福建省平潭縣2023-2024學年數(shù)學九年級第一學期期末監(jiān)測試題含解析

福建省平潭縣2023-2024學年數(shù)學九年級第一學期期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，點E、F是邊長為4的正方形ABCD邊AD、AB上的動點，且AF＝DE，BE交CF于點P，在點E、F運動的過程中，PA的最小值為（）A．2 B．2 C．4﹣2 D．2﹣22．如圖，正方形的邊長為4，點是的中點，點從點出發(fā)，沿移動至終點，設點經過的路徑長為，的面積為，則下列圖象能大致反映與函數(shù)關系的是（）A． B． C． D．3．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AC與相交于點O，N是AO的中點，點M在BC邊上，P是OD的中點，過點P作PM⊥BC于點M，交于點N′，則PN-MN′的值為（）A． B． C． D．4．如果反比例函數(shù)y=kx的圖像經過點（－3，－A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限5．如圖直角三角板∠ABO＝30°，直角項點O位于坐標原點，斜邊AB垂直于x軸，頂點A在函數(shù)的y1＝圖象上，頂點B在函數(shù)y2＝的圖象上，則＝（）A． B． C． D．6．口袋中有14個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，從口袋中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，多次實驗后發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.3，則白球的個數(shù)是()A．5 B．6 C．7 D．87．已知如圖，直線，相交于點，且，添加一個條件后，仍不能判定的是（）．A． B． C． D．8．下列二次函數(shù)，圖像與軸只有一個交點的是（）A． B．C． D．9．如圖，已知A（2，1），現(xiàn)將A點繞原點O逆時針旋轉90°得到A1，則A1的坐標是（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）10．下列事件為必然事件的是（）A．袋中有4個藍球，2個綠球，共6個球，隨機摸出一個球是紅球B．三角形的內角和為180°C．打開電視機，任選一個頻道，屏幕上正在播放廣告D．拋擲一枚硬幣兩次，第一次正面向上，第二次反面向上二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在平面直角坐標系中，點，點.若與關于原點成中心對稱，則點的對應點的坐標是___________；和的位置關系和數(shù)量關系是____________.12．如圖三角形ABC的兩條高線BD，CE相交于點F，已知∠ABC等于60度，，CF=EF，則三角形ABC的面積為________(用含的代數(shù)式表示).13．一元二次方程的x2+2x﹣10＝0兩根之和為_____．14．如圖，已知點D，E是半圓O上的三等分點，C是弧DE上的一個動點，連結AC和BC，點I是△ABC的內心，若⊙O的半徑為3，當點C從點D運動到點E時，點I隨之運動形成的路徑長是_____．15．如圖，中，邊上的高長為．作的中位線，交于點；作的中位線，交于點；……順次這樣做下去，得到點，則________．

16．若，則_______.17．已知方程x2+mx﹣3=0的一個根是1，則它的另一個根是_____．18．若，則＝_____．三、解答題(共66分)19．（10分）已知是的反比例函數(shù)，下表給出了與的一些值：141（1）寫出這個反比例函數(shù)表達式；（2）將表中空缺的值補全．20．（6分）解方程：x2﹣4x﹣12=1．21．（6分）如圖1，在平面直角坐標系中，已知的半徑為5，圓心的坐標為，交軸于點，交軸于，兩點，點是上的一點（不與點、、重合），連結并延長，連結，，.

（1）求點的坐標；（2）當點在上時.①求證：；②如圖2，在上取一點，使，連結.求證：；（3）如圖3，當點在上運動的過程中，試探究的值是否發(fā)生變化？若不變，請直接寫出該定值；若變化，請說明理由.22．（8分）如圖，中，，，平分，交軸于點，點是軸上一點，經過點、，與軸交于點，過點作，垂足為，的延長線交軸于點，（1）求證：為的切線；（2）求的半徑．23．（8分）運城菖蒲酒產于山西垣曲.莒蒲灑遠在漢代就已名噪酒壇，為歷代帝王將相所喜愛，并被列為歷代御膳香醪.菖蒲酒在市場的銷售量會根據(jù)價格的變化而變化.菖蒲酒每瓶的成本價是元，某超市將售價定為元時，每天可以銷售瓶，若售價每降低元，每天即可多銷售瓶(售價不能高于元)，若設每瓶降價元用含的代數(shù)式表示菖蒲酒每天的銷售量.每瓶菖蒲酒的售價定為多少元時每天獲取的利潤最大？最大利潤是多少？24．（8分）拋物線經過點O（0，0）與點A（4，0），頂點為點P，且最小值為-1．（1）求拋物線的表達式；（1）過點O作PA的平行線交拋物線對稱軸于點M，交拋物線于另一點N，求ON的長；（3）拋物線上是否存在一個點E，過點E作x軸的垂線，垂足為點F，使得△EFO∽△AMN，若存在，試求出點E的坐標；若不存在請說明理由．25．（10分）先鋒中學數(shù)學課題組為了了解初中學生閱讀數(shù)學教科書的現(xiàn)狀，隨機抽取某校部分初中學生進行調查，調查結果分為“重視”、“一般”、“不重視”、“說不清楚”四種情況（依次用A、B、C、D表示），依據(jù)相關數(shù)據(jù)繪制成以下不完整的統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：類別頻數(shù)頻率重視a0.25一般600.3不重視bc說不清楚100.05（1）求樣本容量及表格中a，b，c的值，并補全統(tǒng)計圖；（2）若該校共有2000名學生，請估計該校“不重視閱讀數(shù)學教科書”的學生人數(shù)．26．（10分）已知，如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點A，與軸交于點B，拋物線經過A、B兩點，與軸的另一個交點為C．（1）直接寫出點A和點B的坐標；（2）求拋物線的函數(shù)解析式；（3）D為直線AB下方拋物線上一動點；①連接DO交AB于點E，若DE：OE=3：4，求點D的坐標；②是否存在點D，使得∠DBA的度數(shù)恰好是∠BAC度數(shù)2倍，如果存在，求點D的坐標，如果不存在，說明理由．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，取BC的中點O，連接OP、OA，然后求出OP＝CB＝1，利用勾股定理列式求出OA，然后根據(jù)三角形的三邊關系可知當O、P、A三點共線時，AP的長度最?。驹斀狻拷猓涸谡叫蜛BCD中，∴AB＝BC，∠BAE＝∠ABC＝90°，在△ABE和△BCF中，∵，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠ABE＝∠BCF，∵∠ABE+∠CBP＝90°∴∠BCF+∠CBP＝90°∴∠BPC＝90°如圖，取BC的中點O，連接OP、OA，則OP＝BC＝1，在Rt△AOB中，OA＝，根據(jù)三角形的三邊關系，OP+AP≥OA，∴當O、P、A三點共線時，AP的長度最小，AP的最小值＝OA﹣OP＝﹣1．故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的三邊關系.確定出AP最小值時點P的位置是解題關鍵，也是本題的難點.2、C【分析】結合題意分情況討論：①當點P在AE上時，②當點P在AD上時，③當點P在DC上時，根據(jù)三角形面積公式即可得出每段的y與x的函數(shù)表達式.【詳解】①當點在上時，∵正方形邊長為4，為中點，∴，∵點經過的路徑長為，∴，∴，②當點在上時，∵正方形邊長為4，為中點，∴，∵點經過的路徑長為，∴，，∴，，，，③當點在上時，∵正方形邊長為4，為中點，∴，∵點經過的路徑長為，∴，，∴，綜上所述：與的函數(shù)表達式為：.故答案為C.【點睛】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，解決動點問題的函數(shù)圖象問題關鍵是發(fā)現(xiàn)y隨x的變化而變化的趨勢．3、A【分析】根據(jù)正方形的性質可得點O為AC的中點，根據(jù)三角形中位線的性質可求出PN的長，由PM⊥BC可得PM//CD，根據(jù)點P為OD中點可得點N′為OC中點，即可得出AC=4CN′，根據(jù)MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質可求出MN′的長，進而可求出PN-MN′的長.【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，AB=4，∴OA=OC，AD=AB=4，∵N是AO的中點，P是OD的中點，∴PN是△AOD的中位線，∴PN=AD=2，∵PM⊥BC，∴PM//CD//AB，∴點N′為OC的中點，∴AC=4CN′，∵PM//AB，∴△CMN′∽△CBA，∴，∴MN′=1，∴PN-MN′=2-1=1，故選：A.【點睛】本題考查正方形的性質、三角形中位線的性質及相似三角形的判定與性質，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半；熟練掌握三角形中位線的性質及相似三角形的判定定理是解題關鍵.4、B【解析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點可得k=12，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質可得函數(shù)圖象位于第一、三象限．【詳解】∵反比例函數(shù)y＝kx的圖象經過點（-3，-4∴k=-3×（-4）=12，∵12＞0，∴該函數(shù)圖象位于第一、三象限，故選：B．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質，關鍵是根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點求出k的值．5、D【分析】設AC＝a，則OA＝2a，OC＝a，根據(jù)直角三角形30°角的性質和勾股定理分別計算點A和B的坐標，寫出A和B兩點的坐標，代入解析式求出k1和k2的值，即可求的值．【詳解】設AB與x軸交點為點C，Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，∴∠OAC＝60°，∵AB⊥OC，∴∠ACO＝90°，∴∠AOC＝30°，設AC＝a，則OA＝2a，OC＝a，∴A（a，a），∵A在函數(shù)y1＝的圖象上，∴k1＝a×a＝a2，Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a，∴BC＝＝3a，∴B（a，﹣3a），∵B在函數(shù)y2＝的圖象上，∴k2＝﹣3a×a＝﹣3a2，∴＝，故選：D．【點睛】此題考查反比例函數(shù)的性質，勾股定理，直角三角形的性質，設AC＝a是解題的關鍵，由此表示出其他的線段求出k1與k2的值，才能求出結果.6、B【分析】設白球的個數(shù)為x，利用概率公式即可求得.【詳解】設白球的個數(shù)為x，由題意得，從14個紅球和x個白球中，隨機摸出一個球是白球的概率為0.3，則利用概率公式得：，解得：，經檢驗，x=6是原方程的根，故選：B.【點睛】本題考查了等可能下概率的計算，理解題意利用概率公式列出等式是解題關鍵.7、C【分析】根據(jù)全等三角形判定，添加或或可根據(jù)SAS或ASA或AAS得到.【詳解】添加或或可根據(jù)SAS或ASA或AAS得到，添加屬SSA，不能證.故選：C【點睛】考核知識點：全等三角形判定選擇.熟記全等三角形的全部判定是關鍵.8、C【分析】根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸只有一個交點，可知b2-4ac=0，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象與x軸只有一個交點，∴b2-4ac=0，A、b2-4ac=22-4×1×（-1）=8，故本選項錯誤；B、b2-4ac=72-4×（-2）×（-7）=-7，故本選項錯誤；C、b2-4ac=（-12）2-4×4×9=0，故本選項正確；D、b2-4ac=（-4）2-4×1×16=-48，故本選項錯誤，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點，根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸只有一個交點時，得到b2-4ac=0是解題的關鍵．9、A【解析】根據(jù)點（x，y）繞原點逆時針旋轉90°得到的坐標為（-y，x）解答即可．【詳解】已知A（2，1），現(xiàn)將A點繞原點O逆時針旋轉90°得到A1，所以A1的坐標為（﹣1，2）.故選A.【點睛】本題考查的是旋轉的性質，熟練掌握坐標的旋轉是解題的關鍵.10、B【解析】確定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件，不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；【詳解】A．袋中有4個藍球，2個綠球，共6個球，隨機摸出一個球是紅球是不可能事件；B．三角形的內角和為180°是必然事件；C．打開電視機，任選一個頻道，屏幕上正在播放廣告是隨機事件；D．拋擲一枚硬幣兩次，第一次正面向上，第二次反面向上是隨機事件；故選：B．【點睛】此題考查隨機事件，解題關鍵在于掌握其定義二、填空題(每小題3分,共24分)11、平行且相等【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征即可寫出對應點坐標，再根據(jù)中心對稱的性質即可判斷對應線段的關系.【詳解】如圖，∵關于原點對稱的兩個點，橫、縱坐標都互為相反數(shù)，且，∴，根據(jù)旋轉的性質可知，AB=A′B′，∠A=∠A′，∴AB∥A′B′.故答案為：；平行且相等.【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，明確關于原點對稱的點的坐標特征及旋轉的性質是解題的關鍵.12、【分析】連接AF延長AF交BC于G．設EF=CF=x，連接AF延長AF交BC于G．設EF=CF=x，因為BD、CE是高，所以AG⊥BC，由∠ABC=60°，∠AGB=90°，推出∠BAG=30°，在Rt△AEF中，由EF=x，∠EAF=30°，可得在Rt△BCE中，由EC=2x，∠CBE=60°可得．由AE+BE=AB可得，代入即可解決問題．【詳解】解：連接延長交于，設==，是高，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，.【點睛】本題考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，掌握勾股定理和30°直角三角形是解題的關鍵.13、﹣2【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案．【詳解】x2+2x﹣10＝0的兩根之和為﹣2，故答案為：﹣2【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，屬于基礎題型.14、π．【分析】連接AI,BI,作OT⊥AB交⊙O于T,連接AT,TB,以T為圓心,TA為半徑作⊙T,在優(yōu)弧AB上取一點G,連接AG,BG．證明∠AIB+∠G=180°,推出A,I,B,G四點共圓,【詳解】如圖，連接AI，BI，作OT⊥AB交⊙O于T，連接AT，TB，以T為圓心，TA為半徑作⊙T，在優(yōu)弧AB上取一點G，連接AG，BG．推出點I的運動軌跡是即可解決問題．∵AB是直徑,∴∠ACB＝90°,∵I是△ABC的內心,∴∠AIB＝135°,∵OT⊥AB,OA＝OB,∴TA＝TB,∠ATB＝90°,∴∠AGB＝∠ATB＝45°,∴∠AIB+∠G＝180°,∴A，I，B，G四點共圓,∴點I的運動軌跡是,由題意,∴∠MTM＝30°,易知TA＝TM＝3,∴點I隨之運動形成的路徑長是,故答案為．【點睛】本題考查了軌跡,垂徑定理、圓周角定理、三角形的內心和等邊三角形的性質等知識,解題的關鍵是正確尋找點的運動軌跡．15、或【分析】根據(jù)中位線的性質，得出的關系式，代入即可．【詳解】根據(jù)中位線的性質故我們可得當均成立，故關系式正確∴故答案為：或．【點睛】本題考查了歸納總結的問題，掌握中位線的性質得出的關系式是解題的關鍵．16、【分析】由題意直接根據(jù)分比性質，進行分析變形計算可得答案．【詳解】解：，由分比性質，得.故答案為：.【點睛】本題考查比例的性質，熟練掌握并利用分比性質是解題的關鍵.17、-1【解析】設另一根為，則1·=-1，解得，=－1，故答案為－1．18、【解析】=.三、解答題(共66分)19、（1）；（2），－4，，－1，3，2，3，【分析】（1）設出反比例函數(shù)解析式，把代入解析式即可得出答案；（2）讓的乘積等于3計算可得表格中未知字母的值．【詳解】解：（1）設，，∴（2）=，=－4，=，=－1，=3，=2，=3，=．故答案為：，－4，，－1，3，2，3，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握解析式的求法是解題的關鍵．20、x1=6，x2=﹣2．【解析】試題分析：用因式分解法解方程即可.試題解析：或所以21、（1）（0，4）；（2）①詳見解析；②詳見解析；（3）不變，為.【分析】（1）連結，在中，為圓的半徑5，，由勾股定理得（2）①根據(jù)圓的基本性質及圓周角定理即可證明；②根據(jù)等腰三角形的性質得到，根據(jù)三角形的外角定理得到，由①證明得到，即可根據(jù)相似三角形的判定進行求解；（3）分別求出點C在B點時和點C為直徑AC時，的值，即可比較求解.【詳解】（1）連結，在中，=5，，∴∴A（0,4）.（2）連結，故，則∵∠ABD+∠ACD=180°，∠HCD+∠ACD=180°，∴∵與是弧所對的圓周角∴=又∴即②∵∴∵，且由（2）得∴∴在與中∴（3）①點C在B點時，如圖，AC=2AO=8,BC=0,CD=BD=∴==；當點C為直徑AC與圓的交點時，如圖∴AC=2r=10∵O,M分別是AB、AC中點，∴BC=2OM=6，∴C（6，-4）∵D（8,0）∴CD=∴==故的值不變，為.【點睛】此題主要考查圓的綜合題，解題的關鍵是熟知圓周角定理、勾股定理及相似三角形的判定.22、（1）證明見解析；（2）1．【分析】(1)連接CP，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠PAC=∠PCA，由角平分線的定義得到∠PAC=∠EAC，等量代換得到∠PCA=∠EAC，推出PC∥AE，于是得到結論；(2)連接PC，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAC=∠OAC，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠PCA=∠PAC，等量代換得到∠BAC=∠ACP，推出PC∥AB，根據(jù)相似三角形的性質即可得到結論.【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，即是的切線．(2)連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴的半徑為1【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定和性質，切線的判定，相似三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．23、（1）；（2）售價定為元時，有最大利潤，最大利潤為元.【分析】⑴依據(jù)題意列出式子即可；⑵依據(jù)題意可以得到y(tǒng)=-5（x-4）2+1280解出x=4時，利潤最大，算出售價及最大利潤即可.【詳解】解：莒蒲酒每天的銷售量為.設每天銷售菖蒲酒獲得的利潤為元由題意，得.當時，利潤有最大值，即售價定為元時，有最大利潤，最大利潤為元.【點睛】此題主要考查了一元二次方程實際生活中的應用，找準等量關系列出一元二次方程是解題的關鍵.24、（1）拋物線的表達式為，（或）；（1）；（3）拋物線上存在點E，使得△EFO∽△AMN，這樣的點共有1個，分別是（，）和（，）．【分析】（1）由點O（0，0）與點A（4，0）的縱坐標相等，可知點O、A是拋物線上的一對對稱點，所以對稱軸為直線x=1，又因為最小值是-1，所以頂點為（1，-1），利用頂點式即可用待定系數(shù)法求解；（1）設拋物線對稱軸交軸于點D、N（,），先求出=45°，由ON∥PA，依據(jù)平行線的性質得到=45°，依據(jù)等腰直角三角形兩直角邊的關系可得到=，解出即可得到點N的坐標，再運用勾股定理求出ON的長度；（3）先運用勾股定理求出AM和OM，再用ON-OM得MN，運用相似三角形的性質得到EF：FO的值，設E（，），分點E在第一象限、第二或四象限討論，依據(jù)EF：FO=1:1列出關于m的方程解出即可.【詳解】解：（1）∵拋物線經過點O（0，0）與點A（4，0），∴對稱軸為直線x=1，又∵頂點為點P，且最小值為-1,，∴頂點P（1，-1）,∴設拋物線的表達式為將O（0，0）坐標代入，解得∴拋物線的表達式為，即；（1）設拋物線對稱軸交軸于點D，∵頂點P坐標為（1，-1），∴點D坐標為（1，0）又∵A（4，0），∴△ADP是以為直角的等腰直角三角形，=45°又∵ON∥PA，∴=45°∴若設點N的坐標為（,）則=解得，∴點N的坐標為（，）∴（3）拋物線上存在一個點E，使得△EFO∽△AMN，理由如下：連接PO、AM，∵=45°，=90°,∴，又∵由點D坐標為（1，0），得OD=1，∴，又∵=90°,由A（4，0），D（1，0）得AD=1，∴,同理可得,∴,∴AM：MN=：=1：1∵△EFO∽△AMN∴EF：FO=AM：MN=1：1設點E的坐標為（，）（其中），①當點E在第一象限時，，解得，此時點E的坐標為（，），②當點E在第二象限或第四象限時，，解得，此時點E的坐標為（，）綜上所述，拋物線上存在一個點E，使得△EFO∽△AMN，這樣的點共有1個，分別是（，）和（，）．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了運用待定系數(shù)法求解析式，運用勾股定理求線段長度，二次函數(shù)中相似的存在性問題，解題的關鍵是用點的坐標求出線段長度，并根據(jù)線段之間的關系，建立方程解出得到點的坐標.25、（1）樣本容量為200，a＝50，b＝80，c＝0.4，圖見解析；（2）800人【分析】（1）由“一般”的頻數(shù)及其頻率可得樣本容量，再根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷樣本容量及頻數(shù)之和等于總人數(shù)求解可得；（2）用總人數(shù)乘以樣本中“不重視”對應的頻率即可得．【詳解】（1）樣本容量為60÷0.3＝200，則a＝200×0.25＝50，b＝200﹣50﹣60﹣10＝80，c＝80÷200＝0.4，補全條形圖如下：（2）估計該校“不重視閱讀數(shù)學教科書”的學生人數(shù)為2000×0.4＝800（人）．【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方表以及條形統(tǒng)計圖和利用樣本估計總體等知識.26