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第05講函數(shù)的奇偶性與周期性【練基礎(chǔ)】1.(2020·浙江舟山模擬)下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()A.y=-x2 B.y=x3C.y=log2x D.y=-3-x2.(2021·河北石家莊模擬)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)·g(x)的圖象可能為()3.(2021·安徽省太湖中學(xué)模擬)若f(x)=(ex-e-x)(ax2+bx+c)是偶函數(shù),則一定有()A.b=0 B.a(chǎn)c=0C.a(chǎn)=0且c=0 D.a(chǎn)=0,c=0且b≠04.(2021·福建省福州市三中模擬)已知函數(shù)y=f(x)+x是偶函數(shù),且f(2)=1,則f(-2)=()A.2 B.3C.4 D.55.(2021·江西省宜春中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)=ln(ax+eq\r(x2+1))是奇函數(shù),則a的值為()A.1 B.-1C.±1 D.06.(2021·四川成都模擬)若函數(shù)f(x)=1-eq\f(a,2x-1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a等于()A.-2 B.-1C.1 D.27.(2021·杭州四中模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù),且f(2)=0,則不等式eq\f(3f(-x)-2f(x),5x)≤0的解集為()A.(-∞,-2]∪(0,2] B.[-2,0)∪[2,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,0)∪(0,2]8.(2021·沈陽(yáng)市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=eq\f(1-2x,1+2x),實(shí)數(shù)a,b滿足不等式f(2a+b)+f(4-3b)>0,則下列不等關(guān)系恒成立的是()A.b-a<2 B.a(chǎn)+2b>2C.b-a>2 D.a(chǎn)+2b<2【練提升】1.(2021·河北模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a,a](a>0)上的奇函數(shù),若g(x)=f(x)+2019,則g(x)的最大值與最小值之和為()A.0 B.1C.2019 D.40382.(2021·山東省聊城市三中模擬)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+3x+2.若當(dāng)x∈[1,3]時(shí),n≤f(x)≤m恒成立,則m-n的最小值為()A.eq\f(9,4) B.2C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)3.(2021·河南南陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集為()A.(1,3) B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)4.(2021·浙江寧波效實(shí)中學(xué)模擬)對(duì)于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a≠0,使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值,都有f(x)=f(2a-x),則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()A.f(x)=eq\r(x) B.f(x)=x2C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)5.(2021·湖北省葛洲壩中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)=xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(a2+1,ex+1)))為偶函數(shù),則a=________.6.(2021·石家莊二中高三質(zhì)檢)已知函數(shù)y=f(x)在定義域[-1,1]上既是奇函數(shù),又是減函數(shù).(1)求證:對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0;(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.7.(2021·河北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且在[-2,0]上是增函數(shù),下面是關(guān)于f(x)的判斷:①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1,0)對(duì)稱;②f(0)是函數(shù)f(x)的最大值;③f(x)在[2,3]上是減函數(shù);④f(x0)=f(4k+x0),k∈Z.其中正確的是________(正確的序號(hào)都填上).8.(2021·山東濟(jì)南高三模擬)設(shè)常數(shù)a∈R,函數(shù)f(x)=(a-x)|x|.(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)是奇函數(shù),且關(guān)于x的不等式mx2+m>f[f(x)]對(duì)所有的x∈[-2,2]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
第05講函數(shù)的奇偶性與周期性【練基礎(chǔ)】1.(2020·浙江舟山模擬)下列函數(shù)既是奇函數(shù),又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是()A.y=-x2 B.y=x3C.y=log2x D.y=-3-x【答案】B【解析】A.函數(shù)y=-x2為偶函數(shù),不滿足條件.B.函數(shù)y=x3為奇函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞增,滿足條件.C.y=log2x的定義域?yàn)?0,+∞),為非奇非偶函數(shù),不滿足條件.D.函數(shù)y=-3-x為非奇非偶函數(shù),不滿足條件.2.(2021·河北石家莊模擬)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)·g(x)的圖象可能為()【答案】A【解析】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù),所以y=f(x)·g(x)為奇函數(shù),排除B;由兩函數(shù)的圖象可知當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-π,-\f(π,2)))時(shí),y=f(x)·g(x)<0;當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),0))時(shí),y=f(x)·g(x)>0,所以只有選項(xiàng)A符合題意,故選A.3.(2021·安徽省太湖中學(xué)模擬)若f(x)=(ex-e-x)(ax2+bx+c)是偶函數(shù),則一定有()A.b=0 B.a(chǎn)c=0C.a(chǎn)=0且c=0 D.a(chǎn)=0,c=0且b≠0【答案】C【解析】設(shè)函數(shù)g(x)=ex-e-x.g(-x)=e-x-ex=-g(x),所以g(x)是奇函數(shù).因?yàn)閒(x)=g(x)(ax2+bx+c)是偶函數(shù).所以h(x)=ax2+bx+c為奇函數(shù).即h(-x)+h(x)=0恒成立,有ax2+c=0恒成立.所以a=c=0.當(dāng)a=c=b=0時(shí),f(x)=0,也是偶函數(shù),故選C.4.(2021·福建省福州市三中模擬)已知函數(shù)y=f(x)+x是偶函數(shù),且f(2)=1,則f(-2)=()A.2 B.3C.4 D.5【答案】D【解析】∵y=f(x)+x是偶函數(shù),∴f(-x)+(-x)=f(x)+x,∴f(-x)=f(x)+2x,令x=2,則f(-2)=f(2)+4=5,故選D.5.(2021·江西省宜春中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)=ln(ax+eq\r(x2+1))是奇函數(shù),則a的值為()A.1 B.-1C.±1 D.0【答案】C【解析】因?yàn)閒(x)=ln(ax+eq\r(x2+1))是奇函數(shù),所以f(-x)+f(x)=0.即ln(-ax+eq\r(x2+1))+ln(ax+eq\r(x2+1))=0恒成立,所以ln[(1-a2)x2+1]=0,即(1-a2)x2=0恒成立,所以1-a2=0,即a=±1.6.(2021·四川成都模擬)若函數(shù)f(x)=1-eq\f(a,2x-1)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a等于()A.-2 B.-1C.1 D.2【答案】A【解析】由已知得,函數(shù)f(x)為奇函數(shù),所以f(1)+f(-1)=0,即1-eq\f(a,2-1)+1-eq\f(a,\f(1,2)-1)=0,1-a+1+2a=0,解得a=-2.7.(2021·杭州四中模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù),且f(2)=0,則不等式eq\f(3f(-x)-2f(x),5x)≤0的解集為()A.(-∞,-2]∪(0,2] B.[-2,0)∪[2,+∞)C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,0)∪(0,2]【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞減函數(shù),且f(2)=0,所以函數(shù)f(x)在(0,2)上的函數(shù)值為正,在(2,+∞)上的函數(shù)值為負(fù),當(dāng)x>0時(shí),不等式eq\f(3f(-x)-2f(x),5x)≤0等價(jià)于3f(-x)-2f(x)≤0,又f(x)是奇函數(shù),所以有f(x)≥0,所以有0<x≤2,同理當(dāng)x<0時(shí),可解得-2≤x<0.綜上,不等式eq\f(3f(-x)-2f(x),5x)≤0的解集為[-2,0)∪(0,2],故選D.8.(2021·沈陽(yáng)市高三質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=eq\f(1-2x,1+2x),實(shí)數(shù)a,b滿足不等式f(2a+b)+f(4-3b)>0,則下列不等關(guān)系恒成立的是()A.b-a<2 B.a(chǎn)+2b>2C.b-a>2 D.a(chǎn)+2b<2【答案】C【解析】由題意知f(-x)=eq\f(1-2-x,1+2-x)=eq\f(2x-1,2x+1)=-eq\f(1-2x,1+2x)=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),又f(x)=eq\f(1-2x,1+2x)=eq\f(2-1+2x,1+2x)=eq\f(2,1+2x)-1,所以f(x)在R上為減函數(shù),由f(2a+b)+f(4-3b)>0,得f(2a+b)>-f(4-3b)=f(3b-4),故2a+b<3b-4,即b-a>2.故選C.【練提升】1.(2021·河北模擬)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a,a](a>0)上的奇函數(shù),若g(x)=f(x)+2019,則g(x)的最大值與最小值之和為()A.0 B.1C.2019 D.4038【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在區(qū)間[-a,a]上的奇函數(shù),所以f(x)max+f(x)min=0,所以g(x)max+g(x)min=[f(x)max+2019]+[f(x)min+2019]=f(x)max+f(x)min+4038=4038.2.(2021·山東省聊城市三中模擬)已知f(x)是奇函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí),f(x)=x2+3x+2.若當(dāng)x∈[1,3]時(shí),n≤f(x)≤m恒成立,則m-n的最小值為()A.eq\f(9,4) B.2C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)【答案】A【解析】設(shè)x>0,則-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3(-x)+2]=-x2+3x-2.所以在[1,3]上,當(dāng)x=eq\f(3,2)時(shí),f(x)max=eq\f(1,4);當(dāng)x=3時(shí),f(x)min=-2.所以m≥eq\f(1,4)且n≤-2.故m-n≥eq\f(9,4).3.(2021·河南南陽(yáng)模擬)函數(shù)f(x)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=x-1,則不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集為()A.(1,3) B.(-1,1)C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1)【答案】C【解析】若x∈[-2,0],則-x∈[0,2],∵當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)=x-1,∴f(-x)=-x-1,∵f(x)是偶函數(shù),∴f(-x)=-x-1=f(x),即當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=-x-1,即在一個(gè)周期[-2,2]內(nèi),f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x-1,0≤x≤2,,-x-1,-2≤x<0,))若x∈[2,4],則x-4∈[-2,0],即f(x)=f(x-4)=-(x-4)-1=-x+3,x∈[2,4],作出函數(shù)f(x)在[-2,4]上的圖象如圖:則當(dāng)x∈[-1,3]時(shí),不等式xf(x)>0等價(jià)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0,,fx>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<0,,fx<0,))即1<x<3或-1<x<0,所以不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集為(-1,0)∪(1,3).4.(2021·浙江寧波效實(shí)中學(xué)模擬)對(duì)于函數(shù)f(x),若存在常數(shù)a≠0,使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值,都有f(x)=f(2a-x),則稱f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是()A.f(x)=eq\r(x) B.f(x)=x2C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)【答案】D【解析】由f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)的定義可知,若f(x)的圖象關(guān)于x=a(a≠0)對(duì)稱,則f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù),A,C中兩函數(shù)的圖象無對(duì)稱軸,B中函數(shù)圖象的對(duì)稱軸只有x=0,而D中f(x)=cos(x+1)的圖象關(guān)于x=kπ-1(k∈Z)對(duì)稱.5.(2021·湖北省葛洲壩中學(xué)模擬)若函數(shù)f(x)=xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(a2+1,ex+1)))為偶函數(shù),則a=________.【答案】1或-1【解析】令u(x)=1-eq\f(a2+1,ex+1),根據(jù)函數(shù)f(x)=xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(a2+1,ex+1)))為偶函數(shù),可知u(x)=1-eq\f(a2+1,ex+1)為奇函數(shù),利用u(0)=1-eq\f(a2+1,e0+1)=0,可得a2=1,所以a=1或a=-1.6.(2021·石家莊二中高三質(zhì)檢)已知函數(shù)y=f(x)在定義域[-1,1]上既是奇函數(shù),又是減函數(shù).(1)求證:對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0;(2)若f(1-a)+f(1-a2)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)證明:若x1+x2=0,顯然不等式成立.若x1+x2<0,則-1≤x1<-x2≤1,因?yàn)閒(x)在[-1,1]上是減函數(shù)且為奇函數(shù),所以f(x1)>f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)>0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.若x1+x2>0,則1≥x1>-x2≥-1,同理可證f(x1)+f(x2)<0.所以[f(x1)+f(x2)](x1+x2)<0成立.綜上得證,對(duì)任意x1,x2∈[-1,1],有[f(x1)+f(x2)]·(x1+x2)≤0恒成立.(2)因?yàn)閒(1-a)+f(1-a2)<0?f(1-a2)<-f(1-a)=f(a-1),所以由f(x)在定義域[-1,1]上是減函數(shù),得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(-1≤1-a2≤1,,-1≤a-1≤1,,1-a2>a-1,))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤a2≤2,,0≤a≤2,,a2+a-2<0,))解得0≤a<1.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,1).7.(2021·河北重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且在[-2,0]上是增函數(shù),下面是關(guān)于f(x)的判斷:①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1,0)對(duì)稱;②f(0)是函數(shù)f(x)的最大值;③f(x)在[2,3]上是減函數(shù);④f(x0)=f(4k+x0),k∈Z.其中正確的是________(正確的序號(hào)都填上).【答案】①②④【解析】因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(-x)=f(x),又f(x+2)=-f(x),所以f(x+2)=-f(-x),所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P(1,0)對(duì)稱,所以①正確;由f(x+2)=-f(x)知,f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4為周期的函數(shù),所以f(x0)=f(4k+x0)(k∈Z),所以④正確;因?yàn)閒(x)是以4為周期的函數(shù),且在[-2,0]上是增函數(shù),所以f(x)在[2,4]上也是增函數(shù),因此③不正確;因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(x)在[0,2]上是減函數(shù),所以f(x)在[-2,2]上的最大值是f(0),又f(x)是以4為周期的函數(shù),所以②正確.所以正確的判斷是①②④.8.(2021·山東濟(jì)南高三模擬)設(shè)常數(shù)a∈R,函數(shù)f(x)=(a-x)|x|.(1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)是奇函數(shù),且關(guān)于x的不等式mx2+m>f[f(x)]對(duì)所有的x∈[-2,2]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=(1-x)|x|=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((1-x)
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