新教材新高考2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點精講精練 第07講 利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題 高頻精講（解析版）

第07講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題(精講）目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 2第二部分：高考真題回歸 2第三部分：高頻考點一遍過 5高頻考點一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù) 5高頻考點二：糅合雙參（比值糅合） 11高頻考點三：糅合雙參（差值糅合） 18高頻考點四：變更主元法 20高頻考點五：利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)單變量 23高頻考點六：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題 29溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背1、導(dǎo)數(shù)中求解雙變量問題的一般步驟：（1）先根據(jù)已知條件確定出變量滿足的條件；（2）將待求的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題，同時注意將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量，具體有兩種可行的方法：①通過將所有涉及的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量（亦可）的函數(shù)問題；②通過的乘積關(guān)系，用表示（用表示亦可），將雙變量問題替換為（或）的單變量問題；（3）構(gòu)造關(guān)于或的新函數(shù)，同時根據(jù)已知條件確定出或的范圍即為新函數(shù)定義域，借助新函數(shù)的單調(diào)性和值域完成問題的分析求解.2、破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果第二部分：高考真題回歸1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（ⅰ）若，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)（?。┮娊馕觯唬áⅲ┮娊馕?【詳解】（1），當，；當，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（2）（?。┮驗檫^有三條不同的切線，設(shè)切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當或時，；當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當時，同（?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：，因為，故，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則，所以，，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：分離雙參，構(gòu)造函數(shù)典型例題例題1．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若對任意，恒有，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【詳解】解：（1）當時，由已知得，所以，令得，即時，；時，；故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），由得，所以在單調(diào)遞減，設(shè)從而對任意，恒有，即，令，則等價于在單調(diào)遞減，即恒成立，從而恒成立，故設(shè)，則，當時，為減函數(shù)，時，，為增函數(shù).∴,∴a的取值范圍為.例題2．（2023春·四川成都·高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，．(1)求證：存在唯一零點；(2)設(shè)，若存在，使得，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）證明：由題意，得．記，則．因為時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．因為，所以在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為，所以有唯一零點x=1．（2）由，得．記，故，因為在上單調(diào)遞增，所以，則，設(shè)則，令，則．因為在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，注意到，所以的解集為，的解集為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又因為，所以．例題3．（2023秋·廣東廣州·高三廣州市培英中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，對任意，當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1），若，則恒成立，當且僅當時等號成立，故的增區(qū)間為，無減區(qū)間.若，則當或時，；當時，，故的增區(qū)間為，減區(qū)間為，若，同理可得的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）若，則，由（1）可得的增區(qū)間為，故即為，故，設(shè)，故為上的減函數(shù)，而，所以在上恒成立，故在上恒成立，設(shè)，故，當時，，當時，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故即練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)設(shè)，證明：對任意，，．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當時，，，切點為求導(dǎo)，切線斜率曲線在處的切線方程為．（2），的定義域為，求導(dǎo)，在上單調(diào)遞減．不妨假設(shè)，∴等價于．即．令，則．，，．從而在單調(diào)減少，故，即，故對任意．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)當時，有，求證：對，有；(3)若，且，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【詳解】（1）因為，所以點即為點，，故切線方程為，即；（2）因為當時，，，故在上單調(diào)遞增，所以，當時，，此時；當時，在上單調(diào)遞減，此時，故，所以成立；（3）由題意得：，又因為，所以，又，即，即，所以①設(shè)，則①式變形為，所以單調(diào)遞增，所以，因為，所以，令，，則，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，有，故．即實數(shù)的取值范圍為.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）解：依題意，令，，則，令，解得或.當時，即時，恒成立且不恒為零，所以，函數(shù)的增區(qū)間為；當時，即時，由可得或，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當時，即時，由可得或，由可得.所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.綜上所述，當時，函數(shù)的增區(qū)間為；當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為；當時，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為.（2）解：當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且.因為，所以，則不等式可化為，即.令，則問題等價于函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，即，.令，，則.令，解得，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以當時，函數(shù)取得最小值，且，所以當時，，所以.高頻考點二：糅合雙參（比值糅合）典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，函數(shù).(1)求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：.【答案】(1)(2)(3)答案見詳解【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，由已知得在處的切線的斜率為，則，即，解得；（2）由（1）得，則，∵函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，∴在上有解，∵，設(shè)，則，∴只需或，解得或，故實數(shù)的取值范圍為；（3）證明：由題意可知，，∵有兩個極值點，，∴，是的兩個根，則，∴，∴要證，即證，即證，即證，即證，令，則證明，令，則，∴在上單調(diào)遞增，則，即，所以原不等式成立．例題2．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個極值點，且（為自然對數(shù)底數(shù)，且），求的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.(2)【詳解】（1）解：當時定義域為，又，所以在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）解：由題知，，函數(shù)的定義域為，，當時，對任意的，恒成立，故在上單調(diào)遞增，沒有極值點；當時，，且不恒為零，故在上單調(diào)遞增，沒有極值點；當時，令，解得，，則，當時，；當時，；當時，，此時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當時，有兩極值點、，且，，所以，設(shè)，，其中，所以，又因為，可知，所以在上單調(diào)遞減．∴，即，所以的取值范圍為.例題3．（2023·江蘇淮安·高三江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)，．（1）求函數(shù)的最小值；（2）若是的切線，求實數(shù)的值；（3）若與的圖象有兩個不同交點，，求證：．【答案】（1）；（2）1；（3）證明見解析.【詳解】解：（1）∵，∴當時，，∴在上單調(diào)遞減；當時，，∴在上單調(diào)遞增．故函數(shù)的最小值為（2）若是的切線，設(shè)切點為則過點的切線方程為即，即由題意知令，則時，∴在上單調(diào)遞增，又∴有唯一的實根，則．（3）由題意知兩式相加得兩式相減得，即∴，即不妨令，記，則令，則∴在上單調(diào)遞增，則∴，因而令，則時，，∴在上單調(diào)遞增∵，∴．練透核心考點1．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)，P，Q是曲線上的不同兩點，直線的斜率為，曲線在點處P，Q切線的斜率分別為，，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【詳解】（1）解：因為，定義域為，所以，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）證明：設(shè)，，，因為，所以，則，，，于是，即，由，所以上述不等式等價于，故，因為，所以，設(shè)，，則，由（1）可知，當時，單調(diào)遞增，所以，所以，故，即成立，得證.2．（2023·江蘇南通·高三海安市曲塘中學(xué)?？迹┮阎瘮?shù)f(x)＝lnx－mx＋1在點(1，f（1）)處與x軸相切，其中m∈R．(1)求實數(shù)m的值；(2)對于任意的0＜a＜b，證明：－＋1＜0．【答案】(1)1(2)證明見解析(1)對函數(shù)f(x)＝lnx－mx＋1，x＞0，有f'(x)＝－m；因為f(x)在點(1，f（1）)處與x軸相切，所以f'（1）＝1－m＝0，得m＝1；(2)由（1）得，f(x)＝lnx－x＋1，x＞0；對于任意的0＜a＜b時，要證－＋1＜0，即證－＋1＜0，即證－＋1＜0，即證＜，即證ln＜，即證ln－＋1＜0；設(shè)＝t，t＞1，則即證lnt－t＋1＜0；設(shè)g(t)＝lnt－t＋1，t＞1，則g'(t)＝－1，在t∈(1，＋∞)時，g'(t)＜0，所以g(t)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(t)＜g（1）＝0，即lnt－t＋1＜0故得證．高頻考點三：糅合雙參（差值糅合）典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）已知，函數(shù)恰有兩個不同的極值點，，證明：．【答案】（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明見解析．【詳解】解：（1），，（i）當時，，函數(shù)在上遞減；（ii）當時，令，解得；令，解得，函數(shù)在遞減，在遞增；綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）證明：，依題意，不妨設(shè)，則，兩式相減得，，因為，要證，即證，即證，兩邊同除以，即證.令，即證，令，則，令，則，當時，，所以在上遞減，，在上遞減，，即，故．練透核心考點1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個不同零點，求證：.【答案】(1)詳見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）由題可得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分，討論即得；（2）由題可得，可得只需證，然后通過換元可得，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）由題可得，當時，，當時，；所以當時，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）因為有兩個不同零點，，則，，因此，即，要證，只要證明，即證，不妨設(shè)，記，則，，因此只要證明，即，記，則，令，則，所以函數(shù)在上遞增，則，即，∴在上單調(diào)遞增，∴，即成立，∴.高頻考點四：變更主元法典型例題例題1．（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)證明：對任意，總存在，使得對恒成立.(2)若不等式對恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2)【詳解】（1）的定義域為，在上為增函數(shù)，又在上為增函數(shù)，所以在為增函數(shù)，因為，，所以在內(nèi)存在唯一的零點，所以當時，．故對任意，總存在，使得對恒成立．（2）由，得．設(shè)函數(shù)，為關(guān)于t的二次函數(shù)．因為對恒成立，由圖可知，即設(shè)函數(shù)，在上為增函數(shù)，又在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，因為，所以不等式的解集為，而當時，顯然成立，所以x的取值范圍為．例題2．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小值；(2)若存在實數(shù)，使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或【詳解】（1），∴顯然當即時,，∴的最小值為.（2）因為存在實數(shù)，使不等式成立，所以，又，所以，又，顯然當時，，所以有，即，可得，所以或，解得或.故實數(shù)x的取值范圍為或.練透核心考點1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知定義域為R的函數(shù)滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；【答案】(1)；(2)；【詳解】（1），令，則，故，所以；（2）可看作關(guān)于的一次函數(shù)，要想對任意的，都有恒成立，只需要，解①得：，解②得：，則與求交集得，實數(shù)x的取值范圍是；2．（2023秋·山東臨沂·高一?？计谀┮阎瘮?shù)，函數(shù)．(1)求函數(shù)的值域；(2)若不等式對任意實數(shù)恒成立，試求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得即的值域為．（2）由不等式對任意實數(shù)恒成立，故．又設(shè)，則，所以，當時，．故，即，整理得，即，解得．所以實數(shù)的取值范圍為．高頻考點五：利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)單變量典型例題例題1．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個極值點，證明：【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1），令，注意到，對稱軸，故，（i）當時，即，此時在上單調(diào)遞增，即，從而，即在上單調(diào)遞增；（ii）當時，，若，即時，恒成立，從而，即在上單調(diào)遞增；若，即時，存在有，其中，，從而在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；綜上可知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：由（1）可知，要使有兩個極值點，則，此時滿足，，不妨設(shè)，此時有，從而原不等式轉(zhuǎn)化為：將及代入有：，化簡即得：，即證，由，可得，令，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，，故原不等式成立例題2．（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的曲線上點處的切線方程；(2)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(3)若有兩個極值點其中，求的最小值.【答案】(1)(2)見解析(3)【詳解】（1）當時，所以，，又，過切點的切線方程為，即：.（2）由題意得：，,令,①當,即，則恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增.②當時，即，令,即，解得：或令，解得：綜上，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，當時，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（3）由（2）知，，，由題意知，是方程的兩根,，，，令當時，,所以，在上單調(diào)遞減，即的最小值為.練透核心考點1．（2023·新疆烏魯木齊·高三烏市八中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（）.（1）若是定義域上的增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）若，若函數(shù)有兩個極值點，（），求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）的定義域為，，∵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴，即對恒成立.則恒成立.∴，∵，∴.所以，a的取值范圍是.（2）設(shè)方程，即得兩根為，，且.由且，得，∵，，∴，∴.，∵，∴代入得，令，則，得，，，∴而且上遞減，從而，即，∴.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)存在兩個極值點，且，若，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析（1）由題意可知，，當時，，則在是單調(diào)遞增；當時，若，即時，若，即時，和時，時，，綜上，時，在是單調(diào)遞增；時，在和遞增，在遞減（2）由題意可設(shè)，是的兩個根，則（用分別表示出和），整理，得，此時設(shè)，求導(dǎo)得恒成立，在上單調(diào)遞減，3．（2023·浙江金華·高二浙江省浦江中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點，其中，．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)若，求的最大值（注：e是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)；(2).（1）∵且，∴，令，則，∴，可得．（2），由（1）可得：，所以，∵，即，∴，由對勾函數(shù)性質(zhì)有，令，則令，則，∴在上單調(diào)遞減，則，∴.高頻考點六：利用對數(shù)平均不等式解決雙變量問題典型例題例題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對于不相等的正實數(shù)a，b，有成立，我們稱其為對數(shù)平均不等式．現(xiàn)有函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，．①證明：；②證明：．【答案】(1)極大值為，無極小值(2)①證明見解析；②證明見解析(1)函數(shù)的定義域為，，則當時，；時，．即在上遞增，上遞減，故的極大值為，無極小值．(2)結(jié)合（1）由，；，，可得，①由題意可得，從而，即，結(jié)合參考的公式可得：，故，且，即，從而有．②由①可得，令，則，所以，則，則，∴遞減，又∵，∴，故遞增，∴，即，即．例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè),當時，滿足，求證：．【答案】（1），上減；，上減，上增；（2）證明見解析．【詳解】（1）函數(shù)，定義域為，，當時，，所以在上為減函數(shù)，當時，即，所以，當時，；當時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上，當時，，所以在上為減函數(shù)，當時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2）由題意，由，得所以，將代入得：得，又，所以，設(shè)，，則所以在上是減函數(shù)，所以，即，又，所以例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點.求：(1)若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱，且與直線相切，求的值；(2)對于實數(shù)，，且，①；②.在兩個結(jié)論中任選一個，并證明.（注：如果選擇多個結(jié)論分別證明，按第一個計分）【