微分中值定理推廣與應(yīng)用

微分中值定理推廣與應(yīng)用摘要：拉格朗日中值定理與柯西中值定理都是羅爾中值定理，在本篇論文里，給出羅爾中值定理的其它多種推廣來擴(kuò)大其應(yīng)用。本文也舉例說明了和性質(zhì),并給出了第二型曲面積分計(jì)算的幾種方法.關(guān)鍵詞：羅爾中值定理；羅爾中值定理Theextensionandapplicationofthedifferentialmean-valuetheoremAbstract：Thelagrangnemean-valuetheoremandtheCauchymean-valuetheoramareextensionoftheRollemean-valuntheorm.InthisarticaltheRollemean-valuetheoremhasbeenconcludedanddeducedinfewmoreformsthathelpedtoexpandtheuseoftheRollemean-valuetheroem.Alsothearticalhasdemonstratedoftheapplicationofdifferentialmean-valuntheorem..KeyWords：Lagrangnemean-valuetheoree;Cauchymean-valuetheorem;Rollemean-valuntheorm引言在數(shù)學(xué)分析課程中羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理統(tǒng)稱為微分中值定理,他們是微分中值學(xué)中最根本、最重要的定理,是連接函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的橋梁,是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)局部性研究函數(shù)整體性的重要數(shù)學(xué)工具,是聯(lián)系閉區(qū)間上實(shí)函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的橋梁與紐帶，具有重要的理論價(jià)值與使用價(jià)值,因此討論微分中值定理的推廣具.為加深學(xué)生對(duì)微分中值定理的理解,更好地掌握微分中值定理的應(yīng)用,本文歸納介紹了微分中值定理的幾種推廣形式及在解題中的一些應(yīng)用。1.微分中值定理的推廣1.1推廣一假設(shè)函數(shù)滿足：①在內(nèi)可導(dǎo)；②,其中為有限值,或,或,那么至少存在一點(diǎn),使。證明：(1)設(shè)為有限值時(shí),對(duì)函數(shù)做連續(xù)延拓,定義易知在上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件,故在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使(2)設(shè),由于在(a,b)內(nèi)連續(xù),有極限的定義,對(duì)充分大的,存在,使那么直線與至少有2個(gè)交點(diǎn)與即不妨設(shè)易知在上滿足羅爾中值定理,故存在,使(3),類似可證還可以把羅爾定理中的有限區(qū)間推廣到無限區(qū)間1.2推廣二假設(shè)函數(shù)滿足：①在上連續(xù)：②在內(nèi)可導(dǎo)：③,那么至少存在一點(diǎn),使證明令,將變換成,記,那么有,,設(shè),從而在上可導(dǎo),且有定義在上,其中,由羅爾定理,存在,使得,那么.又,所以注類似可以證明假設(shè)在上可導(dǎo),且,那么至少存在一點(diǎn),使1.3推廣三假設(shè)函數(shù)滿足：①在區(qū)間上連續(xù)；②在區(qū)間上可導(dǎo)；③,那么至少存在一點(diǎn),使得證明令即當(dāng)時(shí),,,,補(bǔ)充定義，那么在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在一點(diǎn)，使，即記，而故至少存在一點(diǎn)使得1.4推廣四假設(shè)函數(shù)滿足：①在區(qū)間上連續(xù)；②在區(qū)間上可導(dǎo)；③,那么至少存在一點(diǎn),使得。證明令,那么,與對(duì)應(yīng)。,補(bǔ)充定義,,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),據(jù)羅爾中值定理知,在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得,記,有從而有。1.5推廣五如函數(shù)、、滿足：①在上連續(xù)；②在內(nèi)可導(dǎo),那么至少存在一點(diǎn),使證明設(shè),由行列式的性質(zhì)知,利用羅爾中值定理即可得證注；〔1〕假設(shè)并帶入上式即得拉格朗日定理〔2〕假設(shè)令展開即得柯西中值定理2.微分中值定理的應(yīng)用2.1導(dǎo)數(shù)極限定理例1設(shè)函數(shù)滿足：〔1〕在的某鄰域內(nèi)連續(xù)〔2〕那么在處可導(dǎo),且證明：先對(duì)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理,有從而有由故同理可證同理此結(jié)論說明了,假設(shè)有限導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間存在,那么在區(qū)間沒一點(diǎn)連續(xù),它或是連續(xù),或是第二間斷點(diǎn)2.2導(dǎo)數(shù)估值問題例2設(shè)在上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且滿足條件其中,都是非負(fù)常數(shù),是內(nèi)任意一點(diǎn)。證明：證明將在處展為一階泰勒公式〔1〕在〔1〕式中令,那么有〔2〕在〔1〕式中令,那么有〔3〕〔2〕式減〔3〕式,得于是又因?yàn)?故2.3討論方程根的存在性例3設(shè)在上可導(dǎo),且對(duì)任何都有,又。試證在內(nèi)方程有唯一實(shí)根。證明〔存在性〕令在上利用零點(diǎn)定理易證?！参ㄒ恍浴撤醋C法：假設(shè)有兩個(gè)實(shí)根,,使得,不妨設(shè),在上對(duì)利用拉格朗日中值定理,有這與矛盾,故結(jié)論得證2.4證明不等式例4設(shè),證明。證設(shè),那么對(duì)在上利用拉格朗日中值定,有由,知,而,從而有,即。2.5計(jì)算極限例5計(jì)算極限。分析：此題用洛必達(dá)法那么等方法計(jì)算時(shí),形式繁瑣解可以考慮函數(shù)在區(qū)間或上由拉格朗日中值定理,那么有例6計(jì)算極限解考慮函數(shù)在區(qū)間或上，利用拉格朗日中值定理，那么有例7假設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且,求.分析由式,引進(jìn)輔助函數(shù),顯然.解由,知,當(dāng)時(shí),令,對(duì),在上利用柯西中值定理有,即,亦有,或由于,所以當(dāng)時(shí)有和,于是,使即.2.6函數(shù)的單調(diào)性例8證明：假設(shè)函數(shù)在可導(dǎo),單調(diào)增加,且,那么函數(shù)在也單調(diào)增加.證明對(duì)任意,且,那么在與均滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,于是分別存在,使,,由于單調(diào)增加,且,所以,從而,即函數(shù)在也單調(diào)增加.2.7用來判定級(jí)數(shù)的斂散性例9設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,證絕對(duì)收斂.證明由且在可導(dǎo),知故在點(diǎn)處的一階泰勒公式為：,因,故.取有由于收斂,由比擬判別知絕對(duì)收斂.2.8證明有關(guān)等式在證明一些出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的等式時(shí),進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃魏?考慮應(yīng)用微分中值定理加以證明.還有,就是我們?cè)谧C明一些與中值定理有關(guān)的題目時(shí),構(gòu)造輔助函數(shù)是解決問題的關(guān)鍵.在證明題中巧妙選用和構(gòu)造輔助函數(shù),進(jìn)行系統(tǒng)分析和闡述,從而證明相關(guān)結(jié)論.例10是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),假設(shè)對(duì)任意,有,其中是常數(shù),那么是常值函數(shù).證明對(duì)任意,的改變量為,由條件有,即,兩邊關(guān)于取極限得所以.由中值定理,即,故在上是常值函數(shù).思路總結(jié)要想證明一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上恒為常數(shù)一般只需證明該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在同一區(qū)間上恒為零即可.例11設(shè),證明：存在,使得.證明由于在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),,.符合羅爾中值定理的條件,故存在,使例12假設(shè)在上有三階導(dǎo)數(shù),且,設(shè),試證在內(nèi)至少存在一個(gè),使.證明由題設(shè)可知,,,在上存在,又,由羅爾中值定理,使,又可知在上滿足羅爾中值定理,于是,使得,又對(duì)存在,使.例13設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),,試證：使.證明由于,,,由于在上滿足柯西中值定理,所以使,由上面二式可得使得：.例14設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.試證：對(duì)任意給定的正數(shù)在內(nèi)不同的,使.證明由于所以.又由于在上連續(xù)且.由介值性定理,使得,在上分別用拉格朗日中值定理有即即于是由上面兩式有將兩式相加得即.結(jié)束語(yǔ)人們對(duì)微分中值定理的認(rèn)識(shí)可以上溯到公元前古希臘時(shí)代,對(duì)微分中值定理的研究從微積分建立之始就開始了.至今有關(guān)微分中值定理問題的研究非?；顫?且已有豐富的成果,相比之下,對(duì)有關(guān)中值定理應(yīng)用的研究尚不是很全面.討論了洛爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在證明中根的存在性、不等式、等式及判定級(jí)數(shù)的斂散性和求極限等方面的應(yīng)用,最后通過例題表達(dá)微分中值定理在具體問題中的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)