初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 三角形的內(nèi)角

三角形的內(nèi)角在一個(gè)直角三角形里住著三個(gè)內(nèi)角，平時(shí)，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)?？墒怯幸惶欤隙蝗徊桓吲d，發(fā)起脾氣來(lái)，它指著老大說(shuō)：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行啊！”老大說(shuō)：“這是不可能的，否則，我們這個(gè)家就再也圍不起來(lái)了……”“為什么？”老二很納悶。同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？?jī)?nèi)角三兄弟之爭(zhēng)（1）理解并會(huì)證明三角形的內(nèi)角和定理。（2）會(huì)正確運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理，解決求角有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題；

學(xué)習(xí)目標(biāo)1重點(diǎn)：1、能用多種方法證明三角形內(nèi)角和定理2、會(huì)在證明中添加合適的輔助線(xiàn)。如下圖所示是我們常用的三角板,它們的三個(gè)角之和為多少度?想一想:任意三角形的三個(gè)內(nèi)角之和也為180度嗎?30+60+90=18045+45+90=180思考與探索把三個(gè)角拼在一起試試看三角形的內(nèi)角和是180度。方法一：ABC演示下一頁(yè)123方法二:將各角沿著一邊所在的直線(xiàn)折疊

如果△ABC是畫(huà)在一塊不能分割的平面上，如在黑板上，這時(shí)就不可能做到把∠A、∠B撕下來(lái)再分別放在∠1、∠2的位置上，那么又如何論證∠A+∠B+∠C=180゜呢？21FDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長(zhǎng)BC到D，過(guò)C作CF∥BA，∴∠A=∠1(兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∠B=∠2(兩直線(xiàn)平行，同位角相等)∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°證法一(等量代換)F21ECBA三角形的內(nèi)角和等于1800.過(guò)A作EF∥BC，∴∠B=∠2(兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠C=∠1(兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°證法二(等量代換)CBEA三角形的內(nèi)角和等于1800.過(guò)A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE(兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(兩直線(xiàn)平行,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ))∴∠B+∠C+∠BAC=180°證法三(等量代換)

在這里，為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫(huà)的線(xiàn)叫做輔助線(xiàn)。在平面幾何里，輔助線(xiàn)通常畫(huà)成虛線(xiàn)。

為了證明三個(gè)角的和為1800,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ),這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.思路總結(jié)三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于1800.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:3:5，求這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。解：設(shè)三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為：x、3x、5x,由三角形內(nèi)角和為180°得x+3x+5x=180°解得x=20°所以三個(gè)內(nèi)角度數(shù)分別為20°,60°,100°。定理應(yīng)用

三角形的三內(nèi)角和是180o

，所以三內(nèi)角可能出現(xiàn)的情況：一個(gè)鈍角兩個(gè)銳角鈍角三角形銳角三角形一個(gè)直角兩個(gè)銳角直角三角形三個(gè)都為銳角鈍角三角形直角三角形銳角三角形再見(jiàn)（1）在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°∠C=.（2）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4則∠A=___∠B=

∠C=.

（3）∠A：∠B：∠C=3：2：1，問(wèn)△ABC是___三角形.（4）∠A－∠C=35°∠B－∠C=10°，則∠B=？（5）一個(gè)三角形中最多有

個(gè)直角，最多有___

個(gè)鈍角，最多有__個(gè)銳角，至少有

個(gè)銳角。（6）任意一個(gè)三角形中,最大的一個(gè)角的度數(shù)至少為

.應(yīng)用新知7.在△ABC中，若∠A+∠B=2∠C，則∠C=

。8.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,則△ABC是（）9、如圖：∠α=

。320440α480ABC已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A,BD是AC邊上的高，求∠DBC的度數(shù)。D解：設(shè)∠A＝x0，則∠ABC＝∠C＝2x0∴x＋2x＋2x＝180（三角形內(nèi)角和定理）解得x＝36∴∠C＝2×360＝720∴∠DBC＝1800－900－720（三角形內(nèi)角和定理）在△BDC中，∵∠BDC＝900(三角形高的定義）∴∠DBC＝180?例題講解1如圖,C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向。求下面各題.（1）∠DAC＝_____∠DAB＝______∠EBC＝_______∠CAB＝______A(2)從C島看A、B兩島的視角∠C是多少?50°80°40°DBCE北北解：∵AD∥BE∴∠DAB﹢∠ABE＝180°∴∠ABE

＝180°－∠DAB

＝180°－80°＝100°

在△ABC中,∠C

＝180°－∠CAB－∠ABC＝180°－30°－60°＝90°∴

∠ABC＝∠ABE﹣∠CBE30°＝100°﹣40°＝60°例題講解2方法一DCE北A50°∟B40°北MN在△AMC中∠AMC=90°,∠MAC=50°解：過(guò)點(diǎn)C畫(huà)MN⊥AD分別交AD、BE于點(diǎn)M、N12方法二∴∠1=180°-90°-50°=40°∵AD∥BE∴∠AMC+∠BNC=180°∴∠BNC=90°同理得∠2=50°∴∠ACB=180°-∠1-∠2=180°-40°-50°=90°BDCE北A

你能想出一個(gè)更簡(jiǎn)捷的方法來(lái)求∠C的度數(shù)嗎？1250°40°解：過(guò)點(diǎn)C畫(huà)CF∥AD∴∠1＝∠DAC＝50°,F∵CF∥AD,又AD∥BE∴CF∥BE∴∠2＝∠CBE＝40°∴∠ACB＝∠1﹢∠2＝50°﹢40°＝90°方法三解：在△ACD中∠CAD＝30°∠D＝90°DABC∴∠ACD=180°-30°-90°=60°在△BCD中∠CBD=45°∠D＝90°∴∠BCD=180°-90°-45°=45°∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=60°-45°=15°鞏固練習(xí)1.如圖,從A處觀測(cè)C處時(shí)仰角∠CAD＝30°,從B處觀測(cè)C處時(shí)仰角∠CBD＝45°.從C處觀測(cè)A、B兩處時(shí)視角∠ACB是多少?2.如圖,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊形狀完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是()(A)帶①去(B)帶②去(C)帶③去(D)帶①和②去C鞏固練習(xí)3.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,則△ABC是()A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形4.一個(gè)三角形至少有（）

A、一個(gè)銳角B、兩個(gè)銳角

C、一個(gè)鈍角D、一個(gè)直角BB鞏固練習(xí)5.如圖△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠A＝70°,∠ADE＝50°,求∠BDC的度數(shù).ABCDE解:∵∠A＝70°

∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°∵DE//BC∴∠B=∠ADE＝50°∵CD平分∠ACB鞏固練習(xí)證明：∵DE∥BC（已知）∴∠AED=∠C（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）∵∠C=700（已知）∴∠AED=700

（等量代換）∵∠A+∠AED+∠ADE=1800（三角形的內(nèi)角和定理）∠A=600（已知）∴∠ADE=1800—600—700=500（等量代換）即∠ADE=500DCBAE（第1題）6、已知:如圖在△ABC中，DE∥BC,∠A=600,∠C=700.

求證：∠ADE=5007、如圖，直線(xiàn)AB∥CD,在AB、CD外有一點(diǎn)P，連結(jié)

PB、PD，交CD于E點(diǎn)。則∠B、∠D、∠P之間是否存在一定的大小關(guān)系？ABCPDE他們是怎樣的，并加以證明？甲樓高16米,乙樓座落在甲樓的正北面,已知當(dāng)?shù)囟林形?2點(diǎn),太陽(yáng)光線(xiàn)與水平面夾角為450,如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上,那么兩樓的距離應(yīng)是多少？甲乙16米450？45016米解:由題意知ABC∴BC=AB=16答:兩樓的距離是16米.拓展與思考12、在△ＡＢＣ中，如果∠Ａ=∠B=∠C，那么△ＡＢＣ是什么三角形？解:設(shè)∠A=x°,那么∠B=2x°,∠C=3x°根據(jù)題意得: