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2024屆天津市靜海區(qū)瀛海學(xué)校高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.122.過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),且,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,則()A. B. C. D.3.已知的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為().A. B. C. D.4.元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論,其中關(guān)于“松竹并生”的問題:松長(zhǎng)五尺,竹長(zhǎng)兩尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而長(zhǎng)等.下圖是源于其思想的一個(gè)程序圖,若,,則輸出的()A.3 B.4 C.5 D.65.已知函數(shù),若方程恰有兩個(gè)不同實(shí)根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.6.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對(duì)2019年這一年的收支情況,下列說法中錯(cuò)誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤(rùn)最大C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤(rùn)超過400萬元7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),函數(shù)滿足,且時(shí),,則()A.2 B. C.1 D.8.若函數(shù)在時(shí)取得最小值,則()A. B. C. D.9.已知滿足,則()A. B. C. D.10.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣8511.如圖,已知三棱錐中,平面平面,記二面角的平面角為,直線與平面所成角為,直線與平面所成角為,則()A. B. C. D.12.已知函數(shù)為奇函數(shù),則()A. B.1 C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,滿足,,且已知向量,的夾角為,,則的最小值是__.14.某大學(xué)、、、四個(gè)不同的專業(yè)人數(shù)占本校總?cè)藬?shù)的比例依次為、、、,現(xiàn)欲采用分層抽樣的方法從這四個(gè)專業(yè)的總?cè)藬?shù)中抽取人調(diào)查畢業(yè)后的就業(yè)情況,則專業(yè)應(yīng)抽取_________人.15.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為________16.運(yùn)行下面的算法偽代碼,輸出的結(jié)果為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,平面,,,是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面平面;(ⅠⅠ)求直線與平面所成的角的正弦值.18.(12分)已知橢圓:的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為,原點(diǎn)到直線的距離為.(1)求橢圓的方程;(2)已知定點(diǎn),是否存在過的直線,使與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)?若存在,求出的方程:若不存在,請(qǐng)說明理由.19.(12分)市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房,銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金:每月的還款額呈遞減趨勢(shì),且從第二個(gè)還款月開始,每月還款額與上月還款額的差均相同;②等額本息:每個(gè)月的還款額均相同.銀行規(guī)定,在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款(若2019年7月7日貸款到賬,則2019年8月7日首次還款).已知小張?jiān)摴P貸款年限為20年,月利率為0.004.(1)若小張采取等額本金的還款方式,現(xiàn)已得知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元,最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元,試計(jì)算小張?jiān)摴P貸款的總利息;(2)若小張采取等額本息的還款方式,銀行規(guī)定,每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半,已知小張家庭平均月收入為1萬元,判斷小張?jiān)摴P貸款是否能夠獲批(不考慮其他因素);(3)對(duì)比兩種還款方式,從經(jīng)濟(jì)利益的角度來考慮,小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù):.20.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域;(2),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點(diǎn).(1).求證:平面平面;(2).若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)如圖所示,三棱柱中,平面,點(diǎn),分別在線段,上,且,,是線段的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項(xiàng),列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項(xiàng).對(duì)于等差數(shù)列,一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來,繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對(duì)比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計(jì)算量大大減少.2、B【解析】
設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,由得,將直線的方程代入韋達(dá)定理,求得,結(jié)合的面積求得的值,結(jié)合焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得.【詳解】設(shè)點(diǎn)、,并設(shè)直線的方程為,將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,消去得,由韋達(dá)定理得,,,,,,,,可得,,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,的面積為,解得,則拋物線的方程為,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的計(jì)算,計(jì)算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中等題.3、D【解析】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.考點(diǎn):二項(xiàng)式系數(shù),二項(xiàng)式系數(shù)和.4、B【解析】分析:根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列,公比為;根據(jù)流程圖中的可知,每次循環(huán)的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列,公比為,根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解:記執(zhí)行第次循環(huán)時(shí),的值記為有,則有;記執(zhí)行第次循環(huán)時(shí),的值記為有,則有.令,則有,故,故選B.點(diǎn)睛:本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項(xiàng)的綜合,屬于中檔題,解題時(shí)注意流程圖中蘊(yùn)含的數(shù)列關(guān)系(比如相鄰項(xiàng)滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義,是否是求數(shù)列的前和、前項(xiàng)積等).5、D【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個(gè)不同實(shí)根,即函數(shù)和有圖像兩個(gè)交點(diǎn),計(jì)算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個(gè)交點(diǎn).,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項(xiàng)A正確;1至12月份的利潤(rùn)分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤(rùn)最高,故選項(xiàng)B正確;易求得總利潤(rùn)為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.7、D【解析】
說明函數(shù)是周期函數(shù),由周期性把自變量的值變小,再結(jié)合奇偶性計(jì)算函數(shù)值.【詳解】由知函數(shù)的周期為4,又是奇函數(shù),,又,∴,∴.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ).8、D【解析】
利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值.【詳解】解:,其中,,,故當(dāng),即時(shí),函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
利用兩角和與差的余弦公式展開計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角求值,涉及兩角和與差的余弦公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過解該方程求得它們的值,求首項(xiàng)和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因?yàn)槠矫嫫矫?平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因?yàn)?故.故,當(dāng)且僅當(dāng)重合時(shí)取等號(hào).又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)取等號(hào).故.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時(shí)運(yùn)用線面角的最小性進(jìn)行判定.屬于中檔題.12、B【解析】
根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性,判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù),為偶函數(shù),所以為偶函數(shù),故,也即,化簡(jiǎn)得,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求的最小值可以轉(zhuǎn)化為求以AB為直徑的圓到點(diǎn)O的最小距離,由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示,設(shè),由題,得,又,所以,則點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上,取AB的中點(diǎn)為M,則,設(shè)以AB為直徑的圓與線段OM的交點(diǎn)為E,則的最小值是,因?yàn)椋?,所以的最小值?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的綜合應(yīng)用問題,涉及到圓的相關(guān)知識(shí)與余弦定理,考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.14、【解析】
求出專業(yè)人數(shù)在、、、四個(gè)專業(yè)總?cè)藬?shù)的比例后可得.【詳解】由題意、、、四個(gè)不同的專業(yè)人數(shù)的比例為,故專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,根據(jù)分層抽樣的定義,在各層抽取樣本數(shù)量是按比例抽取的.15、0.35【解析】
根據(jù)對(duì)立事件的概率和為1,結(jié)合題意,即可求出結(jié)果來.【詳解】解:由題意知本題是一個(gè)對(duì)立事件的概率,抽到的不是一等品的對(duì)立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了求互斥事件與對(duì)立事件的概率的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
模擬程序的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后計(jì)算并輸出的值,用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】模擬程序的運(yùn)行過程知,該程序運(yùn)行后執(zhí)行:.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查算法語句中的循環(huán)語句和裂項(xiàng)相消法求和;掌握循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接交于,得,所以面,又,得面,即可利用面面平行的判定定理,證得結(jié)論;(Ⅱ)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求的平面的一個(gè)法向量,利用向量和向量夾角公式,即可求解與平面所成角的正弦值.試題解析:(Ⅰ)連接BD交AC于O,易知O是BD的中點(diǎn),故OG//BE,BE面BEF,OG在面BEF外,所以O(shè)G//面BEF;又EF//AC,AC在面BEF外,AC//面BEF,又AC與OG相交于點(diǎn)O,面ACG有兩條相交直線與面BEF平行,故面ACG∥面BEF;(Ⅱ)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C、OD、OF為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè)面ABF的法向量為,依題意有,,令,,,,,直線AD與面ABF成的角的正弦值是.18、(1);(2)存在,且方程為或.【解析】
(1)依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組,求得a,b,進(jìn)而可得到橢圓方程;(2)聯(lián)立直線和橢圓得到,要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn),則,結(jié)合韋達(dá)定理可得到參數(shù)值.【詳解】(1)直線的一般方程為.依題意,解得,故橢圓的方程式為.(2)假若存在這樣的直線,當(dāng)斜率不存在時(shí),以為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn),所以可設(shè)直線的斜率為,則直線的方程為.由,得.由,得.記,的坐標(biāo)分別為,,則,,而.要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn),則,即,所以,整理解得或,所以存在過的直線,使與橢圓交于,兩點(diǎn),且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn),直線的方程為或.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達(dá)定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一,尤其是弦中點(diǎn)問題,弦長(zhǎng)問題,可用韋達(dá)定理直接解決,但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用.19、(1)289200元;(2)能夠獲批;(3)應(yīng)選擇等額本金還款方式【解析】
(1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,即可由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得其還款總額,減去本金即為還款的利息;(2)根據(jù)題意,采取等額本息的還款方式,每月還款額為一等比數(shù)列,設(shè)小張每月還款額為元,由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù),即可求得其還款額,與收入的一半比較即可判斷;(3)計(jì)算出等額本息還款方式時(shí)所付出的總利息,兩個(gè)利息比較即可判斷.【詳解】(1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,記為,表示數(shù)列的前項(xiàng)和,則,,則,故小張?jiān)摴P貸款的總利息為元.(2)設(shè)小張每月還款額為元,采取等額本息的還款方式,每月還款額為一等比數(shù)列,則,所以,即,因?yàn)椋孕堅(jiān)摴P貸款能夠獲批.(3)小張采取等額本息貸款方式的總利息為:,因?yàn)椋詮慕?jīng)濟(jì)利益的角度來考慮,小張應(yīng)選擇等額本金還款方式.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用,數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用,理解題意是解決問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)將代入函數(shù)的解析式,將函數(shù)的及解析式變形為分段函數(shù),利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域;(2)由參變量分離法得出在區(qū)間內(nèi)有解,分和討論,求得函數(shù)的最大值,即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.函數(shù)的值域?yàn)?;?)不等式等價(jià)于,即在區(qū)間內(nèi)有解當(dāng)時(shí),,此時(shí),,則;當(dāng)時(shí),,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對(duì)值函數(shù)的值域與含絕對(duì)值不等式有解的問題,利用絕對(duì)值的應(yīng)用將
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