡(jiǎn)圖。已知：板寬1m，厚2.5cm，混凝土容重為25000N/m3，求C點(diǎn)的撓度?！齫=625N/m2.2m0.8mABC解：q=25000×1×0.025＝625N/m折減抗彎剛度

0.85EI=3.6465×104Nm2200378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3y3ω2y2P=111ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==D?PNEAqlEAlqlEAlNN求AB兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移。36189MPP=1P=163)()??=EI-756??×××+3322318?è?××××-+EI643636311??+×××-2639632(?è?×+×-××+××-=DEI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常數(shù)99999994kN4kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB求θB5kN12844MPkN.m1kN.mql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2MPl求B點(diǎn)豎向位移。5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020m求A點(diǎn)水平位移。P=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2求B點(diǎn)的豎向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222ú?ù++ê?é++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=DylqlEIB283312102+·=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC5P－8PP=15/3－4/30000000000－1－3Pòò-+llPllPdxEIMMdxEIMM1111òò+=llPlPdxEIMMdxEIMM11201òò+=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()ò-－llPdxMMMEI1211ò=lPdxMMEI011MPMPx↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qll11M1M2例：試求等截面簡(jiǎn)支梁C截面的轉(zhuǎn)角。↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql/54l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122ú?ù·????è?···+··-lqlEIC2183212ê?é···=qEIql100333=2-1、圖示虛擬的廣義單位力狀態(tài)，可求什么位移。（

）ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllC

ABP=1/lP=1/ll⑤ABP=1/lP=1/ll（

）④AB桿的轉(zhuǎn)角AB連線的轉(zhuǎn)角AB桿和AC桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角§9-6靜定結(jié)構(gòu)由于溫度改變而產(chǎn)生的位移計(jì)算1）溫度改變對(duì)靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生內(nèi)力，變形和位移是材料自由膨脹、收縮的結(jié)果。2）假設(shè)：溫度沿截面高度為線性分布。t1t2t0hh1h23）微段的變形

dsdθat0ds

=

aΔt/hγ=0Δ±Δit=MNhttwawa0∫∫Δ±=ΔitdshtMdstNaa0該公式僅適用于靜定結(jié)構(gòu)ε=at0at1dsat2ds例9-11求圖示剛架C點(diǎn)的豎向位移。各桿截面為矩形。aa0

+10

+10

CP=1P=1－1aN+D=D??thtNMc0wawa=-=Dt10010ooo=+=t520100oo()-+a5a???è?+-=haa315a-=ah23102a例：求圖示桁架溫度改變引起的AB桿轉(zhuǎn)角.解：構(gòu)造虛擬狀態(tài)Ni§9-7靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)而產(chǎn)生的位移計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動(dòng)不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力和變形，所以e=0，k=0，g=0。代入得到：僅用于靜定結(jié)構(gòu)abl/2l/2h110=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX應(yīng)用條件：1)應(yīng)力與應(yīng)變成正比;2)變形是微小的。即:線性變形體系。P1P2①F1F2②N1

M1

Q1N2

M2

Q2一、功的互等定理?ò???è?++dsGAQkQEIMMEANN121212?=D

=FW21?ò

???è?++=dsGAQkQEIMMEANN212121?D

=PW12功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態(tài)①的外力在狀態(tài)②的位移上作的功W12等于狀態(tài)②的外力在狀態(tài)①的位移上作的功W21。即：W12=W21§9-7互等定理Δ’1Δ’2Δ’’1Δ’’2二、位移互等定理P1①P2②

位移互等定理：在任一線性變形體系中，由荷載P1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ21

等于由荷載P2所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移影響系數(shù)δ12

。或者說,由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移δ21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移δ12

。Δ21Δ12jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121稱為位移影響系數(shù)，等于Pj=1所引起的與Pi相應(yīng)的位移。注意：1）這里荷載可以是廣義荷載，位移是相應(yīng)的廣義位移。

2）δ12與δ21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。三、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110稱為反力影響系數(shù)，等于cj=1所引起的與ci相應(yīng)的反力。

反力互等定理：在任一線性變形體系中，由位移c1所引起的與位移c2相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21

等于由位移c2所引起的與位移c1相應(yīng)的反力影響系數(shù)r12

。或者說,由單位位移c1=1所引起的與位移c2相應(yīng)的反力r21等于由單位位移c2=1所引起的與位移c1相應(yīng)的反力r12

。

注意：1）這里支座位移可以是廣義位移，反力是相應(yīng)的廣義力。

2）反力互等定理僅用于超靜定結(jié)構(gòu)。四.反力位移互等定理:單位廣義力引起的結(jié)構(gòu)中某支座的反力等于該支座發(fā)生單位廣義位移所引起的單位廣義力作用