江蘇省南通市第一中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末監(jiān)測試題含解析

江蘇省南通市第一中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作垂直于實軸的弦，若，則的離心率為（）A． B． C． D．2．的展開式存在常數(shù)項，則正整數(shù)的最小值為（）A．5 B．6 C．7 D．143．我國古代數(shù)學名著九章算術中有這樣一些數(shù)學用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當塹堵的外接球的體積為時，則陽馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．4．設函數(shù)f（x）＝xlnx的圖象與直線y＝2x+m相切，則實數(shù)m的值為（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e5．已知雙曲線，若其過一、三象限的漸近線的傾斜角，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．6．三位女歌手與三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相鄰，則不同的排法數(shù)為A．48 B．72 C．120 D．1447．若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的倍，則（）A． B． C． D．8．“”是“復數(shù)在復平面內對應的點在第一象限”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．定義語句“”表示把正整數(shù)除以所得的余數(shù)賦值給，如表示7除以3的余數(shù)為1，若輸入，，則執(zhí)行框圖后輸出的結果為（）A．6 B．4 C．2 D．110．已知隨機變量滿足，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．11．設函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．12．已知，，，則的大小關系為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，與的夾角為，則的值為______．14．在平面直角坐標系中，已知點滿足，過作單位圓的兩條切線，切點分別為，則線段長度的取值范圍是______.15．某棱錐的三視圖如圖所示（單位：），體積為______.16．將紅、黃、藍、白、黑5個小球分別放入紅、黃、藍、白、黑5個盒子里，每個盒子里放且只放1個小球，則紅球不在紅盒內且黃球不在黃盒內的概率是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知．（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間與對稱軸方程；（2）當時，求的最大值與最小值．18．（12分）7名同學，在下列情況下，各有多少種不同安排方法？（答案以數(shù)字呈現(xiàn)）（1）7人排成一排，甲不排頭，也不排尾．（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人必須在一起．（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人兩兩不相鄰．（4）7人排成一排，甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序（不一定相鄰）．（5）7人分成2人，2人，3人三個小組安排到甲、乙、丙三地實習．19．（12分）設函數(shù)，，，其中是的導函數(shù).（1）令，，，求的表達式；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)．(1)解不等式：；(2)對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知數(shù)列的前項和滿足,.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知函數(shù).（I）求不等式；（II）若不等式的解集包含，求實數(shù)的取值范圍..

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由題意得到關于a,c的齊次式，然后求解雙曲線的離心率即可.【題目詳解】由雙曲線的通徑公式可得，由結合雙曲線的對稱性可知是等腰直角三角形，由直角三角形的性質有：，即：，據(jù)此有：，，解得：，雙曲線中，故的離心率為.本題選擇C選項.【題目點撥】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．2、C【解題分析】

化簡二項式展開式的通項公式，令的指數(shù)為零，根據(jù)為正整數(shù)，求得的最小值.【題目詳解】，令，則，當時，有最小值為7.故選C.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式，考查與正整數(shù)有關問題，屬于基礎題.3、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進一步求得AB，再由棱錐體積公式結合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽馬體積的最大值為．故選：D．【題目點撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，是中檔題．4、B【解題分析】

設切點為（s，t），求得f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得s，t，進而求得m．【題目詳解】設切點為（s，t），f（x）＝xlnx的導數(shù)為f′（x）＝1+lnx，可得切線的斜率為1+lns＝2，解得s＝e，則t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故選：B．【題目點撥】本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查直線方程的運用，屬于基礎題．5、B【解題分析】分析：利用過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出雙曲線的離心率e的取值范圍.詳解：雙曲線=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=x，由過一、三象限的漸近線的傾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故選：B．點睛：求離心率的常用方法有以下兩種：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出關于的齊次方程(或不等式)，然后根據(jù)，消去后轉化成關于的方程(或不等式)求解．6、D【解題分析】

女歌手不相鄰，則先排男生，再對女生插空即可.【題目詳解】由插空法得．選D.【題目點撥】本題考查排列組合用插空法解決問題，屬于基礎題.7、D【解題分析】

利用拋物線的定義列等式可求出的值.【題目詳解】拋物線的準線方程為，由拋物線的定義知，拋物線上一點到焦點的距離為，，解得，故選：D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義，在求解拋物線上的點到焦點的距離，通常將其轉化為該點到拋物線準線的距離求解，考查運算求解能力，屬于中等題.8、C【解題分析】

根據(jù)充分必要條件的定義結合復數(shù)與復平面內點的對應關系，從而得到答案．【題目詳解】若復數(shù)在復平面內對應的點在第一象限，則解得，故“”是“復數(shù)在復平面內對應的點在第一象限”的充要條件.故選C.【題目點撥】本題考查了充分必要條件，考查了復數(shù)的與復平面內點的對應關系，是一道基礎題．9、C【解題分析】

模擬執(zhí)行程序框圖，只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可得到輸出的的值.【題目詳解】第一次進入循環(huán)，因為56除以18的余數(shù)為2，所以，，，判斷不等于0，返回循環(huán)；第二次進入循環(huán)，因為18除以2的余數(shù)為0，所以，，，判斷等于0，跳出循環(huán)，輸出的值為2.故選C.【題目點撥】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.10、B【解題分析】

利用期望與方差性質求解即可．【題目詳解】；．故，．故選．【題目點撥】考查期望與方差的性質，考查學生的計算能力．11、C【解題分析】

試題分析：令，則，當時，，由的導數(shù)為，當時，在遞增，即有，則方程無解；當時，成立，由，即，解得且；或解得，即為，綜上所述實數(shù)的取值范圍是，故選C.考點：分段函數(shù)的綜合應用.【方法點晴】本題主要考查了分段函數(shù)的綜合應用，其中解答中涉及到函數(shù)的單調性、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的最值等知識點的綜合考查，注重考查了分類討論思想和轉化與化歸思想，以及學生分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中構造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的性質是解答的關鍵.12、A【解題分析】

利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大?。绢}目詳解】，，，故，所以．故選A．【題目點撥】本題考查大小比較問題，關鍵選擇中間量和函數(shù)的單調性進行比較．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

利用空間向量的數(shù)量積的坐標運算公式可求得，從而可求得的值．【題目詳解】解：，，，，，又與的夾角為，，解得：或1．故答案為：或1【題目點撥】本題考查空間向量的數(shù)量積的坐標運算，熟練掌握空間向量的數(shù)量積的坐標運算公式是關鍵，屬于中檔題．14、.【解題分析】

設，由圓的切點弦所在直線方程可知的方程為，進而可求圓心到距離，從而求出弦長，結合已知可求出弦長的取值范圍.【題目詳解】解：設，當時，此時過點與圓相切直線的斜率，則過點與圓相切直線方程為，即，當時，，此時切線方程或滿足.綜上所述，過點與圓相切直線方程為；同理，過點與圓相切直線方程為，設，則直線的方程為，此時圓心到距離.所以.由可知，，則，所以.故答案為:.【題目點撥】本題考查了直線與圓的位置關系，考查了圓的切線，考查了弦長的求解.在圓中求解弦長時，通常是結合幾何法，求出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理求解弦長.15、【解題分析】

通過三視圖可知：該幾何體是底面為邊長為2正方形,高為2的四棱錐,利用棱錐的體積公式可以求出該棱錐的體積.【題目詳解】通過三視圖可知：該幾何體是底面為邊長為2正方形,高為2的四棱錐,所以該棱錐的體積為：.故答案為：【題目點撥】本題考查了通過三視圖還原空間幾何體,考查了棱錐的體積公式,考查了數(shù)學運算能力.16、0.65【解題分析】設紅球不在紅盒內且黃球不在黃盒內的概率為，再設紅球在紅盒內的概率為，黃球在黃盒內的概率為，紅球在紅盒內且黃球在黃盒內的概率為，則紅球不在紅盒且黃球不在黃盒由古典概型概率公式可得，，則，即，故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）單調遞增區(qū)間為，k∈Z．對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）f（x）的最大值為2，最小值為–1．【解題分析】（1）因為，由，求得，k∈Z，可得函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為，k∈Z．由，求得，k∈Z．故f（x）的對稱軸方程為，其中k∈Z．（2）因為，所以，故有，故當即x=0時，f（x）的最小值為–1，當即時，f（x）的最大值為2．18、(1)3600種；(2)720種；(3)1440種；(4)840種；(5)630種【解題分析】

先特殊后一般．【題目詳解】(1)；(2)(3)；(4)(5)【題目點撥】本題考查排列組合，思想先特殊后一般．屬于簡單題．19、（1）；（2）.【解題分析】分析：（1）求出的解析式，依次計算即可得出猜想；

（2）已知恒成立，即恒成立．設(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，對進行討論，求出的最小值，令恒成立即可；詳解：由題設得，g(x)＝(x≥0)．(1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用數(shù)學歸納法證明．①當n＝1時，g1(x)＝，結論成立．②假設n＝k時結論成立，即gk(x)＝.那么，當n＝k＋1時，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝，即結論成立．由①②可知，結論對n∈N＋成立．所以gn(x)＝.(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立．設φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)，則φ′(x)＝=－＝，當a≤1時，φ′(x)≥0(僅當x＝0，a＝1時等號成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上單調遞增，又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1時，ln(1＋x)≥恒成立(僅當x＝0時等號成立)．當a>1時，對x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調遞減，∴φ(a－1)<φ(0)＝0，即a>1時，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥不恒成立．綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]．點睛：本題考查了函數(shù)的單調性判斷與最值計算，數(shù)學歸納法證明，分類討論思想，屬于中檔題．20、(1);(2).【解題分析】分析：（1）解法一：寫出分段函數(shù)的解析式，討論的范圍，求出分段函數(shù)不同自變量范圍的不等式的解，再求這些解的并集即可.解法二：寫出分段函數(shù)的解析式，繪制函數(shù)圖象,計算函數(shù)與的交點坐標，根據(jù)函數(shù)圖象確定不等式的解.解法三：根據(jù)絕對值在數(shù)軸上的幾何意義，確定不等式的解.（2）將恒成立問題轉化成問題，確定后，解關于的一元二次不等式，即可求出實數(shù)的取值范圍．解法一：根據(jù)三角不等式，確定函數(shù)最小值解法二：根據(jù)函數(shù)圖象，確定函數(shù)最小值.詳解：（1）解法一：當時，，解得：；當時，，解得：；當時，，解得：，所以不等式的解集為；（1）解法二：令，兩個函數(shù)的圖象如圖所示：由圖像可知，兩函數(shù)圖象的交點為和，所以不等式即的解集為（注：如果作出函數(shù)的圖象，寫出的解集，可參照解法2的標準給分）解法三：如圖，設數(shù)軸上與對應的點分別是，那么兩點的距離是4，因此區(qū)間上的數(shù)都是原不等式的解．先在數(shù)軸上找出與點的距離之和為的點，將點向左移動2個單位到點，這時有,同理，將點向右移動2個單位到點，這時也有,從數(shù)軸上可以看到，