工程數學下冊戴明強劉子瑞主編

工程數學下冊戴明強劉子瑞主編contents目錄緒論線性代數基礎概率論與數理統(tǒng)計數值計算方法圖論與網絡優(yōu)化矩陣分析與計算復變函數與積分變換01緒論

工程數學概述工程數學的定義工程數學是應用數學的一個分支，主要研究數學在工程領域中的應用。工程數學與純數學的區(qū)別工程數學更注重數學在工程實際問題中的應用，而純數學則更側重于數學理論的研究。工程數學的重要性工程數學為工程技術人員提供了解決復雜問題的數學工具和方法，是現代工程技術的基礎。機械工程電氣工程計算機科學土木工程工程數學應用領域在機械工程中，工程數學可用于機構設計、優(yōu)化、運動學、動力學等方面的分析和計算。在計算機科學中，工程數學可用于算法設計、數據結構、圖像處理、人工智能等方面的研究。在電氣工程中，工程數學可用于電路分析、信號處理、控制系統(tǒng)設計等方面的研究。在土木工程中，工程數學可用于結構力學、流體力學、地質工程等方面的分析和設計。包括矩陣理論、線性方程組、特征值與特征向量等內容，為工程領域中的數據處理和數值計算提供基礎。線性代數包括概率論基本概念、隨機變量及其分布、數理統(tǒng)計基礎等內容，為工程領域中的風險評估和數據分析提供方法。概率論與數理統(tǒng)計包括插值法、擬合與逼近、數值微分與積分、常微分方程數值解等內容，為工程領域中的數值計算和模擬提供工具。數值分析包括無約束最優(yōu)化方法、約束最優(yōu)化方法等內容，為工程領域中的優(yōu)化設計和控制提供方法。最優(yōu)化方法工程數學下冊內容結構02線性代數基礎向量是既有大小又有方向的量，滿足加法與數乘的封閉性、結合律、交換律等性質。向量的定義與性質矩陣的定義與運算特殊矩陣矩陣是由數值組成的矩形陣列，可進行加法、數乘、乘法等運算，滿足相應的運算法則。包括零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、上（下）三角矩陣等，具有特殊的性質和運算規(guī)則。030201向量與矩陣線性方程組的解法包括消元法、克拉默法則、矩陣的初等變換等方法，可求解線性方程組的解。線性方程組的表示線性方程組是由一組線性方程構成的方程組，可表示為Ax=b的形式，其中A為系數矩陣，x為未知數列向量，b為常數列向量。線性方程組的應用在工程學、經濟學等領域中，線性方程組被廣泛應用于解決實際問題。線性方程組設A為n階方陣，若存在數λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ為A的特征值，x為A的對應于特征值λ的特征向量。特征值與特征向量的定義包括特征值的和等于方陣對角線元素之和、特征值的積等于方陣的行列式值等性質。特征值與特征向量的性質在振動分析、穩(wěn)定性分析等領域中，特征值與特征向量被用于描述系統(tǒng)的固有屬性和行為。特征值與特征向量的應用特征值與特征向量123二次型是一個二次齊次多項式，可表示為f(x)=x'Ax的形式，其中A為對稱矩陣。二次型具有對稱性、可配性等性質。二次型的定義與性質通過正交變換或配方法，可將二次型化為標準形或規(guī)范形，便于分析和求解。二次型的標準形與規(guī)范形在優(yōu)化理論、控制論等領域中，二次型被用于描述目標函數或約束條件，進而求解最優(yōu)化問題或控制系統(tǒng)設計問題。二次型的應用二次型03概率論與數理統(tǒng)計隨機事件與概率在一定條件下并不總是發(fā)生的事件，具有偶然性。表示隨機事件發(fā)生的可能性大小的數值，其值介于0和1之間。每個樣本點等可能出現，且樣本空間有限。在某一條件下，某一事件發(fā)生的概率。隨機事件概率古典概型條件概率隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量分布函數隨機變量及其分布01020304定義在樣本空間上的實值函數，將隨機試驗的結果數量化。取值可數的隨機變量，如二項分布、泊松分布等。取值充滿某個區(qū)間的隨機變量，如正態(tài)分布、均勻分布等。描述隨機變量取值的概率分布規(guī)律的函數。研究對象的全體稱為總體，從總體中隨機抽取的一部分稱為樣本?？傮w與樣本由樣本構造出的一個不含總體未知參數的函數。統(tǒng)計量統(tǒng)計量的概率分布，如卡方分布、t分布和F分布等。抽樣分布數理統(tǒng)計基礎利用樣本信息對總體參數進行估計，包括點估計和區(qū)間估計。參數估計先對總體參數提出某種假設，然后利用樣本信息判斷假設是否成立的過程。假設檢驗在假設檢驗中，用于判斷假設是否成立的臨界概率值。顯著性水平在假設檢驗中可能犯的錯誤，包括棄真錯誤和取偽錯誤。兩類錯誤參數估計與假設檢驗04數值計算方法插值法插值法的基本概念通過已知數據點構造一個函數，使得該函數在已知點處取值與已知數據點相同，并利用該函數預測未知點的值。插值多項式的構造通過拉格朗日插值、牛頓插值等方法構造插值多項式，并討論插值多項式的性質。分段插值針對高次插值可能出現的龍格現象，采用分段低次插值來提高插值精度。三次樣條插值構造一種特殊的分段三次多項式插值函數，使得該函數在各段內具有二階連續(xù)導數。根據實際問題的需要，通過已知數據點構造一個近似函數，使得該函數在某種意義下最接近已知數據點。擬合問題的提出通過最小化誤差的平方和來求解擬合函數的參數，使得擬合函數在整體上最接近已知數據點。最小二乘法的原理針對線性擬合問題，通過求解線性方程組得到擬合函數的參數。線性最小二乘法針對非線性擬合問題，通過迭代算法求解擬合函數的參數。非線性最小二乘法擬合與最小二乘法利用已知函數在某些點處的取值來近似計算該函數在某個區(qū)間上的定積分。數值積分的基本概念牛頓-柯特斯公式高斯型求積公式數值微分通過等距節(jié)點的函數值構造數值積分公式，如梯形公式、辛普森公式等。構造一種具有高精度和穩(wěn)定性的數值積分公式，如高斯-勒讓德求積公式、高斯-切比雪夫求積公式等。利用已知函數在某些點處的取值來近似計算該函數在這些點處的導數或微分。數值積分與微分常微分方程的基本概念研究自變量、未知函數以及未知函數的導數之間的關系。歐拉方法通過逐步逼近的方式求解常微分方程的數值解，包括歐拉法、改進歐拉法等。龍格-庫塔方法構造一種高精度的常微分方程數值解法，通過多步計算來提高求解精度。線性多步法針對線性常微分方程，構造一種利用多個已知點的信息來求解未知點的數值方法。常微分方程數值解法05圖論與網絡優(yōu)化圖是由頂點集和邊集構成的數據結構，可以表示為G=(V,E)，其中V是頂點的集合，E是邊的集合。圖的定義與表示圖的矩陣表示包括鄰接矩陣和關聯(lián)矩陣。鄰接矩陣表示頂點之間的連接關系，關聯(lián)矩陣表示頂點和邊之間的關聯(lián)關系。圖的矩陣表示子圖是由原圖的部分頂點和邊構成的圖。圖的運算包括并、交、差等。子圖與圖的運算在無向圖中，若任意兩個頂點之間都存在路徑，則稱該圖是連通的。連通分量是無向圖中的極大連通子圖。連通性與連通分量圖論基本概念03Bellman-Ford算法適用于有負權邊的有向圖，通過對所有邊進行松弛操作求解最短路徑。01Dijkstra算法適用于沒有負權邊的有向圖，通過貪心策略逐步確定從源點到其他頂點的最短路徑。02Floyd算法適用于任意有向圖，通過動態(tài)規(guī)劃思想求解所有頂點對之間的最短路徑。最短路徑問題最大流問題的定義在一個有向圖中，尋找從源點到匯點的最大流量，使得流量滿足容量限制和流量守恒原則。增廣路定理與Ford-Fulkerson算法通過不斷尋找增廣路并增加流量，直到不存在增廣路為止，此時達到最大流。Edmonds-Karp算法對Ford-Fulkerson算法的改進，使用廣度優(yōu)先搜索尋找增廣路，時間復雜度更優(yōu)。最大流問題求解連通無向圖的最小生成樹，常用算法有Prim算法和Kruskal算法。最小生成樹算法在網絡優(yōu)化中，最短路算法可用于求解最短路徑、最小費用等問題。最短路算法的應用最大流算法可用于求解網絡最大流、最小割等問題，以及在網絡流模型中的應用。最大流算法的應用網絡優(yōu)化算法06矩陣分析與計算矩陣函數的微分討論矩陣函數關于矩陣變量的微分，以及微分在一些實際問題中的應用。矩陣函數的積分介紹矩陣函數的積分概念及計算方法，包括定積分和不定積分的計算。矩陣函數的定義與性質包括矩陣指數函數、三角函數、對數函數等的定義及基本性質。矩陣函數與微分闡述矩陣冪級數的定義及收斂性，給出常見的矩陣冪級數展開式。矩陣冪級數的概念通過實例介紹矩陣冪級數在解決微分方程、差分方程等問題中的應用。矩陣冪級數的應用利用矩陣冪級數對矩陣函數進行逼近，討論逼近的精度和收斂速度。矩陣函數的逼近矩陣冪級數展開及應用線性方程組求解介紹高斯消元法、LU分解法等求解線性方程組的方法，并分析其穩(wěn)定性和復雜性。非線性方程組求解闡述牛頓法、擬牛頓法等求解非線性方程組的方法，給出算法的收斂性分析和實際應用舉例。特殊類型方程求解針對一些特殊類型的方程，如Sylvester方程、Lyapunov方程等，介紹其求解方法和應用領域。矩陣方程求解方法闡述迭代法求解非線性方程組的基本思想，包括不動點迭代、牛頓迭代等。迭代法的基本思想分析迭代法的收斂性條件，給出判斷迭代法收斂的方法。迭代法的收斂性介紹一些加速迭代法收斂速度的技巧和方法，如松弛法、共軛梯度法等。加速迭代法非線性方程組迭代解法07復變函數與積分變換010204復變函數基本概念及性質復數的表示方法及運算規(guī)則復變函數的定義及表示方法復變函數的極限與連續(xù)性復變函數的