工程數(shù)學(xué)下冊(cè)戴明強(qiáng)劉子瑞主編

工程數(shù)學(xué)下冊(cè)戴明強(qiáng)劉子瑞主編contents目錄緒論線性代數(shù)基礎(chǔ)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)值計(jì)算方法圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化矩陣分析與計(jì)算復(fù)變函數(shù)與積分變換01緒論

工程數(shù)學(xué)概述工程數(shù)學(xué)的定義工程數(shù)學(xué)是應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，主要研究數(shù)學(xué)在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用。工程數(shù)學(xué)與純數(shù)學(xué)的區(qū)別工程數(shù)學(xué)更注重?cái)?shù)學(xué)在工程實(shí)際問題中的應(yīng)用，而純數(shù)學(xué)則更側(cè)重于數(shù)學(xué)理論的研究。工程數(shù)學(xué)的重要性工程數(shù)學(xué)為工程技術(shù)人員提供了解決復(fù)雜問題的數(shù)學(xué)工具和方法，是現(xiàn)代工程技術(shù)的基礎(chǔ)。機(jī)械工程電氣工程計(jì)算機(jī)科學(xué)土木工程工程數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域在機(jī)械工程中，工程數(shù)學(xué)可用于機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)、優(yōu)化、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)等方面的分析和計(jì)算。在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，工程數(shù)學(xué)可用于算法設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、圖像處理、人工智能等方面的研究。在電氣工程中，工程數(shù)學(xué)可用于電路分析、信號(hào)處理、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)等方面的研究。在土木工程中，工程數(shù)學(xué)可用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、流體力學(xué)、地質(zhì)工程等方面的分析和設(shè)計(jì)。包括矩陣?yán)碚?、線性方程組、特征值與特征向量等內(nèi)容，為工程領(lǐng)域中的數(shù)據(jù)處理和數(shù)值計(jì)算提供基礎(chǔ)。線性代數(shù)包括概率論基本概念、隨機(jī)變量及其分布、數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)等內(nèi)容，為工程領(lǐng)域中的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估和數(shù)據(jù)分析提供方法。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)包括插值法、擬合與逼近、數(shù)值微分與積分、常微分方程數(shù)值解等內(nèi)容，為工程領(lǐng)域中的數(shù)值計(jì)算和模擬提供工具。數(shù)值分析包括無約束最優(yōu)化方法、約束最優(yōu)化方法等內(nèi)容，為工程領(lǐng)域中的優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制提供方法。最優(yōu)化方法工程數(shù)學(xué)下冊(cè)內(nèi)容結(jié)構(gòu)02線性代數(shù)基礎(chǔ)向量是既有大小又有方向的量，滿足加法與數(shù)乘的封閉性、結(jié)合律、交換律等性質(zhì)。向量的定義與性質(zhì)矩陣的定義與運(yùn)算特殊矩陣矩陣是由數(shù)值組成的矩形陣列，可進(jìn)行加法、數(shù)乘、乘法等運(yùn)算，滿足相應(yīng)的運(yùn)算法則。包括零矩陣、對(duì)角矩陣、單位矩陣、上（下）三角矩陣等，具有特殊的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則。030201向量與矩陣線性方程組的解法包括消元法、克拉默法則、矩陣的初等變換等方法，可求解線性方程組的解。線性方程組的表示線性方程組是由一組線性方程構(gòu)成的方程組，可表示為Ax=b的形式，其中A為系數(shù)矩陣，x為未知數(shù)列向量，b為常數(shù)列向量。線性方程組的應(yīng)用在工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域中，線性方程組被廣泛應(yīng)用于解決實(shí)際問題。線性方程組設(shè)A為n階方陣，若存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ為A的特征值，x為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征值與特征向量的定義包括特征值的和等于方陣對(duì)角線元素之和、特征值的積等于方陣的行列式值等性質(zhì)。特征值與特征向量的性質(zhì)在振動(dòng)分析、穩(wěn)定性分析等領(lǐng)域中，特征值與特征向量被用于描述系統(tǒng)的固有屬性和行為。特征值與特征向量的應(yīng)用特征值與特征向量123二次型是一個(gè)二次齊次多項(xiàng)式，可表示為f(x)=x'Ax的形式，其中A為對(duì)稱矩陣。二次型具有對(duì)稱性、可配性等性質(zhì)。二次型的定義與性質(zhì)通過正交變換或配方法，可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形或規(guī)范形，便于分析和求解。二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形在優(yōu)化理論、控制論等領(lǐng)域中，二次型被用于描述目標(biāo)函數(shù)或約束條件，進(jìn)而求解最優(yōu)化問題或控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題。二次型的應(yīng)用二次型03概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)事件與概率在一定條件下并不總是發(fā)生的事件，具有偶然性。表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，其值介于0和1之間。每個(gè)樣本點(diǎn)等可能出現(xiàn)，且樣本空間有限。在某一條件下，某一事件發(fā)生的概率。隨機(jī)事件概率古典概型條件概率隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)隨機(jī)變量及其分布01020304定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化。取值可數(shù)的隨機(jī)變量，如二項(xiàng)分布、泊松分布等。取值充滿某個(gè)區(qū)間的隨機(jī)變量，如正態(tài)分布、均勻分布等。描述隨機(jī)變量取值的概率分布規(guī)律的函數(shù)。研究對(duì)象的全體稱為總體，從總體中隨機(jī)抽取的一部分稱為樣本?？傮w與樣本由樣本構(gòu)造出的一個(gè)不含總體未知參數(shù)的函數(shù)。統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量的概率分布，如卡方分布、t分布和F分布等。抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)利用樣本信息對(duì)總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。參數(shù)估計(jì)先對(duì)總體參數(shù)提出某種假設(shè)，然后利用樣本信息判斷假設(shè)是否成立的過程。假設(shè)檢驗(yàn)在假設(shè)檢驗(yàn)中，用于判斷假設(shè)是否成立的臨界概率值。顯著性水平在假設(shè)檢驗(yàn)中可能犯的錯(cuò)誤，包括棄真錯(cuò)誤和取偽錯(cuò)誤。兩類錯(cuò)誤參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)04數(shù)值計(jì)算方法插值法插值法的基本概念通過已知數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，使得該函數(shù)在已知點(diǎn)處取值與已知數(shù)據(jù)點(diǎn)相同，并利用該函數(shù)預(yù)測(cè)未知點(diǎn)的值。插值多項(xiàng)式的構(gòu)造通過拉格朗日插值、牛頓插值等方法構(gòu)造插值多項(xiàng)式，并討論插值多項(xiàng)式的性質(zhì)。分段插值針對(duì)高次插值可能出現(xiàn)的龍格現(xiàn)象，采用分段低次插值來提高插值精度。三次樣條插值構(gòu)造一種特殊的分段三次多項(xiàng)式插值函數(shù)，使得該函數(shù)在各段內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。根據(jù)實(shí)際問題的需要，通過已知數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù)，使得該函數(shù)在某種意義下最接近已知數(shù)據(jù)點(diǎn)。擬合問題的提出通過最小化誤差的平方和來求解擬合函數(shù)的參數(shù)，使得擬合函數(shù)在整體上最接近已知數(shù)據(jù)點(diǎn)。最小二乘法的原理針對(duì)線性擬合問題，通過求解線性方程組得到擬合函數(shù)的參數(shù)。線性最小二乘法針對(duì)非線性擬合問題，通過迭代算法求解擬合函數(shù)的參數(shù)。非線性最小二乘法擬合與最小二乘法利用已知函數(shù)在某些點(diǎn)處的取值來近似計(jì)算該函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的定積分。數(shù)值積分的基本概念牛頓-柯特斯公式高斯型求積公式數(shù)值微分通過等距節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值構(gòu)造數(shù)值積分公式，如梯形公式、辛普森公式等。構(gòu)造一種具有高精度和穩(wěn)定性的數(shù)值積分公式，如高斯-勒讓德求積公式、高斯-切比雪夫求積公式等。利用已知函數(shù)在某些點(diǎn)處的取值來近似計(jì)算該函數(shù)在這些點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)或微分。數(shù)值積分與微分常微分方程的基本概念研究自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。歐拉方法通過逐步逼近的方式求解常微分方程的數(shù)值解，包括歐拉法、改進(jìn)歐拉法等。龍格-庫塔方法構(gòu)造一種高精度的常微分方程數(shù)值解法，通過多步計(jì)算來提高求解精度。線性多步法針對(duì)線性常微分方程，構(gòu)造一種利用多個(gè)已知點(diǎn)的信息來求解未知點(diǎn)的數(shù)值方法。常微分方程數(shù)值解法05圖論與網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化圖是由頂點(diǎn)集和邊集構(gòu)成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，可以表示為G=(V,E)，其中V是頂點(diǎn)的集合，E是邊的集合。圖的定義與表示圖的矩陣表示包括鄰接矩陣和關(guān)聯(lián)矩陣。鄰接矩陣表示頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系，關(guān)聯(lián)矩陣表示頂點(diǎn)和邊之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。圖的矩陣表示子圖是由原圖的部分頂點(diǎn)和邊構(gòu)成的圖。圖的運(yùn)算包括并、交、差等。子圖與圖的運(yùn)算在無向圖中，若任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在路徑，則稱該圖是連通的。連通分量是無向圖中的極大連通子圖。連通性與連通分量圖論基本概念03Bellman-Ford算法適用于有負(fù)權(quán)邊的有向圖，通過對(duì)所有邊進(jìn)行松弛操作求解最短路徑。01Dijkstra算法適用于沒有負(fù)權(quán)邊的有向圖，通過貪心策略逐步確定從源點(diǎn)到其他頂點(diǎn)的最短路徑。02Floyd算法適用于任意有向圖，通過動(dòng)態(tài)規(guī)劃思想求解所有頂點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑。最短路徑問題最大流問題的定義在一個(gè)有向圖中，尋找從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的最大流量，使得流量滿足容量限制和流量守恒原則。增廣路定理與Ford-Fulkerson算法通過不斷尋找增廣路并增加流量，直到不存在增廣路為止，此時(shí)達(dá)到最大流。Edmonds-Karp算法對(duì)Ford-Fulkerson算法的改進(jìn)，使用廣度優(yōu)先搜索尋找增廣路，時(shí)間復(fù)雜度更優(yōu)。最大流問題求解連通無向圖的最小生成樹，常用算法有Prim算法和Kruskal算法。最小生成樹算法在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，最短路算法可用于求解最短路徑、最小費(fèi)用等問題。最短路算法的應(yīng)用最大流算法可用于求解網(wǎng)絡(luò)最大流、最小割等問題，以及在網(wǎng)絡(luò)流模型中的應(yīng)用。最大流算法的應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化算法06矩陣分析與計(jì)算矩陣函數(shù)的微分討論矩陣函數(shù)關(guān)于矩陣變量的微分，以及微分在一些實(shí)際問題中的應(yīng)用。矩陣函數(shù)的積分介紹矩陣函數(shù)的積分概念及計(jì)算方法，包括定積分和不定積分的計(jì)算。矩陣函數(shù)的定義與性質(zhì)包括矩陣指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等的定義及基本性質(zhì)。矩陣函數(shù)與微分闡述矩陣冪級(jí)數(shù)的定義及收斂性，給出常見的矩陣冪級(jí)數(shù)展開式。矩陣冪級(jí)數(shù)的概念通過實(shí)例介紹矩陣冪級(jí)數(shù)在解決微分方程、差分方程等問題中的應(yīng)用。矩陣冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用利用矩陣冪級(jí)數(shù)對(duì)矩陣函數(shù)進(jìn)行逼近，討論逼近的精度和收斂速度。矩陣函數(shù)的逼近矩陣冪級(jí)數(shù)展開及應(yīng)用線性方程組求解介紹高斯消元法、LU分解法等求解線性方程組的方法，并分析其穩(wěn)定性和復(fù)雜性。非線性方程組求解闡述牛頓法、擬牛頓法等求解非線性方程組的方法，給出算法的收斂性分析和實(shí)際應(yīng)用舉例。特殊類型方程求解針對(duì)一些特殊類型的方程，如Sylvester方程、Lyapunov方程等，介紹其求解方法和應(yīng)用領(lǐng)域。矩陣方程求解方法闡述迭代法求解非線性方程組的基本思想，包括不動(dòng)點(diǎn)迭代、牛頓迭代等。迭代法的基本思想分析迭代法的收斂性條件，給出判斷迭代法收斂的方法。迭代法的收斂性介紹一些加速迭代法收斂速度的技巧和方法，如松弛法、共軛梯度法等。加速迭代法非線性方程組迭代解法07復(fù)變函數(shù)與積分變換010204復(fù)變函數(shù)基本概念及性質(zhì)復(fù)數(shù)的表示方法及運(yùn)算規(guī)則復(fù)變函數(shù)的定義及表示方法復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的