2024屆河南省鄭州市嵩陽高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題含解析

2024屆河南省鄭州市嵩陽高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，則D(3ξ＋5)＝()A．6 B．9C．3 D．42．將兩顆骰子各擲一次，設(shè)事件A為“兩顆骰子向上點(diǎn)數(shù)不同”，事件B為“至少有一顆骰上點(diǎn)數(shù)為3點(diǎn)”則（）A． B． C． D．3．設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布列如表：1234則等于（）A． B． C． D．4．函數(shù)()的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A．1 B． C． D．5．將紅、黑、藍(lán)、黃4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為（）A．18B．24C．30D．366．已知隨機(jī)變量，若，則的值為()A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.47．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出S的值為（）A．0B．-1C．-128．函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A． B． C． D．9．從甲、乙、丙、丁四人中選取兩人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則甲、乙兩人有且僅有一人入選的概率為（）A． B． C． D．10．從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有()種.A．36 B．30 C．12 D．611．把邊長為的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面⊥平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為()A． B．C． D．12．高三(1)班需要安排畢業(yè)晚會(huì)的4個(gè)音樂節(jié)目、2個(gè)舞蹈節(jié)目和l個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）A．800 B．5400 C．4320 D．3600二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，滿足，若時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________．14．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______.15．如圖，在長方形ABCD-中，設(shè)AD=A=1，AB=2，則·等于____________16．已知直線上總存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)作的圓：的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）已知當(dāng)時(shí)恒成立，求的最大值．18．（12分）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，其中為常數(shù).（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20．（12分）2019年高考前夕某地天空出現(xiàn)了一朵點(diǎn)贊云，為了將這朵祥云送給馬上升高三的各位學(xué)子，現(xiàn)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程：（2）點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，求的最小值。21．（12分）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問：在軸上是否在點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，總有？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）某學(xué)生對(duì)其親屬30人的飲食習(xí)慣進(jìn)行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)．（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主．）（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列的列聯(lián)表；（2）能否有99%的把握認(rèn)為其親屬的飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)，并寫出簡要分析．主食蔬菜主食肉類合計(jì)50歲以下50歲以上合計(jì)參考公式：0.050.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

直接利用方差的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】由題意得，，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查方差的性質(zhì)與應(yīng)用，意在考查對(duì)基本性質(zhì)掌握的熟練程度，屬于中檔題.2、D【解題分析】

用組合數(shù)公式計(jì)算事件A和事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)，代入條件概率公式計(jì)算．【題目詳解】解：兩顆骰子各擲一次包含的基本事件的個(gè)數(shù)是1．事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)有，則．事件AB包含的基本事件個(gè)數(shù)為10，則．所以在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為：，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】分析：利用離散型隨機(jī)變量X的概率分布列的性質(zhì)求解.詳解：由離散型隨機(jī)變量X的分布列知：，解得.故選：D.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意離散型隨機(jī)變量X的概率分布列的性質(zhì)的靈活應(yīng)用.4、D【解題分析】

由三角函數(shù)的圖象求得，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】由圖象可知，，即，所以，即，又因?yàn)椋瑒t，解得，又由，所以，所以，又因?yàn)?，所以圖中的最高點(diǎn)坐標(biāo)為.結(jié)合圖象和已知條件可知，所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】解：由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里的種數(shù)是C4把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有A3而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個(gè)盒子里有A3∴編號(hào)為紅球和藍(lán)球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是C426、D【解題分析】

根據(jù)題意隨機(jī)變量可知其正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解，即可得出答案．【題目詳解】根據(jù)正態(tài)分布可知，故．故答案選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)求指定區(qū)間的概率．7、A【解題分析】試題分析：模擬法：S=0,n=1S=12S=-12S=0,n=7,n>5，輸出S=0，故選A．考點(diǎn)：程序框圖．8、A【解題分析】

利用，求出，再利用，求出即可【題目詳解】，，，則有，代入得，則有，，，又，故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的圖像問題，依次求出和即可，屬于簡單題9、B【解題分析】

算出總的個(gè)數(shù)和滿足所求事件的個(gè)數(shù)即可【題目詳解】從甲、乙、丙、丁四人中選取兩人參加某項(xiàng)活動(dòng)，總共有種情況其中滿足甲乙兩人僅有一人入選的有種情況所以甲、乙兩人有且僅有一人入選的概率為故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了古典概型的求法，組合問題的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題10、A【解題分析】從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，因?yàn)橄葟钠溆?人中選出1人擔(dān)任文藝委員，再從4人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，所以不同的選法共有種.本題選擇A選項(xiàng).11、C【解題分析】取BD的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AE，∵平面ABD⊥平面CBD，∴CE⊥AE，∴三角形直角△CEA是三棱錐的側(cè)視圖，∵BD=,∴CE=AE=，∴△CEA的面積S=××=，故選C.12、D【解題分析】先排4個(gè)音樂節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目共有種排法，再從5個(gè)節(jié)目的6隔空插入兩個(gè)不同的舞蹈節(jié)目有種排法，∴共有種排法，故選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

由題意得：的周期為2，且其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后作出圖象即可.【題目詳解】由題意得：的周期為2，且其圖象關(guān)于軸對(duì)稱函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖象如下由圖象觀察可知，共有兩個(gè)交點(diǎn)故答案為：2【題目點(diǎn)撥】一個(gè)復(fù)雜函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題常常是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)常見函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.14、【解題分析】分析：當(dāng)時(shí)，求得；當(dāng)時(shí)，類比寫出，兩式相減整理得，從而確定數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.詳解：當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減，，得數(shù)列是以1為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列通項(xiàng)公式故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查已知數(shù)列的前項(xiàng)和與關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.其求解過程分為三步：（1）當(dāng)時(shí)，求出；（2）當(dāng)時(shí)，用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式；（3）對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．15、1【解題分析】

選取為基底，把其它向量都用基底表示后計(jì)算．【題目詳解】由題意．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取基底，把向量用基底表示后再進(jìn)行計(jì)算．16、【解題分析】分析：若直線l上總存在點(diǎn)M使得過點(diǎn)M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．詳解：如圖，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B．連接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四邊形MACB為正方形，故，若直線l上總存在點(diǎn)M使得過點(diǎn)M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案為：﹣2≤m≤10.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析出.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】

求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由已知切線方程可得a，b的值；

由求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性、最值，可知，由題意可得恒成立，即可得到ab的最大值．【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以解得．?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以．由題意，知恒成立，即恒成立．于是在時(shí)恒成立．記，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以的最大值為．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、最值，利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算能力，屬于難題．18、（1）（2）【解題分析】

（1）利用求出當(dāng)時(shí)的通項(xiàng)，根據(jù)為等比數(shù)列得到的值后可得.（2）利用分組求和法可求的前項(xiàng)和.【題目詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以對(duì)也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因?yàn)?，所以，所以，?【題目點(diǎn)撥】（1）數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是，我們常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.（2）數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)得出平面，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可證明出；（Ⅱ）以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面和平面的法向量，利用向量法求出這兩個(gè)平面所成銳二面角的余弦值．【題目詳解】（Ⅰ）在正方體中，平面，平面，∴；（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，令，可得，∵平面，∴為平面的一個(gè)法向量，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與直線垂直的證明，考查利用空間向量法計(jì)算二面角，解題的關(guān)鍵就是計(jì)算出兩個(gè)平面的法向量，利用空間向量法來進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力與邏輯推理能力，屬于中等題．20、(1)：；：；：；(2)【解題分析】

（1）根據(jù)得的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)平方關(guān)系消參數(shù)得的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)加減消元得的直角坐標(biāo)方程（2）結(jié)合圖像確定的最小值取法，再計(jì)算得結(jié)果.【題目詳解】解：（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程為（2）由與的方程可知，的距離的最小值為的圓心與點(diǎn)的距離減去的半徑。【題目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化普通方程以及直線與圓位置關(guān)系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21、(1)(2)見解析【解題分析】

（1）根據(jù)離心率為，點(diǎn)在橢圓上聯(lián)立方程組解得答案.（2）設(shè)存在定點(diǎn)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得到關(guān)系式，推出，代入數(shù)據(jù)計(jì)