湖北省孝感市孝南區(qū)2024屆數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖北省孝感市孝南區(qū)2024屆數(shù)學高二第二學期期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．被稱為宋元數(shù)學四大家的南宋數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》一書中記載了求解三角形面積的公式，如圖是利用該公式設計的程序框圖，則輸出的的值為（）A．4 B．5 C．6 D．72．已知數(shù)列an:12,122,222,32①210-1210是an的第2036項；②存在常數(shù)M，使得Sn<M恒成立；③其中正確的序號是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④3．在區(qū)間上隨機取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為（）A． B． C． D．4．一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B．C． D．5．已知復數(shù)，，.在復平面上，設復數(shù)，對應的點分別為，，若，其中是坐標原點，則函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．6．在三棱錐中，平面，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，那么下列結(jié)論中錯誤的是（）A．若是的極小值點，則在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)的圖像可以是中心對稱圖形C．，使D．若是的極值點，則8．由①安夢怡是高二（1）班的學生，②安夢怡是獨生子女，③高二（1）班的學生都是獨生子女，寫一個“三段論”形式的推理，則大前提，小前提和結(jié)論分別為（）A．②①③ B．②③① C．①②③ D．③①②9．函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學生分別擔任班長、副班長、團支部書記和體育班委.男生當選的人數(shù)記為，則的數(shù)學期望為（）A． B． C． D．11．已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時（）A． B．C． D．12．在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設隨機變量的分布列（其中），則___．14．若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則______.15．函數(shù)的最小正周期是__________．16．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，焦距為，是橢圓上一點（不在坐標軸上），是的平分線與軸的交點，若，則橢圓離心率的范圍是___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中的內(nèi)角、、，，是邊的三等分點（靠近點），．（）求的大?。ǎ┊斎∽畲笾禃r，求的值．18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）當時，求函數(shù)在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù).19．（12分）如圖,在四棱錐中,底面是矩形,平面平面,,點在棱上,,點是棱的中點,求證：(1)平面;(2)平面.20．（12分）已知集合，其中。表示集合A中任意兩個不同元素的和的不同值的個數(shù)。(1)若，分別求和的值；(2)若集合，求的值，并說明理由；(3)集合中有2019個元素，求的最小值，并說明理由。21．（12分）已知直線，，，其中與的交點為P.（1）求點P到直線的距離；（2）求過點P且與直線的夾角為的直線方程.22．（10分）已知，，為實數(shù).（1）若，求；（2）若，求實數(shù)，的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

模擬程序運行，依次計算可得所求結(jié)果【題目詳解】當，，時，，；當，，時，，；當，，時，，；當，，時，，；故選B【題目點撥】本題考查程序運算的結(jié)果，考查運算能力，需注意所在位置2、B【解題分析】

找出數(shù)列an的規(guī)律：分母為2k的項有2k-1項，并將這些項排成楊輝三角形式的數(shù)陣，使得第k有2k-1項，每項的分母均為2k，并計算出每行各項之和b【題目詳解】由題意可知，數(shù)列an的規(guī)律為：分母為2k的項有2k-1項，將數(shù)列an中的項排成楊輝三角數(shù)陣，且使得第k12對于命題①，210-1210位于數(shù)陣第21對于命題②，數(shù)陣中第k行各項之和為bk，則b且數(shù)列bk的前kTk當k→+∞時，Tk→+∞，因此，不存在正數(shù)M，使得對于命題③，易知第9行最后一項位于數(shù)列an21第10行最后一項位于數(shù)列an的項數(shù)為2036，且1013<2019<2036則a2019位于數(shù)陣第10行第1006項（即2019-1013=1006所以，S=1023由①知，S2036=T則恰好滿足Sn>1019的項an位于第11則有T10+1由于64×63=4032，64×65=4160，則63×64<4096<64×65，∴m=64，因此，滿足Sn>1019的最小正整數(shù)故選：B.【題目點撥】本題考查歸納推理，考查與數(shù)列相關的知識，關鍵要找出數(shù)列的規(guī)律，在解題時可以將規(guī)律轉(zhuǎn)化為楊輝三角來處理，在做題過程中找出項與數(shù)陣中相對應的位置，綜合性較強，屬于難題。3、A【解題分析】因為,若,則,，故選A.4、A【解題分析】

先找到三視圖對應的幾何體原圖，再求幾何體的體積.【題目詳解】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個組合體，由一個底面半徑為1，高為的半圓錐，和一個底面邊長為2的正方形，高為的四棱錐組合而成．故這個幾何體的體積.故選A【題目點撥】本題主要考查三視圖找?guī)缀误w原圖，考查幾何體的體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.5、B【解題分析】

根據(jù)向量垂直關系的坐標運算和三角函數(shù)的最值求解.【題目詳解】據(jù)條件，，，且，所以，，化簡得，，當時，取得最大值為.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的最值，屬于基礎題.6、C【解題分析】

先求出的外接圓的半徑，然后取的外接圓的圓心，過作，且，由于平面，故點為三棱錐的外接球的球心，為外接球半徑，求解即可.【題目詳解】在中，，，可得，則的外接圓的半徑，取的外接圓的圓心，過作，且，因為平面，所以點為三棱錐的外接球的球心，則，即外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積為.故選C.【題目點撥】本題考查了三棱錐的外接球表面積的求法，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.7、A【解題分析】分析：求導f′（x）=3x2+2ax+b，導函數(shù)為二次函數(shù)，若存在極小值點，根據(jù)二次函數(shù)的圖象便知一定存在極大值點，并且該極大值點在極小值點的左邊，從而知道存在實數(shù)x1＜x0，使f（x）在（﹣∞，x1）上單調(diào)遞增，從而判斷出A的結(jié)論錯誤，而根據(jù)f（x）的值域便知f（x）和x軸至少一個交點，從而B的結(jié)論正確，而a=b=c=0時，f（x）=x3為中心對稱圖形，從而判斷C正確，而根據(jù)極值點的定義便知D正確，從而得出結(jié)論錯誤的為A．詳解：A．f′（x）=3x2+2ax+b，導函數(shù)為二次函數(shù)；∴在極小值點的左邊有一個極大值點，即方程f′（x）=0的另一根，設為x1；則x1＜x0，且x＜x1時，f′（x）＞0；即函數(shù)f（x）在（﹣∞，x1）上單調(diào)遞增,∴選項A錯誤；B．該函數(shù)的值域為（﹣∞，+∞），∴f（x）的圖象和x軸至少一個交點；∴?x0∈R，使f（x0）=0；∴選項B正確；C．當a=b=c=0時，f（x）=x3，為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱；∴f（x）是中心對稱圖形,∴選項C正確；D．函數(shù)在極值點處的導數(shù)為0,∴選項D正確．故選：A．點睛：本題利用導函數(shù)研究了函數(shù)的極值點，零點，對稱性，單調(diào)性等性質(zhì)，考查了學生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.8、D【解題分析】

根據(jù)三段論推理的形式“大前提，小前提，結(jié)論”，根據(jù)大前提、小前提和結(jié)論的關系，即可求解.【題目詳解】由題意，利用三段論的形式可得演繹推理的過程是：大前提：③高二（1）班的學生都是獨生子女；小前提：①安夢怡是高二（1）班的學生；結(jié)論：②安夢怡是獨生子女，故選D.【題目點撥】本題主要考查了演繹推理中的三段論推理，其中解答中正確理解三段論推理的形式是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.9、B【解題分析】

由函數(shù)存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，畫出與的大致圖象，根據(jù)使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，得到，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點，因為，所以函數(shù)與函數(shù)唯一交點為，又因為，且，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，又因為是最小正周期為2，最大值為的正弦函數(shù)，所以可得與函數(shù)的大致圖象，如圖所示，所以要使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個焦點，則，因為，則，，所以，解得，又因為，所以實數(shù)的范圍為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的零點問題，函數(shù)的單調(diào)性的應用，以及導數(shù)的應用，其中解答中把唯一零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，結(jié)合圖象進行分析研究是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.10、C【解題分析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學期望.詳解：由題得所以故答案為：C點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力.(2)離散型隨機變量的數(shù)學期望11、B【解題分析】由條件知：是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；是偶函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)；所以在內(nèi)是增函數(shù)；在內(nèi)是減函數(shù)；所以時，故選B12、B【解題分析】

對復數(shù)進行整理化簡，從得到其在復平面所對應的點，得到答案.【題目詳解】復數(shù)，所以復數(shù)在復平面對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B.【題目點撥】本題考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)在復平面對應點所在象限，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)概率和為列方程，解方程求得的值.【題目詳解】依題意，解得.故填【題目點撥】本小題主要考查隨機變量分布列概率和為，考查方程的思想，屬于基礎題.14、【解題分析】

把復數(shù)z=1-2i及它的共軛復數(shù)代入，將其化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【題目詳解】復數(shù)（為虛數(shù)單位），則，，故答案為：6?2i.【題目點撥】本題考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)基本運算，屬于基礎題.15、1【解題分析】

直接利用余弦函數(shù)的周期公式求解即可．【題目詳解】函數(shù)的最小正周期是：1．故答案為1．【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的周期的求法，是基本知識的考查．16、【解題分析】

由已知結(jié)合三角形內(nèi)角平分線定理可得|PF1|＝2|PF2|，再由橢圓定義可得|PF2|，得到a﹣c，從而得到e，再與橢圓離心率的范圍取交集得答案．【題目詳解】∵，∴，，∵是的角平分線，∴，則，由，得，由，可得，由，∴橢圓離心率的范圍是．故答案為：【題目點撥】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，訓練了角平分線定理的應用及橢圓定義的應用，是中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】試題分析;（1）由，可得，整理得.又，所以，即.（2）設，，，則，.由正弦定理得，.又，由，得.因為，所以.因為，所以.所以當，即時，取得最大值，由此可得，.試題解析：（1）因為，所以，即，整理得.又，所以，即.（2）設，，，則，.由正弦定理得，.又，由，得.因為，所以.因為，所以.所以當，即時，取得最大值，此時，所以，.【題目點撥】本題考查正弦定理、勾股定理，求角轉(zhuǎn)化為求角的某個三角函數(shù)值，以及基本不等式求最值問題等，其中著重考查化簡、變形能力．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）分類討論，詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）由已知得，求得，，由點斜式方程可得解.（Ⅱ）由已知得，分類討論，，，四種情況下的零點個數(shù).【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，∴，∴，又，∴切線方程為.（Ⅱ）∵，當時，，即在上為增函數(shù)，∵，，∴在上有一個零點.當時，，∵，，∴在上有一個零點.當時，在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，∵，，此時在上有一個零點.當時，易知在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)，∵，，又有，當，即時，在上有一個零，當時，在上有兩個零.綜上所述，當時，函數(shù)在上有一個零；當時，函數(shù)在上有兩個零點.【題目點撥】本題考查了用導數(shù)求過曲線上一點的切線方程和討論函數(shù)零點個數(shù)問題，考查了分類討論的思想，屬于難題.19、（1）見解析；（2）見解析．【解題分析】分析：(1)，所以點是棱的中點，所以，所以，所以平面.(2)先證明平面所以，又因為，所以平面.詳解：證明：(1)因為在中,，所以點是棱的中點.又點是棱的中點,所以是的中位線,所以.因為底面是矩形,以,所以.又平面,平面,所以平面.(2)因為平面平面,平面，平面平面，所以平面.又平面,所以.因為,,,平面,平面,所以平面.點睛：線面垂直的判定和性質(zhì)定理的應用是高考一直以來的一個熱點，把握該知識點的關鍵在于判定定理和性質(zhì)定理要熟練掌握理解，見到面面垂直一般都要想到其性質(zhì)定理，這是解題的關鍵.20、(1)＝5，＝10(2)見解析；(3)最小值是4035【解題分析】

（1）根據(jù)題意進行元素相加即可得出和的值；(2)因為共有項，所以．由集合，任取，由此能出的值；（3）不妨設，可得，故中至少有4035個不同的數(shù)，即．由此能出的最小值．【題目詳解】（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得＝5，由1+2=3,1+4=5,1+8=9,1+16=17，2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得＝10．（2）證明：因為共有項，所以．