2024屆天津市大良中學(xué) 數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆天津市大良中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則函數(shù)g（x）＝xf（x）﹣1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．52．函數(shù)的最小值為0，則m的取值范圍是()A．(1，2) B．(－1，2)C．[1，2) D．[－1，2)3．將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件A為“兩顆骰子向上點(diǎn)數(shù)不同”，事件B為“至少有一顆骰上點(diǎn)數(shù)為3點(diǎn)”則（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，則它的極坐標(biāo)是（）A． B．C． D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．6．已知，，則“”是“表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中，高一某班50名學(xué)生成績(jī)的平均分為82，方差為8.2，則下列四個(gè)數(shù)中不可能是該班數(shù)學(xué)成績(jī)的是（）A．60 B．70 C．80 D．1008．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在以為圓心，為半徑的圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．39．某幾何體的三視圖如圖，其正視圖中的曲線部分為半圓，則該幾何體的表面積為（）．A． B．C． D．10．周末，某高校一學(xué)生宿舍甲乙丙丁四位同學(xué)正在做四件事情，看書、寫信、聽音樂、玩游戲，下面是關(guān)于他們各自所做事情的一些判斷：①甲不在看書，也不在寫信；②乙不在寫信，也不在聽音樂；③如果甲不在聽音樂，那么丁也不在看書；④丙不在看書，也不寫信.已知這些判斷都是正確的，依據(jù)以上判斷，請(qǐng)問乙同學(xué)正在做的事情是（）A．玩游戲B．寫信C．聽音樂D．看書11．如圖，在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線異面且夾角成的直線的條數(shù)為（）．A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若，均在［1，4］內(nèi)，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班有名學(xué)生,其中人選修課程,另外人選修課程,從該班中任選兩名學(xué)生,他們選修不同課程的概率是__________.14．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則______．15．根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果為____．16．若，則整數(shù)__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，．（1）求；（2）若集合，求的取值范圍；18．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求;（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．19．（12分）《流浪地球》是由劉慈欣的科幻小說改編的電影，在2019年春節(jié)檔上影，該片上影標(biāo)志著中國(guó)電影科幻元年的到來；為了振救地球，延續(xù)百代子孫生存的希望，無數(shù)的人前仆后繼，奮不顧身的精神激蕩人心，催人奮進(jìn).某網(wǎng)絡(luò)調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了大量觀眾的評(píng)分，得到如下統(tǒng)計(jì)表：評(píng)分12345678910頻率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36（1）求觀眾評(píng)分的平均數(shù)？（2）視頻率為概率，若在評(píng)分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取1人，他的評(píng)分恰好是10分的概率是多少？（3）視頻率為概率，在評(píng)分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取4人，用表示評(píng)分為10分的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20．（12分）若二面角的平面角是直角，我們稱平面垂直于平面，記作.（1）如圖，已知，，，且，求證：；（2）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將長(zhǎng)方形沿對(duì)角線翻折，使平面平面，求此時(shí)直線與平面所成角的大小.21．（12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的動(dòng)直線l交于M、N兩點(diǎn).（1）若l垂直于x軸，且線段MN的長(zhǎng)為1，求的方程；（2）若，求線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程；（3）求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；（2）令，若在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，又是的導(dǎo)函數(shù).若正常數(shù)滿足條件.證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x），根據(jù)條件作出函數(shù)f（x）與h（x）的圖象，研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可得到結(jié)論．【題目詳解】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，當(dāng)x＝0時(shí)，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，則等價(jià)為f（x）＝，當(dāng)2＜x≤4時(shí)，0＜x﹣2≤2，此時(shí)f（x）＝f（x﹣2）＝（1﹣|x﹣2﹣1|）＝﹣|x﹣3|，當(dāng)4＜x≤6時(shí)，2＜x﹣2≤4，此時(shí)f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣|x﹣2﹣3|]＝﹣|x﹣5|，作出f（x）的圖象如圖，則f（1）＝1，f（3）＝f（1）＝，f（5）＝f（3）＝，設(shè)h（x）＝，則h（1）＝1，h（3）＝，h（5）＝＞f（5），作出h（x）的圖象，由圖象知兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．2、B【解題分析】

化簡(jiǎn)函數(shù)為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及在時(shí)取得最小值0，求出的范圍.【題目詳解】函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上是減函數(shù)．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝0.根據(jù)題意x∈(m，n]時(shí)，.所以m的取值范圍是－1＜m＜2，故選B.【題目點(diǎn)撥】該題所考查的是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最值，來確定區(qū)間對(duì)應(yīng)的位置，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有反比例型函數(shù)的單調(diào)性，確定最值在哪個(gè)點(diǎn)處取，從而求得對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍，屬于簡(jiǎn)單題目.3、D【解題分析】

用組合數(shù)公式計(jì)算事件A和事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)，代入條件概率公式計(jì)算．【題目詳解】解：兩顆骰子各擲一次包含的基本事件的個(gè)數(shù)是1．事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)有，則．事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)為10，則．所以在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為：，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

由計(jì)算即可?！绢}目詳解】在相應(yīng)的極坐標(biāo)系下，由于點(diǎn)位于第四象限，且極角滿足，所以.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，屬于簡(jiǎn)單題。5、B【解題分析】分析：分析，時(shí)，左邊起始項(xiàng)與終止項(xiàng)，比較差距，得結(jié)果.詳解：時(shí)，左邊為,時(shí)，左邊為,所以左邊需添加的項(xiàng)是，選B.點(diǎn)睛：研究到項(xiàng)的變化，實(shí)質(zhì)是研究式子變化的規(guī)律，起始項(xiàng)與終止項(xiàng)是什么，中間項(xiàng)是如何變化的.6、B【解題分析】

先要理解橢圓方程的基本形式，再利用兩個(gè)命題的關(guān)系即可得出必要不充分．【題目詳解】當(dāng)且時(shí)，表示圓，充分性不成立；當(dāng)表示橢圓時(shí)，且，必要性成立，所以“”是“表示橢圓”的必要不充分條件，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓方程的基本形式，以及命題之間的關(guān)系．7、A【解題分析】

假設(shè)分?jǐn)?shù)為時(shí)，可知，可知分?jǐn)?shù)不可能為，得到結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)為該班某學(xué)生的成績(jī)時(shí)，則，則與方差為矛盾不可能是該班成績(jī)故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查平均數(shù)、方差的相關(guān)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

設(shè)點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，該漸近線與交點(diǎn)為，由平面幾何的性質(zhì)可得為等邊三角形，設(shè)，則有；又，可得，代入離心率即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，該漸近線與交點(diǎn)為，所以為線段的中垂線，故，所以為等邊三角形，設(shè)，則有；又，可得，所以離心率.故選:C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)以及漸近線和離心率，考查了學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算求解能力.9、C【解題分析】幾何體是一個(gè)組合體，包括一個(gè)三棱柱和半個(gè)圓柱，三棱柱的是一個(gè)底面是腰為的等腰直角三角形，高是，其底面積為：，側(cè)面積為：；圓柱的底面半徑是，高是，其底面積為：，側(cè)面積為：；∴組合體的表面積是，本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．10、D【解題分析】由①知甲在聽音樂或玩游戲，由②知乙在看書或玩游戲，由④知丙在聽音樂或玩游戲，由③知，丁在看書，則甲在聽音樂，丙在玩游戲，乙在看書，故選D.11、B【解題分析】

結(jié)合圖形，利用異面直線所成的角的概念，把與A1B成60°角的異面直線一一列出，即得答案．【題目詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線A1B異面且夾角成60°的直線有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4條．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線的定義及判斷方法，異面直線成的角的定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】

先求導(dǎo)，利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，確定;再利用，即，可得，，設(shè)，，確定在上遞增，在有零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】解：，當(dāng)時(shí)，恒成立，則f（x）在（0，+∞）上遞增，則f（x）不可能有兩個(gè)相等的函數(shù)值．故；由題設(shè)，則＝考慮到，即，設(shè)，，則在上恒成立，在上遞增，在有零點(diǎn)，則，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)存在零點(diǎn)，求參數(shù)取值范圍的問題，本題的難點(diǎn)是根據(jù)已知條件，以及，變形為，，然后構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先計(jì)算出總的方法數(shù)，然后在每類選科人中各選一人，利用分步計(jì)算原理計(jì)算得方法數(shù)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式計(jì)算出所求概率.【題目詳解】∵該班有名學(xué)生則從班級(jí)中任選兩名學(xué)生共有種不同的選法又∵15人選修課程,另外35人選修課程∴他們是選修不同課程的學(xué)生的情況有:故從班級(jí)中任選兩名學(xué)生,他們是選修不同課程的學(xué)生的概率.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查古典概型的計(jì)算，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得.【題目詳解】依題意，故故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15、16；【解題分析】

程序語言表示“當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)”，由值控制循環(huán)是否終止，當(dāng)時(shí)，輸出的值.【題目詳解】輸出.【題目點(diǎn)撥】閱讀程序語言時(shí)，要注意循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)，何時(shí)終止循環(huán)是解題的難點(diǎn).16、2【解題分析】

由題得，再解方程即得解.【題目詳解】由題得，所以,所以，所以.故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)，考查組合方程的解法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）分別求解出集合和集合，根據(jù)交集的定義求得結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，由（1）可知，從而得到關(guān)于的不等式，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】；（1）（2），即又時(shí)，或或即的取值范圍為：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算、求解集合中參數(shù)取值范圍的問題；關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求解出兩個(gè)集合；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略兩個(gè)集合均為數(shù)集的特點(diǎn)，誤認(rèn)為兩集合元素不一致，導(dǎo)致求解錯(cuò)誤.18、（1），，；（2），證明見解析【解題分析】

（1）先求得的值，利用求得的表達(dá)式，由此求得的值.（2）根據(jù)（1）猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的體積公式為.【題目詳解】（1）且于是從而可以得到，猜想通項(xiàng)公式（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)，滿足通項(xiàng)公式；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即由（1）知即證當(dāng)時(shí)命題成立；由①②可證成立.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知求，考查數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列的通項(xiàng)公式.19、（1）8；（2）；（3）分布列見解析，2.【解題分析】

（1）利用平均數(shù)的公式求解即可；（2）所求概率為評(píng)分恰好是10分的概率與評(píng)分大于等于8分的概率的比,即可求解；（3）由題知服從,進(jìn)而去利用公式求解分布列及期望即可.【題目詳解】（1）設(shè)觀眾評(píng)分的平均數(shù)為,則（2）設(shè)A表示事件“1位觀眾評(píng)分不小于8分”,B表示事件“1位觀眾評(píng)分是10分”（3）由題知服從,（,1,2,3,4）則的分布列為：01234P【題目點(diǎn)撥】本題考查平均數(shù),考查二項(xiàng)分布的分布列與期望,考查數(shù)據(jù)處理能力.20、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）在內(nèi)過點(diǎn)作，根據(jù)題意得到，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，得到即是直線與平面所成角，根據(jù)題中條件，求出，，由余弦定理得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）在內(nèi)過點(diǎn)作，因?yàn)?，，且，所以，因?yàn)?，所以；?）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所以即是直線與平面所成角；又在長(zhǎng)方形中，，，所以，；因此，所以，又，由余弦定理可得：，所以，所以，因此直線與平面所成角的大小為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面垂直的證明，以及求直線與平面所成的角，熟記線面垂直的判定定理，以及幾何法求線面角即可，屬于?？碱}型.21、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，問題得一解決，（2）利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)斜式方程即可求出，（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），設(shè)l：xmy，M（x1，y1），y1＞0，N（x2，y2），y2＜0根據(jù)根系數(shù)的關(guān)系和兩角和的正切公式，化簡(jiǎn)整理即可求出．【題目詳解】解：（1）由題意，（，±）在拋物線上，代入可求出p，∴Γ的方程為y2＝x，（2）拋物線Γ：y2＝4x，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0）∴，∴（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1+x2），∴k，于是l為y﹣y0（x﹣x0），又l過點(diǎn)F（1，0），∴﹣y0（1﹣x0），即y02＝2（x0﹣1），故線段MN的中點(diǎn)P的軌跡方程為y2＝2（x﹣1）（3）拋物線Γ：y2＝2px（p＞0），