（課標(biāo)全國(guó)版）高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講練測(cè) 第05講 函數(shù)的奇偶性與周期性（練）原卷版+解析

第05講函數(shù)的奇偶性與周期性【練基礎(chǔ)】1．(2020·浙江舟山模擬)下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝－x2 B．y＝x3C．y＝log2x D．y＝－3－x2．(2021·河北石家莊模擬)函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)·g(x)的圖象可能為()3．(2021·安徽省太湖中學(xué)模擬)若f(x)＝(ex－e－x)(ax2＋bx＋c)是偶函數(shù)，則一定有()A．b＝0 B．a(chǎn)c＝0C．a(chǎn)＝0且c＝0 D．a(chǎn)＝0，c＝0且b≠04．(2021·福建省福州市三中模擬)已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝()A．2 B．3C．4 D．55．(2021·江西省宜春中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)＝ln(ax＋eq\r(x2＋1))是奇函數(shù)，則a的值為()A．1 B．－1C．±1 D．06．(2021·四川成都模擬)若函數(shù)f(x)＝1－eq\f(a,2x－1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a等于()A．－2 B．－1C．1 D．27．(2021·杭州四中模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式eq\f(3f（－x）－2f（x）,5x)≤0的解集為()A．(－∞，－2]∪(0，2] B．[－2，0)∪[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2]8．(2021·沈陽(yáng)市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)，實(shí)數(shù)a，b滿足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，則下列不等關(guān)系恒成立的是()A．b－a＜2 B．a(chǎn)＋2b＞2C．b－a＞2 D．a(chǎn)＋2b＜2【練提升】1．(2021·河北模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[－a，a](a＞0)上的奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋2019，則g(x)的最大值與最小值之和為()A．0 B．1C．2019 D．40382．(2021·山東省聊城市三中模擬)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋3x＋2.若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為()A.eq\f(9,4) B．2C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)3．(2021·河南南陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)4．(2021·浙江寧波效實(shí)中學(xué)模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f(x)＝f(2a－x)，則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)．下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\r(x) B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanx D．f(x)＝cos(x＋1)5．(2021·湖北省葛洲壩中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))為偶函數(shù)，則a＝________.6．(2021·石家莊二中高三質(zhì)檢)已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1，1]上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)．(1)求證：對(duì)任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．7．(2021·河北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函數(shù)，下面是關(guān)于f(x)的判斷：①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1,0)對(duì)稱；②f(0)是函數(shù)f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是減函數(shù)；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.其中正確的是________(正確的序號(hào)都填上)．8．(2021·山東濟(jì)南高三模擬)設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f(x)＝(a－x)|x|.(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)是奇函數(shù)，且關(guān)于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]對(duì)所有的x∈[－2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

第05講函數(shù)的奇偶性與周期性【練基礎(chǔ)】1．(2020·浙江舟山模擬)下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是()A．y＝－x2 B．y＝x3C．y＝log2x D．y＝－3－x【答案】B【解析】A.函數(shù)y＝－x2為偶函數(shù)，不滿足條件．B．函數(shù)y＝x3為奇函數(shù)，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，滿足條件．C．y＝log2x的定義域?yàn)?0，＋∞)，為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．D．函數(shù)y＝－3－x為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．2．(2021·河北石家莊模擬)函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝f(x)·g(x)的圖象可能為()【答案】A【解析】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，所以y＝f(x)·g(x)為奇函數(shù)，排除B；由兩函數(shù)的圖象可知當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))時(shí)，y＝f(x)·g(x)<0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))時(shí)，y＝f(x)·g(x)>0，所以只有選項(xiàng)A符合題意，故選A.3．(2021·安徽省太湖中學(xué)模擬)若f(x)＝(ex－e－x)(ax2＋bx＋c)是偶函數(shù)，則一定有()A．b＝0 B．a(chǎn)c＝0C．a(chǎn)＝0且c＝0 D．a(chǎn)＝0，c＝0且b≠0【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)g(x)＝ex－e－x.g(－x)＝e－x－ex＝－g(x)，所以g(x)是奇函數(shù)．因?yàn)閒(x)＝g(x)(ax2＋bx＋c)是偶函數(shù)．所以h(x)＝ax2＋bx＋c為奇函數(shù)．即h(－x)＋h(x)＝0恒成立，有ax2＋c＝0恒成立．所以a＝c＝0.當(dāng)a＝c＝b＝0時(shí)，f(x)＝0，也是偶函數(shù)，故選C.4．(2021·福建省福州市三中模擬)已知函數(shù)y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，且f(2)＝1，則f(－2)＝()A．2 B．3C．4 D．5【答案】D【解析】∵y＝f(x)＋x是偶函數(shù)，∴f(－x)＋(－x)＝f(x)＋x，∴f(－x)＝f(x)＋2x，令x＝2，則f(－2)＝f(2)＋4＝5，故選D.5．(2021·江西省宜春中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)＝ln(ax＋eq\r(x2＋1))是奇函數(shù)，則a的值為()A．1 B．－1C．±1 D．0【答案】C【解析】因?yàn)閒(x)＝ln(ax＋eq\r(x2＋1))是奇函數(shù)，所以f(－x)＋f(x)＝0.即ln(－ax＋eq\r(x2＋1))＋ln(ax＋eq\r(x2＋1))＝0恒成立，所以ln[(1－a2)x2＋1]＝0，即(1－a2)x2＝0恒成立，所以1－a2＝0，即a＝±1.6．(2021·四川成都模擬)若函數(shù)f(x)＝1－eq\f(a,2x－1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a等于()A．－2 B．－1C．1 D．2【答案】A【解析】由已知得，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(1)＋f(－1)＝0，即1－eq\f(a,2－1)＋1－eq\f(a,\f(1,2)－1)＝0,1－a＋1＋2a＝0，解得a＝－2.7．(2021·杭州四中模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(2)＝0，則不等式eq\f(3f（－x）－2f（x）,5x)≤0的解集為()A．(－∞，－2]∪(0，2] B．[－2，0)∪[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，0)∪(0，2]【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)遞減函數(shù)，且f(2)＝0，所以函數(shù)f(x)在(0，2)上的函數(shù)值為正，在(2，＋∞)上的函數(shù)值為負(fù)，當(dāng)x>0時(shí)，不等式eq\f(3f（－x）－2f（x）,5x)≤0等價(jià)于3f(－x)－2f(x)≤0，又f(x)是奇函數(shù)，所以有f(x)≥0，所以有0<x≤2，同理當(dāng)x<0時(shí)，可解得－2≤x<0.綜上，不等式eq\f(3f（－x）－2f（x）,5x)≤0的解集為[－2，0)∪(0，2]，故選D.8．(2021·沈陽(yáng)市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)，實(shí)數(shù)a，b滿足不等式f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，則下列不等關(guān)系恒成立的是()A．b－a＜2 B．a(chǎn)＋2b＞2C．b－a＞2 D．a(chǎn)＋2b＜2【答案】C【解析】由題意知f(－x)＝eq\f(1－2－x,1＋2－x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)＝－eq\f(1－2x,1＋2x)＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又f(x)＝eq\f(1－2x,1＋2x)＝eq\f(2－1＋2x,1＋2x)＝eq\f(2,1＋2x)－1，所以f(x)在R上為減函數(shù)，由f(2a＋b)＋f(4－3b)＞0，得f(2a＋b)＞－f(4－3b)＝f(3b－4)，故2a＋b＜3b－4，即b－a＞2.故選C.【練提升】1．(2021·河北模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[－a，a](a＞0)上的奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋2019，則g(x)的最大值與最小值之和為()A．0 B．1C．2019 D．4038【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在區(qū)間[－a，a]上的奇函數(shù)，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.2．(2021·山東省聊城市三中模擬)已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝x2＋3x＋2.若當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的最小值為()A.eq\f(9,4) B．2C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)【答案】A【解析】設(shè)x＞0，則－x＜0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x2＋3x－2.所以在[1，3]上，當(dāng)x＝eq\f(3,2)時(shí)，f(x)max＝eq\f(1,4)；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)min＝－2.所以m≥eq\f(1,4)且n≤－2.故m－n≥eq\f(9,4).3．(2021·河南南陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝x－1，則不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為()A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)【答案】C【解析】若x∈[－2,0]，則－x∈[0,2]，∵當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即當(dāng)x∈[－2,0]時(shí)，f(x)＝－x－1，即在一個(gè)周期[－2,2]內(nèi)，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，0≤x≤2，,－x－1，－2≤x<0，))若x∈[2,4]，則x－4∈[－2,0]，即f(x)＝f(x－4)＝－(x－4)－1＝－x＋3，x∈[2,4]，作出函數(shù)f(x)在[－2,4]上的圖象如圖：則當(dāng)x∈[－1,3]時(shí)，不等式xf(x)>0等價(jià)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0，,fx<0，))即1<x<3或－1<x<0，所以不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集為(－1,0)∪(1,3)．4．(2021·浙江寧波效實(shí)中學(xué)模擬)對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f(x)＝f(2a－x)，則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)．下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()A．f(x)＝eq\r(x) B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanx D．f(x)＝cos(x＋1)【答案】D【解析】由f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)的定義可知，若f(x)的圖象關(guān)于x＝a(a≠0)對(duì)稱，則f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)，A，C中兩函數(shù)的圖象無對(duì)稱軸，B中函數(shù)圖象的對(duì)稱軸只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的圖象關(guān)于x＝kπ－1(k∈Z)對(duì)稱．5．(2021·湖北省葛洲壩中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))為偶函數(shù)，則a＝________.【答案】1或－1【解析】令u(x)＝1－eq\f(a2＋1,ex＋1)，根據(jù)函數(shù)f(x)＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a2＋1,ex＋1)))為偶函數(shù)，可知u(x)＝1－eq\f(a2＋1,ex＋1)為奇函數(shù)，利用u(0)＝1－eq\f(a2＋1,e0＋1)＝0，可得a2＝1，所以a＝1或a＝－1.6．(2021·石家莊二中高三質(zhì)檢)已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1，1]上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)．(1)求證：對(duì)任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)證明：若x1＋x2＝0，顯然不等式成立．若x1＋x2＜0，則－1≤x1＜－x2≤1，因?yàn)閒(x)在[－1，1]上是減函數(shù)且為奇函數(shù)，所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．若x1＋x2＞0，則1≥x1＞－x2≥－1，同理可證f(x1)＋f(x2)＜0.所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．綜上得證，對(duì)任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．(2)因?yàn)閒(1－a)＋f(1－a2)＜0?f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定義域[－1，1]上是減函數(shù)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1≤1－a2≤1，,－1≤a－1≤1，,1－a2＞a－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤a2≤2，,0≤a≤2，,a2＋a－2＜0，))解得0≤a＜1.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，1)．7．(2021·河北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上是增函數(shù)，下面是關(guān)于f(x)的判斷：①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1,0)對(duì)稱；②f(0)是函數(shù)f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是減函數(shù)；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.其中正確的是________(正確的序號(hào)都填上)．【答案】①②④【解析】因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1,0)對(duì)稱，所以①正確；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k∈Z)，所以④正確；因?yàn)閒(x)是以4為周期的函數(shù)，且在[－2,0]上是增函數(shù)，所以f(x)在[2,4]上也是增函數(shù)，因此③不正確；因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)在[0,2]上是減函數(shù)，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以②正確．所以正確的判斷是①②④.8．(2021·山東濟(jì)南高三模擬)設(shè)常數(shù)a∈R，函數(shù)f(x)＝(a－x)|x|.(1)若a＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)是奇函數(shù)，且關(guān)于x的不等式mx2＋m>f[f(x)]對(duì)所有的x∈[－2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝(1－x)|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－x）