《漫話“數(shù)”與“形”-小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“幾何直觀”的應(yīng)用》

《漫話“數(shù)”與“形”--小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“幾何直觀”的應(yīng)用》——幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算定律教學(xué)中的應(yīng)用【摘要】幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中新增的核心概念。小學(xué)數(shù)學(xué)中的運(yùn)算定律是小學(xué)階段的重要內(nèi)容，但學(xué)生在理解和應(yīng)用上有一定的困惑，特別是在應(yīng)用運(yùn)算定律進(jìn)行簡算時(shí)易出現(xiàn)混淆。借助幾何直觀的教學(xué)，了解知識的幾何背景，幫助學(xué)生描述、理解運(yùn)算定律；借助直觀圖形分析算式的意義，明確算理、辨別正誤；借助直觀圖形引發(fā)學(xué)生思維的靈感，發(fā)現(xiàn)解題思路。幾何直觀在教學(xué)中的應(yīng)用，不僅使學(xué)生更好的掌握知識，亦能使課堂教學(xué)活潑起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。【關(guān)鍵詞】幾何直觀運(yùn)算定律理解思維幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）中新增的核心概念，它是指“利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用?！睆倪@段話中，可以領(lǐng)悟到：幾何直觀是一種思維，這種思維由幾何直觀做向?qū)В粠缀沃庇^能啟迪思路，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化；幾何直觀還能揭示知識的本質(zhì)，找出知識間的關(guān)系，對學(xué)生的能力培養(yǎng)發(fā)揮著重要作用。在小學(xué)四年級的運(yùn)算定律教學(xué)中，借助幾何直觀教學(xué)，了解其幾何背景，不僅幫助學(xué)生理解概念、分析及發(fā)現(xiàn)算式間的關(guān)系，亦能使課堂教學(xué)活潑起來，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，誘發(fā)對知識的進(jìn)一步理解與運(yùn)用。一、借助幾何直觀，描述和理解運(yùn)算定律在小學(xué)，運(yùn)算定律共有5條，雖然這5條運(yùn)算定律并不復(fù)雜，但對于小學(xué)生來說還是比較抽象的，他們通常在表示方法上會(huì)寫錯(cuò)，在應(yīng)用上也會(huì)搞混。在教學(xué)運(yùn)算定律的過程中，幾乎所有的教材都是先通過具體的問題情景，從代數(shù)方面進(jìn)行思考探索。具體做法：用不同的方法解決問題，通過計(jì)算，得出兩種方法算出的結(jié)果是相等的，因而兩個(gè)算式有相等關(guān)系；然后模仿等式的結(jié)構(gòu)再列舉一些算式，再通過計(jì)算說明算式結(jié)果相等，從而得出這樣的結(jié)構(gòu)的算式是相等的；最后觀察等式結(jié)構(gòu)歸納概括出規(guī)律。這種不完全歸納法對于小學(xué)領(lǐng)域的知識和幾歲小學(xué)生的閱歷當(dāng)然是可行的。但也不能排除學(xué)生對知識的懷疑，在訪談中，不少的學(xué)生理直氣壯地提出疑問：左右兩邊的算式確實(shí)是變了，結(jié)果為什么會(huì)不變的呢？這是小學(xué)生典型的形象思維。圖形能以其生動(dòng)的形象給人留下深刻的印象，更以其直觀而讓人信服。可以說，在數(shù)學(xué)中再?zèng)]有什么別的東西比幾何圖形更容易進(jìn)入人們腦海的了。所以，對于上面所出現(xiàn)的疑問，教師只用口頭解釋可能越讓學(xué)生糊涂，借助學(xué)生熟悉的幾何圖形來描述或解釋運(yùn)算定律，那么收效就大為不同了。教學(xué)片段：當(dāng)師生列舉出若干例子后，師問：這樣的算式能寫完嗎？用你喜歡的方式表達(dá)一下。1．加法交換律生：（用字母表示）a+b=b+a師：從a+b到b+a，兩道算式確實(shí)變了，為什么會(huì)是相等的呢？能有別的方法說明嗎？（學(xué)生一時(shí)想不到方法，沉默）幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算定律教學(xué)中的應(yīng)用老師出示線段圖：問：現(xiàn)在可以說明嗎？學(xué)生眼前一亮，無須解釋，無須討論，從圖中可以直接洞察到：無論是a+b或b+a線段的總長度不變，當(dāng)然a+b=b+a。幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算定律教學(xué)中的應(yīng)用2．加法結(jié)合律老師提供任意三角形圖：師：請用多種方法求三角形的周長。從圖中可以看出，這個(gè)三角形的周長可用代數(shù)式表示為：(a+b)+c、a+(b+c)和(a+c)+b，從而(a+b)+c=a+(b+c)=(a+c)+b.3．乘法交換律乘法的規(guī)律有點(diǎn)復(fù)雜，借助實(shí)物直觀圖再向抽象直觀圖過渡，讓學(xué)生更好的理解定律的內(nèi)涵：幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算定律教學(xué)中的應(yīng)用教學(xué)中，讓學(xué)生借助圖描述：（圖1）一行一行地?cái)?shù)，每行4個(gè)，有3行，共有4×3個(gè)小圓；（圖2）一列一列地?cái)?shù)，每列有3個(gè)，有4列，共有3×4個(gè)，總個(gè)數(shù)不變，所以4×3=3×4。（圖3）3和4可以是一個(gè)長方形的長和寬，那么4×3和3×4都是這個(gè)長方形的面積。所以4×3=3×4。同樣的道理：（圖4）a×b=b×a，交換兩個(gè)因數(shù)的位置，積不變。幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算定律教學(xué)中的應(yīng)用4．乘法結(jié)合律直觀圖：幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算定律教學(xué)中的應(yīng)用問：一共有多少個(gè)？按圖（1）方法數(shù)：共有（3×2）×2，按圖（2）方法數(shù)：共有3×（2×2）個(gè)。所以（3×2）×2=3×（2×2）。同理，算出圖（3）那樣由C個(gè)小長方形組成的大長方形的面積可以：先a×b算出一個(gè)小長方形的面積，再（a×b）×c算出大長方形的面積；也可以b×c算出長方形的總長，再用a×（b×c）得出長方形的面積。因此：（a×b）×c=a×（b×c）幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算定律教學(xué)中的應(yīng)用5．乘法分配律如圖：師：請你根據(jù)上圖說明a×(b+c)=a×b+a×c以上述片段，借助生熟悉的幾何直觀圖，形象地展示規(guī)律的內(nèi)涵，使抽象的規(guī)律讓學(xué)生真實(shí)地看到了，還有什么疑惑可言？正如《標(biāo)準(zhǔn)》所述“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象…..幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)”。同時(shí)，可以用這些簡單的圖形幫助學(xué)生記憶運(yùn)算定律，深化理解運(yùn)算定律。（二）借助幾何直觀，分析算式的意義學(xué)習(xí)運(yùn)算定律后，教材安排了應(yīng)用運(yùn)算定律進(jìn)行一些簡便運(yùn)算，學(xué)生由于過于關(guān)注“數(shù)”，因而對于結(jié)構(gòu)相似的算式容易混淆，當(dāng)然這是跟對題目的分析不無關(guān)系。如果只知一味的計(jì)算，或者死記一些結(jié)構(gòu)，不知換一個(gè)思路，從幾何直觀上想一想，就可能讓學(xué)生走進(jìn)錯(cuò)誤的旋窩中，很難走出來。案例一：178－(78+66)去掉括號后學(xué)生寫成178－78+66師：下面兩道算式你覺得相等嗎？為什么？178－(78+66)和178－78+66大部分學(xué)生是通過計(jì)算來說明的，結(jié)果是當(dāng)然有兩種----相等與不等，對的還是對，錯(cuò)的還是錯(cuò)，誰也說服不了誰。這時(shí)，老師提議：“用線段圖表示這兩道算式的意思吧，（在另一個(gè)班讓學(xué)生用喜歡的圖形表示出算式的意義），看看結(jié)果會(huì)是怎樣的？”幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算定律教學(xué)中的應(yīng)用生：表示結(jié)果的線段長度不一樣的！第一幅圖顯示在一條線段中依次減去兩條短線段，而第二幅圖只是減去一條短線段，然后加上一條短線段。當(dāng)然不一樣，178－(78+66)不等于178－78＋66；178－(78+66)而是與178－78－66相等。幾何直觀在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算定律教學(xué)中的應(yīng)用案例二：用簡便方法計(jì)算25×（4+8），學(xué)生寫成：25×（4+8）=25×4＋8。一看這個(gè)例子，你是否覺得很面熟呢？相信每一屆的學(xué)生都會(huì)有這樣的情況。那么，我們用什么方法盡量地減少學(xué)生這種錯(cuò)誤的理解呢？就用這樣一個(gè)小幾何直觀圖：師：還記得我們學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)用到的這個(gè)圖形嗎？現(xiàn)在想想兩道算式所求的面積是否相同？學(xué)生直接感知到25×（4+8）是整個(gè)長方形的面積，而25×4+8是一個(gè)面積加一條邊長，或25×4個(gè)面積單位加8個(gè)面積單位，顯然是不等了。像這樣的案例很多，對于關(guān)系較多、較復(fù)雜的算式，老師越是解釋，學(xué)生可能越糊涂，用幾何直觀就能使問題簡單化、形象化。更有意思的是，由于經(jīng)常用這種方法分析問題，在學(xué)生的頭腦中總會(huì)出現(xiàn)相關(guān)的圖形，因此，對算式的理解更清晰了，在算式的運(yùn)算中自覺地與幾何圖形結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的完美統(tǒng)一。（三）借助幾何直觀，發(fā)現(xiàn)算式間的關(guān)系對算式的理解本來是比較抽象的，算式間的關(guān)系就更是抽象中的抽象了。所以在小學(xué)里，學(xué)生能計(jì)算、能知道算式的意思已經(jīng)是很不錯(cuò)的，算式間的關(guān)系我們幾乎不敢恭維。可是，在用幾何直觀來教學(xué)運(yùn)算定律后，竟然會(huì)有驚喜出現(xiàn)。在上面筆者用幾何直觀圖幫助學(xué)生識別算式是否相等時(shí)，學(xué)生大聲說：老師我還發(fā)現(xiàn)178－(78+66)與178－78＋66相差2個(gè)66！師：你怎么知道的？（驚訝）生：有眼睛的人都會(huì)看到。幾何直觀能夠啟迪思路，幫助理解。因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方向。甚至可以說，只有做到直觀上的理解，才是真正的