初中數(shù)學自招09 分式等式的恒等證明（詳解版）

專題09分支等式的恒等證明

,考點點撥

1、分式的加減乘除時，特別要注意3a±±c=絲ad二+b竺e的逆向使用.

bdbd

2、比例的重要性質(zhì)，特別要注意合分比性質(zhì)q=￡=土上=土上中人―的條件和等比性質(zhì)

bdb+db-d

—=—=…=—n-------------中Z?+d+.??+/?wO的條件.

bdn/7+d+.??+〃

典例精選

1111

1.若一+—+-=------=1,則x,y,z中，正數(shù)的個數(shù)為()

xyzx+y+z

A.1個B.2個C.3個D.都有可能

1111

【點撥】由于式子為對稱式，不妨設x2y>z,因為-+-+-=------=1,所以不可能都是正數(shù).可

xyzx+y+z

以先確定zVO,再判斷出x+y+z=l,由于入,最大，則人?大于0,進而判斷出y的取值.

【解析】解：不妨設x2y>z,因為工+工+三=」一=1,所以不可能都是正數(shù).

xyzx+y+z

???若假設都是正數(shù)，貝UxVx+y+z,

?,11—1111

則一〉------，同理—>------>一>-------,

xx+y+zyx+y+zzx+y+z

?,1111

則—+一+->------，

xyzx+y+z

ill1

與一+—+-=------,矛盾.

xyzx+y+z

???可以先確定zVO.

又???有x+y+z=l,

Ax>0,

.\x+y=\-z>0.

還有xy+yz+xz==xyzf艮口有xy(1-z)=-z(x+y)>0,

.".Ay>0,

再根據(jù)x+)>0,

有x>0,y>0且zVO.

故選：B.

【點睛】本題考查了分式等式的證明，巧妙的邏輯推理是解題的關(guān)鍵.

111

2.已知x-y+z=—歹+另=1，貝I()

A.x=l,y=-l,z=lB.xyz—■1

C.x+y+z=lD.x=l或y=-l或z=l

【點撥】首先根據(jù)己知X-y+z=(一[+]=I,可得z2-z+xy=^z,然后分解因式即可求出x,y,z的值.

[解析]解：Vx-y+z=1,

111y-x1z2-z+xy

二.———+―=----+-=---------=1,

xyzxyzxyz

.*.z'z+x>7=xyz,

(z-1)(z-xy)=0,

解得z=l或肛=z,

當xy=z時，

111y-x1y-x1v-x+1

--4--=--+-=1,即^^-----=1,

xyzxyzzzz

xy=y-x+1,

(y+1)(1-x)=0

?"=-1,x=l.

則L1或y=-1或z=1.

故選：D.

【點睛】本題主要考查分式等式的證明及分式方程的應用，解答本題的關(guān)鍵是利用好x-y+z=l這個等

式，此題難度不大.

111

3.設〃、〃是自然數(shù)，且其中一個是奇數(shù)，若/=夕=2008)且一+-=-，則2〃+〃的一切可能的取值是

xyz

()

A.2010,510B.267,4017

C.2010,510,267,4017D.2008,2006,2004,2002

【點撥】首先將/=>=2008z變形，得出m。的值，然后借助對數(shù)有關(guān)知識，得出必=2008,結(jié)合已

知條件求出，所有符合條件的數(shù)據(jù).

【解析】解：?..爐=夕=20082

z￡

：.a=2008"b=2008丫，

Z￡11

：.lna+lnb="2008歹+/n2008^=z（一+一）加2008,

xy

111

V-+-=一,

xyz

.\lna+lnb=lnCab）=//?2008,

?"=2008,

又因為澳=勿=20082,中a、人是自然數(shù)，且其中一個是奇數(shù)；

2008分解出所有兩數(shù)相乘的形式如下：

.,.2008=1X2008,或2008=2X1004（不合題意舍去）

2008=4X502（不合題意舍去），2008=8X251；

故a=l時，/>=2008或〃=8時，。=251或6=1時，a=2008或b=8時，a=251.

分別代入2a+b

解得：

2a+b=2010,或267,或4017,或510.

故選：C.

Z211

【點睛】此題主要考查了分式的等式證明，合理利用對數(shù)知識得出lna+lnb=,200?+仇2008丫=z（-+-）

xy

歷2008,從而得出岫=2（X）8,是解決問題的關(guān)鍵.

211

4.△A8C的三邊長為〃，b,c,滿足條件:=一+-，則人邊所對的角8的大小是（）

bac

A.銳角

B.直角

C.鈍角

D.銳角、直角、鈍角都有可能

【點撥】從三角形三邊關(guān)系入手假設或〃結(jié)合同一三角形中大邊對大角，得出兒〃的大小關(guān)

系，從而確定N3的大小范圍.

11

【解析】解：若aNc,則一工一，

ac

2112

:L=-+->-

baca

:.b<a,

：.ZB^ZA,NB為銳角,

同理，若aWc,可知bWc,

：.ZB^ZA,N8為銳角，

...N8為銳角；

故選：A.

【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，以及同一三角形中邊角關(guān)系和分式的基本性質(zhì).

5.已知：J+c2=2廿，則下列說法正確的是()

__1_?]2

A.a,b,c均相等B.十

b+ca+bc+a

112__1_?12

c.—+—=—D.十

?a+cb+ca+ba+cb+ab+c

【點撥】利用舉反例的方法可以證明A是錯誤的，對于其它選項可以先假設選項正確，然后推出結(jié)論看

是否正確，利用反證法進行證明.

【解析】解：4、當a=l,c=2,6=挈時，J+C2=2.,而°,從c不相等，故選項錯誤；

112

B、分析：要證7—+---=----

b+ca+ba+c

I』▼1111

只要證----=--------

o+ca+ca+ca+b

口Hlri----Q-—-b---——-----b---c---

(a+c)(b+c)(a+c)(a+b)

：a+cWO

.a-bb-c

??b+ca+b

???只要證：lr-C、2=〃2_B即。2+,2=2.

所以選項8正確

同理可證：若選項C正確，則必+C2=2“2,故c錯誤；

同理可證：若選項。正確，則〃2+y=2^,故。錯誤.

故選:B.

【點睛】本題主要考查了等式的證明，反證法是常用的方法.

n2+3n—108

6.已知〃為正整數(shù)，若丁:一77是一個既約分數(shù)，那么這個分數(shù)的值等于—.

n2+6n-16-11~

【點撥】首先把分式的分子分母進行因式分解，發(fā)現(xiàn)有公因式(〃-2),又知學絲二2是一個既約分數(shù)，

故可解得〃的值，進而得到分式的值.

【解析】解:“2+3〃-]()=(n-2)5+5),

/?2+6??-16=(；7-2)(〃+8)

分子分母有公因子(〃-2),

n2+3n-10

又知是一個既約分數(shù),

n2+6n-16

只能〃-2=1,

即〃=3,

^n2+3n-10(n-2)(n+5)8

古乂---------==--

n2+6n-16(n-2)(n+8)11

,,,8

故答案為——.

11

【點睛】本題主要考查分式等式證明的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握即約分數(shù)的概念，此題難度

一般.

7.設小、九、p、0為非負整數(shù)，且對于一切x>0,-恒成立,則(扇+〃?〃+〃)24=4.

【點撥】根據(jù)題意，對于一切x>0,""二一1=在裂恒成立.取x=l和x=2兩個特殊值，分別得

XnX"

出"?，n>p,q的值.然后得出結(jié)果.

【解析】解：由于笆二-1=空*對一切x>0恒成立，

XnX"

故取x=l時，有2，"-1=2。，由于2。#0,2，"-1為奇數(shù)，因此p=0,膽=1；

再取x=2,則有/一1=擊，即3-2"=2"”若n>q,由上式左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，矛盾；

若〃Vg則上式左邊的整數(shù)，右邊為真分數(shù)，矛盾，

所以只有n=q=l,

于是：Cm2+mn+p)2^=22=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了分式的等式應用.根據(jù)條件取x的特殊值，得出加，小p,q的值是解題關(guān)鍵.

a4+b4+c4

8.設a,b,c均為正實數(shù)，且滿足二八？22q八〈I，則以長為。，b,c的三條線段能構(gòu)成三

2(^a2b2+a2c2+b2c2)------

角形，(填“能”或“否”)

【點撥】先根據(jù)〃，b,c均為正實數(shù)，PJiJa4+b4+c4-2a2b2-2crc2-2Z?2c2<0,求出-(a+b+c)(a+b-c)

(a-b+c)(b+c-a)<0,再根據(jù)a,b,c均為正數(shù)可知Ca+b-c)(a+c-b)(b+c-a)>0,再根據(jù)三

角形的三邊均不為負數(shù)即可解答.

【解析】解：Vtz4+/?4+c4-2a2h2-2a2c2-2/?2c2<0,

222222

工(6F)-2(Z?+c)/+(b+c)2-4/72c2V0,

(『-廿一J)2_402c2V0,

???(a2-.-J+2bc)(tz2-b1-c2-2bc)<0,

-Ca+b+c)Ca+b-c)(a-b+c)(b+c-a)<0?

?：a,b,c均為正數(shù)，

-(a+b+c)<0,

(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)>0,

情況1：若a+b-c,a+c-b,/>+<?-〃均大于0,則可以構(gòu)成三角形；

情況2：若只有a+h-c>0,則a+c-人V0且b+c-a<0,

.?.2cVO與已知矛盾，

所以情況2不可能，即必可構(gòu)成三角形.

故能夠成直角三角形.

【點睛】本題考查的是分式的等式證明及三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)已知條件得出(a+匕-c)(a+c-b)(b+c

-?)>0是解答此題的關(guān)鍵，在解此類題目時要注意完全平方式的運用.

xvz%+v+z

9.已知實數(shù)x,y,z滿足---=--=--=--—,則x+y+z=-3或0?

x+1y+2z+33----------------------

【點撥】首先分①x=y=z=O,②xWO,y#0,zHO兩種情況討論.主要是考慮第②中情況，通過分子

xVZ123Xv4-v+Z

分別轉(zhuǎn)化可以將一二==三=—7轉(zhuǎn)化為-=一=一.從而用X來表示y、z.再聯(lián)立一二=T'，

x+1y+2z+3xyzx+13

將y、z代入求得x的值.那么x+y+z也即可求得.

【解析】解：①當x=y=z=O時，顯然成立，

此時x+y+z=O.對于

②當xWO,y#0，zWO時，

xyzx+y+z

-x+1y+2z+33

,y+2_x+1

(x-y

x+1y+2yx

y_zz+3y+2—》+ly+2z+3123

,y+2z+3^z~y'xyzxyz

xzz+3x+1

-----=-------

5+1z+3、2X

xyZ

同理可得到「2

~3

**?>=2x，z=3x，

.Xx+y+z,xx+2x+3xI

=——得zi「

將y=2x代入n-3，即玳—-2)-。

3x+1

解得x=0(不合題意舍去)，或乂=-/

1

當X1時，x+y+z=6x=-3.

綜上所述x+y+z=O或-3.

故答案為0或-3.

【點睛】本題考查分式的等式證明.解決本題可得關(guān)鍵是將一x二=二y三=z轉(zhuǎn)化為1-=2-=-3，從而

x+1y+2z+3xyz

將y、z代入」y求得工的值.

x+13

122

10.已知x9yfz是三個互不相同的非零實數(shù)，設a=x+y+zfh=xy+yz+zx,c=+*仁/+表+/，

則a與b的大小關(guān)系是a>b；c與d的大小關(guān)系是c>d.

【點撥】用差值法2a-2b=2x2-ly1-2z2-2xy-2yz-2zx=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2,因為x,y,

z是三個互不相同的非零實數(shù)，所以前面式子的值大于0,得到心兒同樣用2c-2d=(i-i)2+(i-j)2+

(J一》2>0,得到c>4.

【解析】解：-2/?=2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2

又x,y,z是三個互不相同的非零實數(shù)，

(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2>0,

：?a>b.

2工2,2222_A1-J2,J八2

?2c-2d=^+/+弄一行一正一獲=0-y)+(---)+(萬一0-

又x,y,z是三個互不相同的非零實數(shù)，

222

(-—y—J)+(―—-z')+(、—z——x)J^>0,

'.c>d.

故答案是：”>b,c>d.

【點睛】本題考查的是不等式的證明，用差值法得到代數(shù)式，運用完全平方公式配成完全平方的形式，

根據(jù)x,y,z是互不相等的非零實數(shù)，證明代數(shù)式大于0,得到。與江c與d的大小關(guān)系.

11.己知(V+c)"與(ad"+l)(^>+1)恒等.(其中機，〃均為正整數(shù))，則la+〃+cl=3.

【點撥】根據(jù)展開后的項數(shù)可得，”=3,從而代入后展開兩式，根據(jù)系數(shù)對應相等即可得出答案.

【解析】解："+1)(必+1)=Cab)xm+n+axm+bxn+l,

①當ax"'+b.x"不能合并時，即團#"時,

可得”?一定為3,

(V+c)'"=x3"+3c』"+3c2f'+c3=(ab)x"'+n+ax"'+bx"+\,

又：m=3,〃為正整數(shù)，

又，，"=3,3〃=3+〃，

解得：〃=|(不是整數(shù)舍去)；

②當m=n時、

???合并后結(jié)果為3項，

2,

(V+c)'"=(f+c)2=X4+2CX2+C2,(OAJW+1)(hx"+1)=(a/+l)(匕/+1)=ahx4+(a+b)/+1,

.".ab=1,a+b—2c,c2—1,

.".a—b—c—\或a=b=c=-1,

'.\a+b+c\=3.

故答案為：3.

【點睛】本題考查了分式的等式證明，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)多項式相乘后的項數(shù)確定出，"的值，然后

根據(jù)系數(shù)對應相等得出答案.

12.利用公式(/+房)(d+屋)=(ac+bd)2+(be-ad)2或其它方法找出一組正整數(shù)填空：(22+92X3?)

(42+92X52)=(1388)2+92X(2)2.

【點撥】本題只需將92看作(反)2即可根據(jù)公式(?W)(cW)=(ac+bd)2+(be-ad)2進行

變形，繼而得出答案.

【解析】解：(22+92X32)(42+92X52)=(22+(3V92)2)(42+(5V92)2),

=(2X4+15X92)2+(3V92X4-2X5V92)2,

=13882+92X22.

故答案為：1388,2.

【點睛】本題考查分式的等式證明，難度不大，解答本題的關(guān)鍵是仔細觀察所給公式的形式，然后將92

看作(除)2進行計算，這是本題的突破口.

黑,精準預測

1.已知：/7=o,則、=治記+備+備=—|或二2_?

【點撥】首先將x7-I=0分解得出(X-1)</+?+%4+?+?+%+1)=0,再分析兩式分別等于0時的情

況，由/-1=0,得出/=1,即尤8=x?P=x,X9=JV2*A7=JV2,X，0=X3>X7=X3,無"=/?/=/,/2=/

?/=/,然后將原式分別通分，求出y的值.

【解析】解：???，-1=0

(x-1)(^6+x5+x4+x3+x2+x+l)=0

.*.x=1或工6+15+工4+/+/+X+]=0

當X=1時，原式=222

當X6+X5+X4+X34-X2+X+1=0

"-1=0

.\J^=X9X7=X,X^=X29X7=.X2,

11474

x'—x

X+，5+,4+，2爐

則原式二y=

H-x2+x4+x61+x6

2(l+x+十2+03+04+%5)

#/DEL/#

1+X24-X4+X6+X64-X84-X10+X12

—2x6

#/DEL/#

l+x+x2+x3+x4+x5+x6+x6

=-2#/DEL/#

3

故答案為：-2或3

【點睛】此題主要考查了高次項多項式的因式分解，以及分式的加減運算，得出由『-1=0,得出/=

1，進而得出％8=%,/=-19=7?/=/,x，0=X3*X7=X3,xll=x4>x7=x4,x12=x5*x7=x5,是解決問題

的關(guān)鍵.

2.如果2x2-3x-1與a(x-1)2+b(x-1)+c是同一個多項式的不同形式，那么----=—.

C—2一

【點撥】先根據(jù)兩個多項式是同一個多項式的不同形式可知，兩個多項式恒等式，1=1時二次項與一次

向均為0,故可求出C的值，再根據(jù)兩多項式的二次項系數(shù)相等可求出4的值，進而可求出b的值，把4、

%、。的值代入所求代數(shù)式即可得到答案.

【解析】解：?；2x2-3x-1與4(x-1)2+/?(x-1)+c是同一個多項式的不同形式,

A2x2-3x-1=a(x-1)?+b(x-1)+c是恒等式，

由x=\代入，得c=-2；

/項的系數(shù)相等，有〃=2,這時再以x=0代入，得-l=a-b+a即。=1.

.a+b2+13

c-—2一—2

故答案為：-義

【點睛】本題考查的是分式的恒等證明，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)兩多項式是恒等式列出等式，求出未知

數(shù)的值再進行解答.

%=cy+bzx2y2z2

3.若丫=。2+4（其中〃2,廿，均不為1）,求證:

222

、z=bx+ay1-a1-b1-c

【點撥】給方程組中方程標上序號，將②分別代入①③中，整理后可得出工二半土￡、］=總2,將其

］一CaCICIu

2222

相乘即可得出j=j,同理將③代入①②中，整理相乘后即可得出三，根據(jù)分式的

1-a21-c21-a2l-bz

產(chǎn)

性質(zhì)即可得出一:一

1-a2l一

-+&2①Z

（x②

【解析】證明：\ycy+6z1-?

az

+cx電

/JXay

將②代入①中整理得：（1-〃）*=(ac+h)z,

Va2,射，J均不為1,

.ac+b公

..x=EZ⑷;

將②代入③中整理得：（1-次）z=(ac+b)x,

Va2,/?,c2均不為1

?”=霖z⑤.

2

④X⑤得：/=穿1-a9

ac+bZ，

%2z2

1-a21-c2,

x2y2

同理將③分別代入①②可得出

1-a21-b2,

x2y2Z2

由此可得出

1-a21-b2-I*

證畢.

X2y2Z2

【點睛】本題考查了分式的等式證明，解題的關(guān)鍵是利用分式的性質(zhì)找出本題

1-a21-b21-c2'

屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，熟練掌握分式的運算是關(guān)鍵.

(a+d-c)2(d+c-a)2(c+a-b)2

4.求證：對任意兩兩不等的三個數(shù)〃、b、c,都有?++是常數(shù).

(a-c)(b-c)(Z?-a)(c-a)(c-b)(a-b)

【點撥】先設a+b--a=）,②，c+q-6=z③，從而由①-②，②-③，③-①，得出a

-c=h-a=代入原式，再通分，分子分解因式即可.

【解析】證明：設a+b-c=x(J),Z?+c-4=y②，c+a-h=z③,

①-②得，a-c=^2^,

②-③得，b-a=^2^,

③-①得，c-b=

.(a+b-c)2(Z?+c-a)2(c+a-Z?)2

(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)(a-b)

4x2,4y2,4x2

一(x-y)(x-z)(y-z)(y-x)(z-x)(z-y)

_4[x2(z-y)4-y2(x-z)+z2(y-x)]

(x-y)(y-z)(z-x)

_4[x2(z—y)+x(y2—z2)+yz(z—y)]

(x-y)(y-z)(z-x)

_4(z—y)(x2_Ky_xz+yz)

一_(x-y)(y-z)(z-x)

_4(x-y)(y-z)(z-x)

-(x-y)3-z)(z-x)

=4.

(a+b-c)2(b+c-a)2(c+a-b)?”皿

BP：對任意兩兩不等的三個數(shù)a、b、C，1(a_c)(1_c)+(b-a)(c-a)+(c-b)(a-b)^吊,’

【點睛】此題是分式的等式證明，主要考查了換元法，通分，分解因式，通過對較為復雜的分式整體換

元，達到了使使分式形式更為簡單的目的，從而易于對分式變形.

5.已知‘一=」一=一二一=一工一，記4=巖+巖+法+攔，證明：A是一個整數(shù).

y+z+tz+t+xt+x+yx+y+zz+t%+￡x+yy+z

【點撥】分兩種情況進行計算，①用等比的性質(zhì)找出x+y=-(z+Q,x+t=-(y+z),代入A即可，②

用等比的性質(zhì)找出x+y=z+r,x+f=y+z,代入A即可,

xy

【解析】證明：設=k.

y+z+tz+t+xt+x+yx+y+z

①當天+y+z+，=O時，則有x+y+z=-t,

...x+y=-(z+f),x+t=~(y+z),

/M=xgygz+tt+z

z+￡x+tx+yy+z

=(z+t)+(x+t)+-(x+y)-(y+z)

z+tx+tx+yy+z

=-1+(-1)+(-1)+(-1)

=-4

.?.A是一個整數(shù).

②當x+y+z+t^O時,

--x--=——--y=---z--=---t--=卜

*y+z+tz+t+xt+x+yx+y+z'

.x+y+z+t_1

?,"=3(x+y+z+t)=孑

?,％yi

y+z+亡z+t+x3

.%+y_i

**(x+z)4-(x4-y)3，

；?x+y=z+3

??y_______i

*z+t+xt+x+y3'

y+z=x+r,

?%=也+也+上+也

z+￡x+tx+yy+z

z+tx+tx+yy+z

-----+t-------+t-------+t-------

z+tx+tx+yy+z

=1+1+1+1

=4,

是一個整數(shù).

即：4是一個整數(shù).

【點睛】此題是分式的等式的性質(zhì)，主要考查了等比的性質(zhì)，分式的化簡，解本題的關(guān)鍵是熟練等比的

性質(zhì)，難點是分兩種情況討論計算.

b2+c2-a2c2+a2—b2a2+b2—c2

6.已知：---------+----------+----------=1,求證：三個分式中有兩個等于1,一個等于-1.

2bc2ac2ab

【點撥】先利用等式性質(zhì)變形得到竺三士-1+1禁殳-1+/塔=+1=0,再利用完全平方公

2bcNQCZab

r_(b+c-a)(b+c+a)(c-a-bYc-a+b)(a-b+cYa-b-c)八「1、一

式和平方差公式得到1-----￡--------+------r----------------------------=------------=o,接著提公因式后

2bc2ac2ab

通分，然后通分得到(°b+c)(>+c。)(。+匕G=。,所以〃-。+。=?；颉?〃=?；騙。=。，然后

2abc

討論三種情況下三個分式的值即可得到結(jié)論.

【解析】證明：也左亙一1+依蕓尤一1+a2+b2-c2

+1=0,

2bc2ac2ab

b2+c2-a2-2bcc2+a2-b2-2aca2+b2-c2+2ab

4-4-二0,

2bc2ac2ab

22

(b+c)2Q2+(c-a)2/j2+(a-z))-c0

2bc2ac2ab

(匕+c-a)(b+c+a)(C-Q—匕)(c-a+b)(a-b+c)(a-fc>-c)

------------------------+-------------------------+--------------------------=0,

2bc2ac2ab

a+b+cc-a-b(Q-b+C)(Q—/?—C)_八

(b+c-a)(----;----+-----------)+=U,

2bc2ac2ab

a2+ab+ac+bc-ab-b2(a-b+cYa-b-c)

(b+c-〃)?--------------------------------+-=--0-,---------------------

2abc2ab

(a+b)(a-b)+c(a+b)(a-b+c)(a-b—c)

(b+c-〃)?---------------;-------------+--------------;----------=0,

2abc2ab

(b+c-a)(a+b)(a-b+c)c(a-b+c)(a-b-c)

--------------------------------+-------------------------=0,

2abc2abc

(a-b+c)(b+c-a)(a+b-c)

-------------------------------------=0,

2abc

a-0+c=0或b+c-a=0或a+b-c=0,

b2+c2-a2(a+c)2+c2-a2c2+a2-b2c2+a2-(a+c)2

=1，-

當〃-b+c=09即b=a+c時,

2bc2(Q+C)C2ac2ac

a2+b2-c2a2+(a+c)2-c2

2ab2a(Q+C)

b2+c2-a2c2+a2-b2a2+b2-c2

當b+c-a=0,即a=b+c時、同理可得，

2bc2ac2ab

匕2+c2-q2c2+a2-b2a2+b2-c2

當a+b-c=0,EPc=a+b時，=-1；

2bc2ac2ab

綜上所述，三個分式中有兩個等于1,一個等于-1.

【點睛】本題考查了分式的等式證明：熟練掌握分式的基本性質(zhì)，能利用完全平方公式和平方差公式進

行因式分解.解決問題的突破口是三個分式分別加上1或減去1構(gòu)造完全平方公式.

a2-bcb2-caab-c2

7.求證:----------------+------------------=------------------

(a+Z?)(a+c)(b+c)(b+a)(c+a)(c+Z?)

a2-bc

【點撥】首先觀察等式兩邊分式的結(jié)構(gòu)，把??轉(zhuǎn)化成形式，利用比差法進行解答即

(a+b)(a+c)Q+匕a一+?c一

可證明.

a2-bca^+ac-ac-bca(a+c)-c(Q+b)a

【解析】證明:

(a+b)(a+c)(a+b)(a+c)(a+b)(a+c)a+匕a+c

b2-caba

(b+c)(b+a)b+cb+a

c2-abb

—,

(c+a)(c+b)c+ab+c

2b22

___a__-_b_e________—__c_a_____c__-_a_b____a_____c__b_____a__c_____b__n

工左-右二+-

(Q+》)(Q+C)4十-(b+c)(b+a)4+-(c+a)(c+b)-Q+ba+cb+c力+Q+C+Qb+c'

等式成立.

【點睛】本題主要考查分式的等式證明的知識點，利用比差法解題是解答本題的關(guān)鍵，本例若采用通分

化簡的方法將很繁.像這種把一個分式分解成幾個部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧.

8.設x,y,z,卬為四個互不相等的實數(shù)，并且x+/=y+!=z+A=w+]

求證：/y222Mz2=[.

【點撥】分析與解我們先考慮一個特例，只取兩個不同實數(shù)，筒化原來命題.設x、y為不相等實數(shù)，且

x+"=y+p求證Wy2=1.

(1)求證這個特殊化的輔助問題就容易多了.根據(jù)xWy,很容易證明/)，2=i.

(2)從特例法中，我們得到已知條件變形的啟示，回到原命題，聯(lián)立組成方程組

(,1,1

%+廠y+萬

>+^z+5

’,1,r

Zd--

0)=3+一X

,1.1

3+-=久+一

kxy

通過將方程組變形，再將四個方程相乘，化簡可得到//z2/=l.

【解析】證明：■?"+[=y+]=z+'=卬+]

/111l

x+=y+-y--

一r---

yzzy①

yl1lxy1lz

=---

+-z+-z--②

z^^z3

1，l=1z--1l③

z+-3I-3-+-

3xx3（Z—0））X0）=0）-④

---1-yx

1Xl3l（oj—尤）yx=x—

3++-、X--

一-

I%yyx

由①X②X③X④得，x~y^z~w(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)=(x-y)(y-z)(z-w)(w-x)

''x,y,z,w互不相等

?'.jc2y2z2vv2=I.

【點睛】本題考查了由分式等式向整式等式轉(zhuǎn)化的方法.同學們需注意等式左右兩邊同乘以、或除以一

個不等于0的式子等式的值不變.

"2"2"2

9.已知y—a.——，z—CL―—,求證：x—a——.

【點撥】分析本題的兩個已知條件中，包含字母mx,)，和z,而在求證的結(jié)論中，卻只包含mx和z,

因此可以從消去)，著手，把①X②即可得到關(guān)于z的關(guān)系式.

【解析】證明：由已知

y=①

a2

-=a-z②

J

232

222

①X②得，a=(a—卷)(.a-z),BPa=a-^--az+^-f

所以z=gz-｝，即x=a-^-.

【點睛】本題考查的是分式的等式證明，解答本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法.

abcab

10-已知嬴+=+力=0'求證:-------+--------+--------=0

(b-c)2(c-a)2(a-匕/?

【點撥】由已知言+匕+￡=。,得出（言+E+S）（六+匕+工）等于a

(D-a)2+

b

(c-a)2+(a-b)2,從而證明原命題正確.

abcill

【解析】證明：（嬴+工+工）（有+有+力）

abT-￡—a+ba++cb+c

(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2+十(b-c)(c-a)+(b-c)(a-b)+(c-a)(a-b)'

a2—b2+/?2—c2+c2—a2

2+bc2+

,

(b-a)(c-a)2+(a-b)(b-c)(c-a)(a-b)

ab111