第14講正弦定理（六大題型）

第14講正弦定理【題型歸納目錄】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、正弦定理正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即：知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明（為的外接圓半徑）；（3）每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一．（4）利用正弦定理可以解決下列兩類(lèi)三角形的問(wèn)題：=1\*GB3①已知兩個(gè)角及任意—邊，求其他兩邊和另一角；=2\*GB3②已知兩邊和其中—邊的對(duì)角，求其他兩個(gè)角及另一邊．知識(shí)點(diǎn)二、正弦定理在解三角形中的應(yīng)用利用正弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；知識(shí)點(diǎn)三：三角形的形狀的判定特殊三角形的判定：（1）直角三角形勾股定理：，互余關(guān)系：，，；（2）等腰三角形，；用余弦定理判定三角形的形狀（最大角的余弦值的符號(hào)）（1）在中，；（2）在中，；（3）在中，；知識(shí)點(diǎn)四、三角形面積公式在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則的面積．知識(shí)點(diǎn)五、仰角與俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角．目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示．【典型例題】題型一：已知兩角及任意一邊解三角形【例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A．8 B．5 C．4 D．3【答案】B【解析】在中，，因?yàn)?，所以，則由正弦定理得.故選：B．【變式11】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在中，已知，，，則邊的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，可得，由正弦定理可?故選：B.【變式12】（2024·浙江嘉興·高一校聯(lián)考期中）在△ABC中，，，，則邊長(zhǎng)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理知，，即，解得.故選：D題型二：已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形【例2】（2024·吉林·高一校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，(1)若，求b；(2)若，求b．【解析】（1）由余弦定理，得，解得（負(fù)值舍去），故.（2）由正弦定理，得，∵，∴或，當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴．綜上，或．【變式21】（2024·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)．(1)，，；(2)，，；(3)，，．【解析】（1）由正弦定理，∴，∵，∴，∴只有一解，三角形解的個(gè)數(shù)為一解.（2）由正弦定理，∴，∴，∵，，∴，∴有兩解，三角形解的個(gè)數(shù)為兩解.（3）∵，∴，∴，∴無(wú)解，三角形無(wú)解.【變式22】（2024·四川成都·高一統(tǒng)考期中）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，，．(1)求c的值．(2)求的值．【解析】（1）∵△ABC為銳角三角形，，∴，由余弦定理得：，解得：.故c的值為3.（2）由正弦定理得：，即：，解得：.故的值為.題型三：三角形形狀的判斷【例3】（2024·廣東佛山·高一佛山市南海區(qū)桂華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的三內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別是、、，設(shè)向量，，若，且滿(mǎn)足，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．直角非等腰三角形【答案】B【解析】由題意，向量，，，則，可得：，即.又由，可得，即，∵，∴，∴可解得：，∵，∴，又∵，∴，∴是等邊三角形.故選：B.【變式31】（2024·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）在中，三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【解析】，由正弦定理化簡(jiǎn)得，即，故，，則或，即或，則的形狀為等腰或直角三角形.故選：D.【變式32】（2024·高一?？紗卧獪y(cè)試）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】∵，∴由正弦定理得，又∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴是直角三角形，故選：B.【變式33】（2024·廣東佛山·高一羅定邦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由三角形面積公式可得，，由，，化簡(jiǎn)得，由正弦定理得，，即，得，，由，則，的形狀為直角三角形.故選：B題型四：三角形面積公式及其應(yīng)用【例4】（2024·上海寶山·高一上海交大附中?？计谀┰谥?，角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且.(1)求；(2)若，的周長(zhǎng)為3，求的面積S.【解析】（1）因?yàn)椋瑒t，即，解得.（2）由（1）可知：，且，可得，由題意可知，即，由余弦定理可得，即，解得，所以的面積.【變式41】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，且.(1)求；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng).【解析】（1）由正弦定理得，則.（2），得，由余弦定理，即，則，所以，的周長(zhǎng)為.【變式42】（2024·河南平頂山·高一校考階段練習(xí)）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，向量與平行．(1)求；(2)若，，求的面積．【解析】（1）向量與平行，所以，由正弦定理可知：，，，所以，，可得；（2），，由余弦定理可得：，可得，解得或（舍），的面積為．【變式43】（2024·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，向量，，且．(1)求的值；(2)若，，求的面積．【解析】（1）因?yàn)?，，且，，，又∵為?nèi)角，，（2）由余弦定理，得，解得或（舍去），故，所以．題型五：判斷三角形解的個(gè)數(shù)【例5】（2024·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學(xué)校考期中）設(shè)的角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，的取值范圍是.【答案】【解析】由正弦定理可知，即，所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)解，即有兩解，又，則，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得且，所以，即，解得，即的取值范圍是.故答案為：【變式51】（2024·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，寫(xiě)出“使?jié)M足，的唯一”的a的一個(gè)取值為．【答案】（答案不唯一，滿(mǎn)足或即可）【解析】∵，，∴當(dāng)或，即或時(shí)，唯一；故答案為：（答案不唯一，滿(mǎn)足或即可）【變式52】（2024·浙江臺(tái)州·高一統(tǒng)考期末）在中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知，，，若有兩解，則的取值范圍是.【答案】【解析】由正弦定理得：，即，，若有兩解，則，且，即，所以，故答案為：【變式53】（2024·河北張家口·高一統(tǒng)考期中）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，符合條件的三角形有兩個(gè)，則b的取值范圍是．【答案】【解析】在中，，，因?yàn)榉蠗l件的三角形有兩個(gè)，所以，所以，解得，故b的取值范圍是．故答案為：題型六：用正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題【例6】（2024·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)二中?？计谥校┪覈?guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在△ABC中，若，，則用“三斜求積”公式求得△ABC的面積為.【答案】【解析】，及正弦定理可得，即，舍去，因?yàn)椋?，從而的面積為.故答案為：.【變式61】（2024·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和，測(cè)得，，，并在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高．【答案】90【解析】在三角形中，，，，又，由正弦定理可得：，，解得，又在中，由題意可知：，.故答案為：.【變式62】（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三統(tǒng)考期中）海島上有一座高塔，高塔頂端是觀察臺(tái)，觀察臺(tái)海拔.在觀察臺(tái)上觀察到有一輪船該輪船航行的速度和方向保持不變.上午11時(shí)，測(cè)得該輪船在海島北偏東，俯角為處，11時(shí)20分測(cè)得該輪船在海島北偏西，俯角為處，則該輪船的速度為m/h，再經(jīng)過(guò)分鐘后，該輪船到達(dá)海島的正西方向.【答案】10【解析】如圖：設(shè)輪船上午11時(shí)位于點(diǎn)A，11：20位于B，為觀察臺(tái)，，與底面所成角，在直角三角形中，，與底面所成角，在直角三角形，，在中，，即，從A點(diǎn)到B點(diǎn)的時(shí)間，故，延長(zhǎng)與x軸交于E點(diǎn)，設(shè)，所以，設(shè),在中，，所以，即，∴還需時(shí)間，故答案為：；10.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高一校考階段練習(xí)）在銳角中，角，，所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若，則角等于（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】由正弦定理和可得.因?yàn)樗?，所以，因?yàn)椋詾?故選：A2．（2024·青海·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)正弦定理可知，，，則，得.故選：A3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由正弦定理，得，因?yàn)椋?，又，所以．故選：C.4．（2024·陜西商洛·統(tǒng)考一模）在△中，角的對(duì)邊分別是，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，則．故選：B5．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高二河南省濟(jì)源第一中學(xué)校考期末）在中，，，分別為，，的對(duì)邊，且，，的面積為，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可得，又，且，得，所以，則.故選：B6．（2024·云南大理·高二校考階段練習(xí)）已知角是的內(nèi)角，則“”是“”的（

）A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】在三角形中，成立等價(jià)于，由正弦定理：，充分性：若成立，大角對(duì)大邊，則成立，由上面正弦定理形式得出，滿(mǎn)足充分性；必要性：若成立，由上面正弦定理形式得出，大邊對(duì)大角，則成立，滿(mǎn)足必要性；所以“”是“”的充要條件．故選：C.7．（2024·新疆·校聯(lián)考一模）在中，角的對(duì)應(yīng)邊是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，利用正弦定理邊化角得，因?yàn)?，所以，且，由得，所以，整理得，解得或，所以或，又，所以，所?故選：B8．（2024·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，分別以為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，則，所以，故，又，所以．故選：C.二、多選題9．（2024·遼寧鐵嶺·高三校聯(lián)考期末）在中，，，，則可能為（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由正弦定理，得，又因?yàn)椋?，因?yàn)椋曰?故選：CD.10．（2024·河南省直轄縣級(jí)單位·高一?？茧A段練習(xí)）在中角，，所對(duì)的邊分別為，，，以下敘述或變形中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)，由正弦定理得，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，由正弦定理得，而當(dāng)時(shí)，則或，則或，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，由正弦定理得，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，由正弦定理得，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD11．（2024·江蘇淮安·高三馬壩高中?？计谥校┰谥校撬鶎?duì)的邊為，有如下判斷，其中正確的判斷是（

）A．若，則為等腰直角三角形B．若，則C．若，則符合條件的有兩個(gè)D．在銳角三角形中，不等式恒成立【答案】BD【解析】A選項(xiàng)，，，故或，解得或，所以為等腰三角形或直角三角形，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)?，所以，故，，因?yàn)?，故，B正確；C選項(xiàng)，若，則，則符合條件的有0個(gè)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，為銳角三角形，故為銳角，由余弦定理得，，故不等式恒成立，D正確.故選：BD12．（2024·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，其內(nèi)角的對(duì)邊分別為，下列命題正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，則為等腰三角形D．若，則為等腰三角形【答案】ABD【解析】對(duì)于A.因在上單調(diào)遞減，且，故A正確；對(duì)于B.由正弦定理以及三角形中大邊對(duì)大角，所以若，則，則，故B正確；對(duì)于C.，且為三角形內(nèi)角，所以或者，所以為等腰三角形或者直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D.，則，即，所以為等腰三角形，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則的面積為.【答案】【解析】因?yàn)?，由余弦定理得，因?yàn)椋?，得，?故答案為：14．（2024·上海嘉定·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，的面積為，，，則.【答案】或【解析】由三角形的面積公式可得，則，因?yàn)椋瑒t或.當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得；當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得.綜上所述，或.故答案為：或.15．（2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┰谥?，，那么的值為．【答案】/【解析】∵，∴由正弦定理可得，可得：，，由余弦定理可得.故答案為：.16．（2024·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，D為BC邊上一點(diǎn)，滿(mǎn)足，，則的面積為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，由題意得，，所以，所以，即，所以，在中，由余弦定理得，則，所以，或（舍去），所以面積．.故答案為：．四、解答題17．（2024·云南德宏·高三?？茧A段練習(xí)）已知，，是三邊長(zhǎng)且，的面積，.(1)求角；(2)求，的值.【解析】（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵的面積，∴，∴①，∵，∴②，由①②，解得或，.18．（2