初高中銜接教材

初中數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接緊密的知識點(diǎn)

1絕對值：

⑴在數(shù)軸上，一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值。

a(a>0)

⑵正數(shù)的絕對值是他本身，負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)，0的絕對值是0,即時=<0(a=0)

-a{a<0)

⑶兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小

⑷兩個絕對值不等式：|x|<a{a>0)o-a<x<a；|x|>a(a>0)=x<—a或x>a

2乘法公式：

⑴平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)

⑵立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

⑶立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2—ab+b2)

⑷完全平方公式：(a+b)2=a2±2ab+b2,

(a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+2ac+2bc

⑸完全立方公式：(a±Op=/±3a2b+3ab2+b3

3分解因式：

⑴把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式，這種變化叫做把這個多項(xiàng)式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②運(yùn)用公式法，③分組分解法，④十字相乘法。

4一元一次方程：

⑴在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程。

⑵解一元一次方程的步驟：去分母，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，未知數(shù)系數(shù)化為1。

⑶關(guān)于方程冰解的討論

b

①當(dāng)。工0時，方程有唯一解x=t；

a

②當(dāng)a=0,匕H0時，方程無解

③當(dāng)a=0,。=0時，方程有無數(shù)解：此時任一實(shí)數(shù)都是方程的解。

5二元一次方程組：

(1)兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組。

(2)適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

(3)二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。

(4)解二元一次方程組的方法：①代入消元法，②加減消元法。

6不等式與不等式組

(1)不等式：

①用符不等號(〉、#、＜)連接的式子叫不等式。

②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式，不等號的方向不變。

③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù)，不等號方向不變。

④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號方向相反。

(2)不等式的解集：

①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。

③求不等式解集的過程叫做解不等式。

(3)一元一次不等式：

左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式。

(4)一元一次不等式組：

①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一元一次不等式組。

②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。

③求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。

7一元二次方程：ax2+Z?x+c=O(?^O)

①方程有兩個實(shí)數(shù)根o△=/-4?c>0

A>0

②方程有兩根同號o

玉*2->0

a

A>0

③方程有兩根異號。c.

xx=—<0

[2-a

b

④韋達(dá)定理及應(yīng)用：%+%----

a

VKy/b2-4ac

X：2+x=+x2)2="(玉+x)2XX

2,\x]-x2\2-4)2

\a\

8函數(shù)

(1)一次函數(shù)：①若兩個變量y,x間的關(guān)系式可以表示成丁=依+。(。為常數(shù)，左不等于0)的形式，則稱y是x

的一次函數(shù)。②當(dāng)8=0時，稱y是x的正比例函數(shù)。

(2)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

①把一個函數(shù)的自變量x與對應(yīng)的因變量y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn)，

所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象。

②正比例函數(shù)y=Ax的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線。

③在一次函數(shù)中，當(dāng)k<0,h<0,則經(jīng)2、3、4象限；當(dāng)女<0,匕〉0時，則經(jīng)1、2、4象限；當(dāng)Z〉0,h<0

時，則經(jīng)1、3、4象限；當(dāng)％>0,6>0時，則經(jīng)1、2、3象限。

④當(dāng)女〉0時，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)攵<0時，y的值隨x值的增大而減少。

(3)二次函數(shù)：

①一般式：y-cue2+bx+c=a(x+—)2+竺^—―(aw0),對稱軸是冗=---,

2a4a2a

頂點(diǎn)是(一2h,4-cic—b~)；

2a4a

②頂點(diǎn)式：y-a(x+m)2+k(a^O),對稱軸是x=-〃7,頂點(diǎn)是(m,Z)；

③交點(diǎn)式：y=a(x-X])(x-%2)(。。0)，其中(40),(x2,0)是拋物線與x軸的交點(diǎn)

(4)二次函數(shù)的性質(zhì)

_A

①函數(shù)y=以2+bx+c(awO)的圖象關(guān)于直線犬=----對稱。

2a

hh

②。>0時，在對稱軸(x=——)左側(cè)，y值隨X值的增大而減少；在對稱軸(尤=——)右側(cè)；y的值隨X值

2。2a

h4cic—

的增大而增大。當(dāng)工=—-時，y取得最小值--------

2a4a

h1)

③。<0時，在對稱軸(x=——)左側(cè)，y值隨X值的增大而增大；在對稱軸(x=——)右側(cè)；y的值隨X值

2a2a

b4izc—b~

的增大而減少?當(dāng)x=時，y取得最大值

2a4a

9圖形的對稱

(1)軸對稱圖形：①如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關(guān)于對稱軸對稱的兩點(diǎn)確定的線段被對稱軸垂直平分。

(2)中心對稱圖形：①在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個圖形叫做

中心對稱圖形，這個點(diǎn)叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對稱中心平分。

10平面直角坐標(biāo)系

(1)在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫

做y軸或縱軸，x軸與y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸，他們的公共原點(diǎn)。稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。

(2)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的對稱點(diǎn)：設(shè)M(內(nèi),y),M'C/,%)是直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩點(diǎn)，

①若M和關(guān)于y軸對稱，則有J"一—

[X=%

②若M和關(guān)于x軸對稱，則有1%一馬。

〔乂=一%

③若M和M'關(guān)于原點(diǎn)對稱，則有'…=一”。

5=-%

④若M和M'關(guān)于直線y=x對稱，則有」*=必。

〔乂=%

⑤若M和M'關(guān)于直線x=a對稱，貝ij有卜'=24—々或卜2=2a一%。

.I

11統(tǒng)計與概率：

(1)科學(xué)記數(shù)法：一個大于10的數(shù)可以表示成Ax10'的形式，其中A大于等于1小于10,N是正整數(shù)。

(2)扇形統(tǒng)計圖：①用圓表示總體，圓中的各個扇形分別代表總體中的不同部分，扇形的大小反映部分占總體的百分

比的大小，這樣的統(tǒng)計圖叫做扇形統(tǒng)計圖。②扇形統(tǒng)計圖中，每部分占總體的百分比等于該部分所對應(yīng)的扇形圓心角

的度數(shù)與360度的比。

(3)各類統(tǒng)計圖的優(yōu)劣：①條形統(tǒng)計圖：能清楚表示出每個項(xiàng)目的具體數(shù)目；②折線統(tǒng)計圖：能清楚反映事物的變化

情況；③扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。

1-

(5)平均數(shù)：對于N個數(shù)看,電,…,赤，我們把一(玉+Z+…+赤)叫做這個N個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，記為X。

N

(6)加權(quán)平均數(shù)：一組數(shù)據(jù)里各個數(shù)據(jù)的重要程度未必相同，因而，在計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時往往給每個數(shù)據(jù)加一

個權(quán)，這就是加權(quán)平均數(shù)。

(7)中位數(shù)與眾數(shù)：①"個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這

組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。②一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最大的那個數(shù)據(jù)叫做這個組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。③優(yōu)劣比較：平均數(shù)：所有數(shù)據(jù)參

加運(yùn)算，能充分利用數(shù)據(jù)所提供的信息，因此在現(xiàn)實(shí)生活中常用，但容易受極端值影響；中位數(shù)：計算簡單，受極端

值影響少，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息；眾數(shù)：各個數(shù)據(jù)如果重復(fù)次數(shù)大致相等時，眾數(shù)往往沒有特別的意義。

(8)調(diào)查：①為了一定的目的而對考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查，稱為普查，其中所要考察對象的全體稱為總體，而組成

總體的每一個考察對象稱為個體。②從總體中抽取部分個體進(jìn)行調(diào)查，這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查，其中從總體中抽取的

一部分個體叫做總體的一個樣本。③抽樣調(diào)查只考察總體中的一小部分個體，因此他的優(yōu)點(diǎn)是調(diào)查范圍小，節(jié)省時間,

人力，物力和財力，但其調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確。為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果，抽樣時要主要樣本

的代表性和廣泛性。

(9)頻數(shù)與頻率：①每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)，而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。②當(dāng)收集的數(shù)據(jù)連

續(xù)取值時，我們通常先將數(shù)據(jù)適當(dāng)分組，然后再繪制頻數(shù)分布直方圖。

(10)數(shù)據(jù)的波動：①極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。②方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方和的平

均數(shù)。③標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根。④一般來說，一組數(shù)據(jù)的極差，方差，或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。

(11)事件的可能性：①有些事情我們能確定他一定會發(fā)生，這些事情稱為必然事件；有些事情我們能肯定他一定不

會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件；必然事件和不可能事件都是確定的。②有很多事情我們無法肯定他會不會發(fā)生，

這些事情稱為不確定事件。③一般來說，不確定事件發(fā)生的可能性是有大小的。

(12)概率：①人們通常用1(或100%)來表示必然事件發(fā)生的可能性，用0來表示不可能事件發(fā)生的可能性。②游

戲?qū)﹄p方公平是指雙方獲勝的可能性相同。③必然事件發(fā)生的概率為1,記作P（必然事件）=1;不可能事件發(fā)生的

概率為0,記作P（不可能事件）=0；如果A為不確定事件，那么0<P（A）<l

目錄

第一章數(shù)與式的運(yùn)算

1.1絕對值

1.2乘法公式

1.3二次根式

1.4分解因式

第二章函數(shù)與方程

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)y=ax+bx-\-c的圖像和性質(zhì)

2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

2.2.3二次函數(shù)的簡單應(yīng)用

第三章方程與不等式

3.1一元二次不等式解法

第一章數(shù)與式的運(yùn)算

1.1絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零.即

a,。>0,

\a\=<0,a=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：k-4表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)。之間的距離.

例1解不等式:|x-l|+|x-3|>4.

角軍法一：由x—1=0,得x=1；由無一3=0,得x=3；

①若x<l,不等式可變?yōu)椤╔—1）—（X—3）>4,

即—2x+4>4,解得尤V0,

又xVl,

.,.x<0；

②若lWx<2,不等式可變?yōu)椋▁-1）-（x-3）>4,

即1>4,

...不存在滿足條件的X；

③若xN3,不等式可變?yōu)?x-l)+(x—3)>4,

即2x—4>4,解得x>4.

又后3,.,.x>4.

綜上所述，原不等式的解為

xVO,或x>4.

解法二：如圖1.1-1,卜-1|表示x軸上坐標(biāo)為x的點(diǎn)尸到坐標(biāo)為1的點(diǎn)A之間的距離解即照|

=lx-l|；|X—3|表示x軸上點(diǎn)尸到坐標(biāo)為2的點(diǎn)8之間的距離|PB|,即|P8|=|x-3|.

所以，不等式|x—1|+上一3|>4的幾何意義即為

以一3|

\PA\+\PB\>4..__________A_

由依8|=2,可知PCXBD

點(diǎn)P在點(diǎn)。(坐標(biāo)為0)的左側(cè)、或點(diǎn)P1--'-------!(----->在點(diǎn)以坐標(biāo)為4)的右

側(cè).

x<0,或x>4.|x一1|

習(xí)題1.1圖1.1-1

1.填空：

(1)若國=5,則x=；若國=卜4|,則％=.

(2)如果時+網(wǎng)=5,且。=一1,則8=；若|1一"=2,則°=,

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=網(wǎng)，則(B)若同〉網(wǎng)，則Q

(C)若a,則M<例(D)若同二例，則。=±人

3.化簡：|x—5|—|2x—13|(x>5).

1.2乘法公式

我們在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+切(。-。)=/一〃；

(2)完全平方公式(a土b)°=a?±2ab+/.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

【公式1](a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

證明：v(.a+b+c)2=[(a+b)+cF=(a+b)2+2(a+b)c+c2

—a2+lab+b~+lac+2bc+c2=a2+b~+c2+2ab+2bc+lea

等式成立

【例1】計算：(x2-Vlr+g)2

解：原式=[/+(_屈)+；]2

=(/)2+(_岳)2+(1)2+2^2(-V2)x+2x2X1+2X|X(-A/2X)

4n/n3,822垃1

=x-2、2xH—x----x-\—

339

說明：多項(xiàng)式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降嘉或升基排列.

練習(xí)1：已知a+Z?+c=4,ab+bc+ac-4,求/+/??+/的值.

解：a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+be+ac)=8

[公式2](a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(立方和公式)

證明：(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3—+Z?3

【公式3】(a—刀(a?+ab+〃)="-/(立方差公式)

【例2】計算：(2a+b)(4a2-2ab+b2)=8a3+b3

練習(xí)1.計算

(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)=

(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)=

/c、(11Y111、

(3)—m——2+—m+—)=

(23*69

(4)(a+b)(a2-ab+b2)(a-b)(a2+ab+b2)=

2.利用立方和、立方差公式進(jìn)行因式分解

(1)27m3-n3=

(2)27m3--n3=

8

(3)X3-125=

(4)m6-n6=

【公式4](a+bf=a3+b3+3a2b+3ab2

【公式5】(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

【例3】計算：

,111,11,

(1)(4+/n)(16-4m+/M)(2)(—m——〃)(一m~+—mn+—n)

5225104

(3)(a+2)(a—2)(a"+4a-+16)(4)(x'+2xy+y~)(x"—xy+y~

解：(1)原式=4’+〃廣=64+〃-

(2)原式=(一1㈤,3一1(一,“)3=一12租3一一1〃a3

521258

(3)原式=(/-4)(a4+4a2+42)=(a2)3=a6-M

222

(4)原式=(%+丁)2(%2一盯+y2)2=[(x+j)(X-xy+J)]

=(/+y')2=x6+2x3y3+y6

說明：(1)在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu).

(2)為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、…、20的平方數(shù)和1、2、3、4、…、10的立方數(shù)，是

非常有好處的.

練習(xí)1：已知d—3x+l=0,求1+二的值.

X

解：9/X2-3x4-1=0「.xwO/.x+—=3

X

原式二(x4—).2—14——)=(xH—)[(x+—)2—3]=3(3-—3)=18

xxXX

說明：本題若先從方程Y-3X+1=()中解出x的值后，再代入代數(shù)式求值，則計算較煩瑣.本題是根據(jù)條件式與求

值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計算，簡化了計算.請注意整體代換法.本題的解法,體現(xiàn)了“正難則反”的解題策

略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉.

練習(xí)2:計算：(x+l)(x-l)(x2-x+l)(x2+x+l).

解法一：原式=(f+1)2一月

=(x2-l)(x4+x2+l)

x6-l.

解法二：原式=(X+1)(/-x+l)(x-l)(x2+X+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-1.

習(xí)題1.2

1.填空：

(1)-a2-—b2=(—/>+-4?)()；

9423

(2)(4根+)2=16/w2+4m+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.選擇題：

(1)若產(chǎn)+,如+&是一個完全平方式，則左等于

)

2

1,

(A)m2(B)—nt(C)-m2(D)—m"

4316

(2)不論a,匕為何實(shí)數(shù)，2。—4匕+8的值()

(A)總是正數(shù)(B)總是負(fù)數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)

1.3二次根式

式子&(a20)叫做二次根式，其性質(zhì)如下:

⑴(石了=心＞o)

(3)\[ab=\fa'\[b(a>0,h>0)

例1將下列式子化為最簡二次根式：

(1)y/nh；(2)V^(a>0)；(3)而虧(x<0)?

解：(1)y/nb=2y/3b；

(2)\la2b-\a\>Jb-ayfb(a>0)；

(3)J4x6y=2M=-2x，G(x<0).

練習(xí)1：化簡下列各式：

>/(A/3—2)-+--

解：(1)原式=|百-2|+|6一1|=2一0+百一1=1

說明：請注意性質(zhì)的使用：當(dāng)化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論

后

例2計算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：(1)7?

3

⑵

2+百

⑵嚕忐當(dāng)T*魯i

后―\a+b\la-b+ab

(3)原式=J——=--------;------

Vabah

(4)原式=2+\llx22x=\llx-x\[x+2\/2x=3A/2x-xy/x

說明：

（1）二次根式的化簡結(jié)果應(yīng)滿足：

①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；

②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

（2）二次根式的化簡常見類型有下列兩種：

①被開方數(shù)是整數(shù)或整式.化簡時.，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來;

3）或被開方數(shù)有分母（如g）.這時可將其化為當(dāng)形式（如器可化為強(qiáng)），轉(zhuǎn)化為“分母

②分母中有根式（如一

2+V3

中有根式”的情況.化簡時，要把分母中的根式化為有理式，采取分子、分母同乘以一個根式進(jìn)行化簡.（如'■3廣化

2+V3

為一3（\曲,其中2+6與2-6叫做互為有理化因式）.

（2+73）（2-V3）

有理化因式和分母有理化

有理化因式：兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個代數(shù)式叫做有理化因式。

如國與&；“4+"6與"6一"萬互為有理化因式。

分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。

練習(xí)1：計算:73-(3-73).

石

解法一：V3-^(3-A/3)=—"「

3-V36電-V)

_73-(3+73)__1_

(3—揚(yáng)(3+百)V3-1

_3一+3_G+i

(73-1)(73+1)

9—3

_3(^+1).V3+1

62

_V3+1

2

解法二:也+(3--73)=——-r=

3-V3

練習(xí)2：試比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

（1）Vi2-Vn^vn-Vio；（2）,—和2&一6.

V6+4

712-711(Vi2-ViT)(^+VrT)

解：⑴vVi2-Vn

1Vn+x/nVi2+x/n，

VTT-Vio(VTT-Vio)(VH+Vio)

VTl-Vio

iVn+VioVTT+Vio，

又配+vn＞布率師,

,厄-而〈布-屈.

272-76(272-76)(272+^6)2

(2)272-76

12V2+V6一2正+C

又4>2啦，

.,.加+4>加+2/，

，-f=—<26—R.

<6+4

例3化簡：(6+近浮?他-6)20as.

解：(百+行嚴(yán)?.(由一夜產(chǎn)5

=(百+應(yīng)嚴(yán)-V2)2004-(V3-V2)

=[(6+夜).(G—V2)]2004.(G_偽

=12004-(V3-V2)

=A/3-V2.

(2)Jd—5—2(0<x<1).

練習(xí)1：化簡：(1)也-4非；

解：(1)原式=&+4石+4(2)原式=J(x—L)2=1

X——

=7(V5)2+2X2XV5+22X

V0<x<l,

=J(2一⑹2

**?—>1>X,

曰2-詞=石-2.X

所以,原式=_L_x.

X

習(xí)題1.3

1.填空：

1-V3

(1)

1+V3----------，

(2)若，(5-X)(X-3)2=(x-3)7^7,則x的取值范圍是

(3)4724-6^54+35/96-2^150=

亞Jx+l—Jx—1,Jx+1+y/x—\

(4)右X=—，則,---——1=+,------7==______

2''/x+1+X~\Jx+1-yjX—\

2.選擇題:

等式成立的條件是)

（A）xw2（B）尤＞0(C)x>2(D)0cx<2

3.比較大?。?一小,一點(diǎn)一也（填“＞"，或

2+G2-M

求V+y3的值.

4.設(shè)x=2-6，)-2+G

說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(D先化簡后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推

幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量.

1.4分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)A2—3x+2；(2)f+4x—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

解：(1)如圖1.2-1,將二次項(xiàng)x2分解成圖中的兩個x的積，再將常數(shù)項(xiàng)2分解成一1與一2的

乘積，而圖中的對角線上的兩個數(shù)乘積的和為一3x,就是f—3x+2中的一次項(xiàng)，所以，有

x2—3x+2=(x-l)(x—2).

圖1.2—1圖1.2—2圖1.2—3圖1.2—4

說明：今后在分解與本例類似的二次三項(xiàng)式時，可以直接將圖1.2-1中的兩個尤用1來表示(如

圖1.2—2所示).

(2)由圖1.2-3,得

f+4x—12=(x—2)(x+6).

(3)由圖1.2-4,得

%2-(42+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)x~1

yKi

(4)xy-l+x-y=xy+(x—y)-l圖］

=(x—l)(y+l)(如圖1.2—5所示).

練習(xí)1、把下列各式分解因式：

(1)+5x-6—o

(2)x~—5x+6=o

(3)x2+5x+6=o

(4)-5x-6=o

(5)x~-(a+1+a=o

(6)_1lx+18=o

(7)6Y+7x+2=o

2

(8)4m-12m+9=o

(9)5+7x-6廠=o

(10)12x2+xy-6y2=°

2、-4-x+=(x+3)(x+)

3、若%2+依+〃=(1+2)(工一4)則〃=,h=o

2.提取公因式法

例2分解因式：

(1)ci~(/?—5)+ci(5—h)(2)+9+3x^4-3x

解：(1).0—5)+a(5—/?)=aS—5)(。一1)

(2)x34-9+3X2+3X=(x3+3x2)+(3x+9)=x2(x+3)+3(x+3)

=(x+3)，+3).

或

X3+9+3X2+3X=(X3+3X2+3X+1)+8=(X+1)3+8=(X4-1)3+23

=[(X+1)+2][(X+1)2-(X+1)X2+22]

=(X+3)(X2+3)

練習(xí)：

一、填空題：

1、多項(xiàng)式6工2y一2芍2+4盯z中各項(xiàng)的公因式是o

2、“1—>)+心_+(1一').

3、m(x-yf+n(y-x)2=(x-y)2?―。

4、—y-z)+〃(y+z—x)=(1_y_z)?。

5、iv\x-y-z)-xy+z=(x-y-。

6、—13ab~%6—分解因式得。

7.計算99?+99=

3.公式法

例3分解因式：(1)一。，+16(2)(3x+2y)2-(x-y)2

解：⑴一。4+16=4?—(/)2=(4+/)(4—。2)=(4+4)(2+。)(2—a)

(2)(3冗+2y)2——,J=(3x+2y+x-y)(3x+2y—1+y)=(4x+y)(2x+3y)

練習(xí)

1a?-2ab+b2,Q2一—J)，的公因式是。

2、一9("Z—〃)2+(m+〃)23、3x2—

4、4-(x2-4x4-2)^5、x4-2x2+1

4.分組分解法

例4(1)x2-xy^3y-3x(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6.

(2)2x~+xy—y~—4x+5y—6=+(y—4)x—y~+5y—6

=2x2+(y-4)x-(^-2)(y-3)=(2x-y+2)(x+y-3).

或

2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6

=(2x-y)(x+y)—(4x—5y)—6

二(2x-y+2)(x+y-3).

練習(xí)：用分組分解法分解多項(xiàng)式（1）x2-y2+a2-h2+2ax-^2by

(2)ci~—4-cib+4Z?2—6a+12b+9

習(xí)題1.4

1.選擇題:

多項(xiàng)式2f一孫—15>2的一個因式為)

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)JC2+6X+8；(2)8a3-*3；

(3)%2—2A—1；⑷4(x-y+l)+y(y-2x).

3.分解因式：

(1)a3+l；(2)4X4-13X2+9；

(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3x?+5盯一2y2+x+9y-4.

4.分解因式：x2+x—(a2-a).

習(xí)題1.1.絕對值

1.(1)±5；±4(2)±4；一1或32.D3.3x—18

習(xí)題1.2.乘法公式

1.(1)—a—b(2)一,一(3)4ab-2ac—4bc

3224

2.(1)D(2)A

習(xí)題1.3.二次根式

1.(1)V3-2(2)3<x<5(3)-876(4)75.

2.C3.>

4.x=2+省=(2:=7+4>/3,y=7-4后=>x+y=14,肛=1

2-7322-3

原式=(x+y)(x2-Ay+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy]=14(142-3)=2702

1.4分解因式

1.B

2.(1)(x+2)(x+4)(2)(2a-b)(4a2+2ab+b2)

(3)(X-1-V2)(X-1+A/2)(4)(2-y)(2x-y+2).

3.(1)(a+l)(a2-a+l)(2)(2x+3)(2x-3)(x+l)(x-l)

(3)(/?+<?)(〃+c+2a)(4)(3y-y+4)(x+2y-l)

4.(%—。+1)(1+。)

第二章函數(shù)與方程

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

我們知道，對于一元二次方程，/+公+。=0(?#)),用配方法可以將其變形為

b2-4ac

①

4a2

因?yàn)榇?,所以，4a2>0.于是

(1)當(dāng)始一4加>0時,方程①的右端是一個正數(shù),因此，原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

-b±\lb2-4ac

X],2=--------------------------;

2a

(2)當(dāng)左一4ac=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實(shí)數(shù)根

b

X1=X2=---；

2a

(3)當(dāng)加一4acV0時，方程①的右端是一個負(fù)數(shù)，而方程①的左邊(x+2)2一定大于或等于零，因此，原方程

2a

沒有實(shí)數(shù)根.

由此可知，一元二次方程元+法+C=0(?#0)的根的情況可以由〃-4ac來判定，我們把"一4“c叫做一元二次

方程ax2+fec+c=0(存0)的根的判別式，通常用符號“A”來表示.

綜上所述，對于一■元二次方程ax2+bx+c=0(a河)，有

(1)當(dāng)A>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

-b+yjb2-4ac

X\,2=--------------；

2a

(2)當(dāng)A=0時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

b

Xl—X2~~---；

2a

(2)當(dāng)A<0時，方程沒有實(shí)數(shù)根.

【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù):

(1)2/—3x+l=0⑵4y?+9=12y(3)5(r+3)-6x=0

解：(1)△=(—3)2—4x2xl=l>0,原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.

(2)原方程可化為：4y2-12y+9=0

△=(—12)2—4x4x9=0,，原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根.

(3)原方程可化為：5f—6X+15=0

A=(-6)2-4x5x15=-264<0,A原方程沒有實(shí)數(shù)根.

說明：在求判斷式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式.

練習(xí)1：已知關(guān)于x的一元二次方程3/一2%+左=0,根據(jù)下列條件，分別求出人的范圍:

(1)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無實(shí)數(shù)根.

解：A=(-2)2-4x3xA:=4-12A:

(2)4-12攵=0=>Z=!；

(1)4—12k>0=>k<—；

33

(4)4-12攵<0=>Z>L

(3)4-12k>0=>k<-

3:3

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)

若一元二次方程辦2+云+c=0(屏0)有兩個實(shí)數(shù)根

-b+db~-4ac-b-1b~-4ac

,=--------------------

2a----~2a

則有

22

-b+y/b-4ac-b-y/b-4ac-2hb

%!+x

22a2a2aa

一〃+J/72-4〃C-b7b2-4acb2—(b1—4ac)4acc

中2=一^—=一薪—=『]

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

hc

如果以2+公+。=0(“#))的兩根分別是不，外，那么1+X2=-2，xrx2=-.這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理.

aa

特別地，對于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程/+川+4=0,若XI，X2是其兩根，由韋達(dá)定理可知

X|X2=-p,X)，X2=q，

即p=-(X]+l2)，[=X「X2，

所以，方程W+pAr+qn。可化為X2—(X|+x2)x+x\-X2=0,由于X|,尤2是一元二次方程x2+px+q=