初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)（五·四學(xué)制） 實(shí)驗(yàn)與探究 豐富多彩的正方形

實(shí)驗(yàn)與探究豐富多彩的正方形一、情境引入

同學(xué)們，相傳2500多年前，著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯有一次到朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家有一塊長3米，寬2米的長方形地毯缺少了一個(gè)邊長是1米的正方形的角，急需剪拼成一個(gè)大正方形，但直線剪切不能超過3次，畢達(dá)哥拉斯馬上說可用六種方法剪拼。同學(xué)們，你們知道怎樣剪拼嗎？正方形性質(zhì)邊角對(duì)角線對(duì)稱性圖形語言

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符號(hào)語言ACD\BACDBACDB\\\∟∟∟∟O\\\\∟對(duì)邊平行，四條邊都相等

四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角∵四邊形ABCD是正方形∴AB∥CDAD∥BC,AB=BC=CD=AD∵四邊形ABCD是正方形∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD,AC=BD,OA=OB=OC=OD,∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6=∠7=∠8軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形12345678(A)(B)OABCD(C)(D)

經(jīng)過正方形的中心且互相垂直的任意兩條直線都可以把這個(gè)正方形分成四部分面積相等。OADCB周長是20矩形邊長和面積關(guān)系如下圖，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？觀察與猜想正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形OEFG的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長相等.當(dāng)正方形OEFG繞點(diǎn)O旋繞時(shí)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積有無化？若有變化，說明理由。若無變化，說明兩個(gè)正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有何關(guān)系？為什么？二、實(shí)驗(yàn)探究:觀察、猜想、證明方法三：∵四邊形ABCD和四邊形MBNO都是正方形∴∠OAM=∠OBN=45°OA=OB∠AOB=∠MON=90°∴∠AOM=∠BON∴△AMO≌△BNO∴s△AMO=s△BNO從而有s四邊形MBNO=s△OBM+s△BNO=s

△OBM+s△AMO=s△ABO=s正方形ABCDabxxxa證明方法五：證明方法六：aba三、深化探究

有三個(gè)邊長都為a的正方形如圖放置,A1A2A3分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則重疊部分的面積和為多少呢？問題2：有n個(gè)邊長為a的正方形如圖放置o1o2o3…on分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，那么重疊部分的面積和為多少呢？問題3：正六邊形ABCDEF的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正六形OA1B1C1D1E1的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正六邊形的邊長相等.當(dāng)正六形OA1B1C1D1E1繞點(diǎn)O旋繞時(shí)，兩個(gè)正六邊形重疊部分的面積有無變化？若有變化，說明理由。若無變化，說明兩個(gè)正六邊形重疊部分的面積與正六邊形ABCDEF的面積有何關(guān)系？為什么？觀察與猜想△FOH≌△DOQ提示：∠FOD=∠

HOQFO=DO

∠

OFH=∠

ODQ得：∠

FOH=∠

DOQ…怎樣進(jìn)行證明

問題4：如果有三個(gè)邊長相等面積都為a的正六邊形如圖放置,o1o2o3分別是正六邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，重疊部分的面積和為多少？

問題5：如果有n個(gè)邊長相等面積為a的正六邊形如圖放置,o1o2o3…on分別是正六邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，重疊部分的面積和為多少？問題6：若將本題推廣到正n邊形(n為大于2的偶數(shù)),結(jié)論又如何?實(shí)驗(yàn)與探究

給你兩個(gè)大小不等的正方形，你能把它拼成一個(gè)大的正方形嗎?(參考下圖）說明你拚法的道理。兩次剪拼成正方形設(shè)正方形ACFH邊長為a，正方形FDEG邊長為b，在CD截取CB=a∵CD=a+b∴BD=b∵四邊形ACFH和四邊形FDEG都是正方形∴∠C=∠D=90°∴∠1

+

∠2

=90°∵AC=BDBC=DE∴△ABC≌△BED∴∠2

=

∠3AB=BE∴∠1+∠3=90°MN=NQ=QW=WM∴四邊形MNQW是菱形∵∠

1+∠3=90°∴∠4=90°∴四邊形MNQW是正方形說明理由：規(guī)律總結(jié)：

觀察下列兩圖，你們能總結(jié)一下切割、拼接成大正方形有什么規(guī)律嗎？四、鞏固練習(xí)：

把五個(gè)大小相同的正方形拼成如下，請(qǐng)你用六種方法把它剪切、拼成一個(gè)大的正方形（直線剪切不超過三次）。