壽險(xiǎn)精算課件

壽險(xiǎn)精算第一課壽險(xiǎn)精算概述保險(xiǎn)專業(yè)本科生課程一.精算的概念精算的定義：一般地說法是，利用數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、壽險(xiǎn)、非壽險(xiǎn)、人口學(xué)、養(yǎng)老基金、投資等理論，對(duì)金融、投資等行業(yè)中的風(fēng)險(xiǎn)問題提出數(shù)量化意見，使未來價(jià)值的可能性數(shù)量化。精算工作主要是由精算師承擔(dān)的。一.精算的概念精算師的作用：“在給金融投資等問題提供專家的、恰如其分的解答方面，尤其是解釋不確定的未來事件方面，發(fā)揮精算行業(yè)的作用並提高它的聲譽(yù)。”

——摘自英國精算行業(yè)業(yè)務(wù)報(bào)告

金融問題不確定的未來的精算面對(duì)的是“金融”問題。從非常簡(jiǎn)單的問題，如確定在一項(xiàng)抵押下每月的投資是多少，到非常複雜的問題，如管理一項(xiàng)大的養(yǎng)老基金，等精算的研究對(duì)象是“不確定性”。說明金融行為不確定性的一個(gè)很好的例子就是保險(xiǎn)合同。在投保車輛盜竊險(xiǎn)時(shí)，一輛超豪華轎車的擁有者，與一輛普通的舊車車主相比較，應(yīng)交多少保費(fèi)呢？哪一輛將被偷是不確定的，但是研究一下這兩種車過去被盜竊的規(guī)律，精算師就可以為每一種確定一個(gè)合適的保費(fèi)。精算是針對(duì)“未來的”。例如，個(gè)人養(yǎng)老基金問題，這是一筆很大的資產(chǎn)，它為特定的一些人提供將來的養(yǎng)老金。常常必須要為那些現(xiàn)在還很年輕的人提供退休養(yǎng)老金。所以，養(yǎng)老基金的管理者們必須考察下麵兩個(gè)問題：一是這些資產(chǎn)在三四十年或更長(zhǎng)的時(shí)間裏的價(jià)值是什麼，二是養(yǎng)老金領(lǐng)取者活著並領(lǐng)取養(yǎng)老金的時(shí)間多長(zhǎng)。

壽險(xiǎn)精算涉及到的不確定性往往持續(xù)很長(zhǎng)的時(shí)間。例如：壽險(xiǎn)合約可能有10年、20年、30年或更長(zhǎng)的期限。精算師關(guān)心的是在這些投保期限中被保險(xiǎn)人死亡的風(fēng)險(xiǎn)。養(yǎng)老金基金可能會(huì)有義務(wù)對(duì)一個(gè)20歲的青年支付未來幾十年的養(yǎng)老金。它要確保將基金進(jìn)行安全的投資，並在需要的時(shí)候立即供款。但是投資所能獲得的未來利息收入是不確定的。在決定養(yǎng)老金的金額時(shí)，精算師必須對(duì)一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)的這種不確定的利息做出估計(jì)。一個(gè)設(shè)計(jì)未來幾十年人口模型的精算師必須考慮到以後30到40年間出生、死亡、結(jié)婚、離婚等等的變化，包括隨著社會(huì)的發(fā)展這些變數(shù)的變化。二.本課程的研究?jī)?nèi)容和主要組成主要研究：壽險(xiǎn)所承保標(biāo)的的出險(xiǎn)規(guī)律壽險(xiǎn)產(chǎn)品承諾的給付或賠付的精算現(xiàn)值躉繳和分期繳付的淨(jìng)保費(fèi)保單價(jià)值與責(zé)任準(zhǔn)備金的提存等

二.本課程的研究?jī)?nèi)容和主要組成主要組成部分：利息理論生命表保費(fèi)厘定保單價(jià)值和準(zhǔn)備金利潤測(cè)算三.利息理論利率是重要的經(jīng)濟(jì)杠桿之一，它無時(shí)無刻不在影響著人們的投資行為和消費(fèi)行為，進(jìn)而影響著國民經(jīng)濟(jì)的整體運(yùn)行。利率也是我們最為熟悉的經(jīng)濟(jì)變數(shù)之一。本課將要探討的主要內(nèi)容就是與利率和利息有關(guān)的理論及應(yīng)用問題。利息理論雖然是保險(xiǎn)精算專業(yè)的基礎(chǔ)，但它所提供的方法具有極為廣泛的適用性，其應(yīng)用範(fàn)圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了保險(xiǎn)精算領(lǐng)域，在投資分析、財(cái)務(wù)管理等方面都很有參考價(jià)值。利息理論的內(nèi)容主要包括：利息的度量方法基本的複利函數(shù)，例如年金現(xiàn)值等。

利息理論在投資分析和財(cái)務(wù)管理等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，還包括投資收益分析、債務(wù)償還方法、證券價(jià)值分析、利率風(fēng)險(xiǎn)的度量和防範(fàn)。可以回答以下問題：複利產(chǎn)生的利息是否總是大於單利產(chǎn)生的利息？如果複利在一年之內(nèi)的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)不斷增加，甚至連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息時(shí)，複利的利息會(huì)發(fā)生怎樣的變化？計(jì)算現(xiàn)值時(shí)的利率是否就是貼現(xiàn)率？利率與貼現(xiàn)率的關(guān)係如何？在分期付款時(shí)，借款人在每次付款中的本金和利息分別是多少？它們具有什麼規(guī)律？如何計(jì)算借款人的貸款餘額？

債券如何定價(jià)？等等四.生命表生命表（Lifetable）又稱生命表（mortalitytable），它是根據(jù)一定時(shí)期的特定國家（或地區(qū)）或特定人口群體（如壽險(xiǎn)公司的全體被保險(xiǎn)人、某企業(yè)的全體員工）的有關(guān)生存狀況統(tǒng)計(jì)資料，編制成的統(tǒng)計(jì)表。通過生命表可以得到任意年齡的人在任何期限內(nèi)的生存概率、死亡概率等相關(guān)數(shù)據(jù)。生命表在有關(guān)人口的理論研究、某地區(qū)或某人口群體的新增人口與全體人口的測(cè)算、社會(huì)經(jīng)濟(jì)政策的制定、壽險(xiǎn)公司的保險(xiǎn)費(fèi)及責(zé)任準(zhǔn)備金的計(jì)算等方面都有著極為重要的作用。不同的人會(huì)死於不同的年齡，但是通過對(duì)大量的人死亡的年齡了研究之後，精算師就能估計(jì)出同樣年齡的一大群人中有多少會(huì)在20年之內(nèi)死亡，或者在另一個(gè)期間內(nèi)死亡。對(duì)於給定了年齡的一組人，計(jì)算他們的生命平均起來將在多少年內(nèi)結(jié)束是能夠做到的，這就是“生命的平均期望值”。這些數(shù)據(jù)對(duì)決策工作是至關(guān)重要的。壽險(xiǎn)公司可以根據(jù)產(chǎn)品的不同、地域的不同、受保人群的不同、公司核保技術(shù)的不同或者市場(chǎng)策略的需要，採用不同的生命表。生命表舉例生命表的思想和方法可以用於許多領(lǐng)域五.保費(fèi)厘定壽險(xiǎn)定價(jià)的三要素：利率、死亡率、費(fèi)用率。毛保費(fèi)＝淨(jìng)保費(fèi)＋費(fèi)用保單中淨(jìng)保費(fèi)的計(jì)算可從下麵的淨(jìng)保費(fèi)價(jià)值方程中得出：

淨(jìng)保費(fèi)收入的期望現(xiàn)值＝保險(xiǎn)給付支出的期望現(xiàn)值對(duì)躉繳保費(fèi)的保單，保費(fèi)收入是確定的。而有些保單，其保費(fèi)的繳納不是採用期初躉繳的形式，而是在一段時(shí)間裏多次繳納，具體的某筆保費(fèi)繳納與否取決於被保險(xiǎn)人是否處於生存正態(tài)，也就是說，壽險(xiǎn)公司的保費(fèi)收入取決於被保險(xiǎn)人的未來生存時(shí)間，保費(fèi)收入的現(xiàn)值和保險(xiǎn)給付支出的現(xiàn)值都是隨機(jī)變數(shù)，但保費(fèi)的大小不是隨機(jī)變數(shù)，是預(yù)期現(xiàn)值的函數(shù)。為了解這個(gè)方程，我們要假定被保險(xiǎn)人的死亡率和未來可實(shí)現(xiàn)利率的值。定價(jià)基礎(chǔ)最終決定壽險(xiǎn)公司銷售保單的效益。如果公司保費(fèi)收取不足，就會(huì)造成虧損。因此，探討實(shí)際情況與定價(jià)基礎(chǔ)不符的影響，是非常重要的；如果將來實(shí)際情況比定價(jià)基礎(chǔ)中的設(shè)定情況好（假定按定價(jià)基礎(chǔ)設(shè)定情況所計(jì)算的保費(fèi)是適應(yīng)市場(chǎng)銷售的），毫無疑問，這會(huì)增加公司的利潤。然而，如果實(shí)際情況較差，公司會(huì)陷入嚴(yán)峻的財(cái)務(wù)危機(jī)。六.保單價(jià)值和準(zhǔn)備金壽險(xiǎn)保單的預(yù)期保單價(jià)值定義為：未來支出的預(yù)期現(xiàn)值—

未來收入的預(yù)期現(xiàn)值通常，支出是指在生命保險(xiǎn)或生命年金形式下的保險(xiǎn)給付和將發(fā)生的費(fèi)用，而收入是指被保險(xiǎn)人所要交的保費(fèi)。事實(shí)上，從直觀上看，預(yù)期保單價(jià)值是壽險(xiǎn)公司在允許有未來保費(fèi)收入的情況下，為應(yīng)付保單所約定的未來保險(xiǎn)給付而通過安全投資來儲(chǔ)備的資金金額。我們常常把保單價(jià)值用做衡量壽險(xiǎn)公司償付能力的尺度，這就是保單價(jià)值的重要性。在實(shí)際中，當(dāng)計(jì)算了公司所有有效的保單價(jià)值之後，必須檢查公司是否有至少等於全部保單價(jià)值的資金。假定有這筆錢，就要設(shè)立金額等於保單價(jià)值的準(zhǔn)備金，並且，除了支付保險(xiǎn)給付之外，不能挪做它用。保單準(zhǔn)備金是與保單價(jià)值相同金額的，為將來的賠付或返還而儲(chǔ)備的款項(xiàng)。估價(jià)基礎(chǔ)並不影響公司實(shí)際利潤等經(jīng)營情況——死亡率、費(fèi)用、利率等都不受其影響我們不能認(rèn)為估價(jià)基礎(chǔ)會(huì)以某種方式影響公司的財(cái)務(wù)狀況，精算師對(duì)壽險(xiǎn)公司的估價(jià)，是以精算師之見估計(jì)公司應(yīng)提存多少準(zhǔn)備金及公司是否有足夠資產(chǎn)建立這筆準(zhǔn)備金。這些準(zhǔn)備金是否充足，只能在將來實(shí)際經(jīng)營中驗(yàn)證，準(zhǔn)備金是否充足的問題並不是直接由估價(jià)決定的。七.利潤測(cè)算

公司預(yù)期年末淨(jìng)現(xiàn)金流量總額，也就是每年收入與支出之間的差額。考慮到保單的長(zhǎng)期性，其每年的利潤測(cè)算應(yīng)該是在做了必要的準(zhǔn)備金扣除之後的預(yù)期淨(jìng)現(xiàn)金流量。每年年初我們將建立的準(zhǔn)備金作為資產(chǎn)，將在該年獲得利息，這利息將作為利潤收入計(jì)入現(xiàn)金流量。在來年年底通過考慮當(dāng)時(shí)的有效保單的保單價(jià)值，在該年年底建立新的準(zhǔn)備金。這就意味著每年年底的準(zhǔn)備金將有所變化。這種變化將產(chǎn)生新的現(xiàn)金流量。如果來年所需的準(zhǔn)備金數(shù)額增加了，那麼該項(xiàng)現(xiàn)金流量顯然為負(fù)值，否則就為正值。我們可以用不同的計(jì)算基礎(chǔ)重複進(jìn)行利潤測(cè)試。我們要格外注意利潤預(yù)期對(duì)不同計(jì)算基礎(chǔ)的敏感程度。為此，我們把這個(gè)過程稱為敏感性分析。例如，我們會(huì)注意一個(gè)兩全保險(xiǎn)的利潤對(duì)不同利率的敏感程度——我們知道利率對(duì)兩全保險(xiǎn)是很重要的，因?yàn)樘岽娴拇罅繙?zhǔn)備金所生成的利息額取決於利率；我們也會(huì)注意定期壽險(xiǎn)下利潤對(duì)不同的死亡率的敏感程度，因?yàn)槲覀冎浪劳雎蕦?duì)定期壽險(xiǎn)的利潤關(guān)係重大，利潤測(cè)試的工作須經(jīng)過合理的敏感性分析才算完成。實(shí)例第一章利息與現(xiàn)金流量

第一章利息與現(xiàn)金流量

主要包括以下內(nèi)容：利息現(xiàn)金流量利率、終值與現(xiàn)值利息力現(xiàn)金流量的現(xiàn)值利息收入固定利率名義利率與名義貼現(xiàn)率價(jià)值方程和交易收益率第一節(jié)利息

利息與利率單利複利

利息與利率

利息(interest)指借用某種資本(capital)的代價(jià)或借出某種資本的報(bào)酬。即借債人除償還出借人(放款人)原來出借的資本外，還要支付一個(gè)附加的補(bǔ)償，這個(gè)補(bǔ)償叫做利息。單位本金在單位時(shí)間（一個(gè)計(jì)息期）所獲得的利息即效用利率(effectiverateofinterest)，又稱實(shí)際利率，簡(jiǎn)稱為利率。單利假定一個(gè)單位本金的投資在每一個(gè)單位時(shí)間所得的利息是相等的，而利息並不用於再投資。按這種形式增長(zhǎng)的利息稱為單利。如果一位投資者把總額為C的本金存入單利為i的帳戶(這期間沒有其他存款和提款)那麼，n年以後可得的利息為第n年末的本利和，則

複利

複利就是假定每個(gè)計(jì)息期所得的利息可以自動(dòng)地轉(zhuǎn)成投資(本金)以在下一個(gè)計(jì)息期賺取利息一般地，如果將本金C存入複利為i的帳戶，我們假定之後沒有對(duì)該帳戶的存款和提款，設(shè)表示第n年末的本利和，那麼，第n＋1年的利息為

則第n＋1年末的本利和為

複利第二節(jié)現(xiàn)金流量

精算師在實(shí)際工作中經(jīng)常涉及到對(duì)各種現(xiàn)金流量(cashflows)的管理，現(xiàn)金流量就是在不同時(shí)期支出或收入的資金金額。例如，一家保險(xiǎn)公司會(huì)得到保費(fèi)和投資收入，並支出理賠和支付管理費(fèi)用。從公司的角度，我們把保費(fèi)和投資收入看作是具有正值的現(xiàn)金流量(指獲得的資金)，而理賠和管理費(fèi)用的支出看作是負(fù)值的現(xiàn)金流量(指支出的資金)。主要包括以下內(nèi)容：一、償債抵押二、無息債券三、固定利息債券四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券五、基本人壽保險(xiǎn)一、償債抵押假設(shè)一個(gè)人為了買一所房子，想從建設(shè)銀行或一家其他銀行借一筆錢。銀行可能會(huì)與他簽訂一個(gè)貸款合同，根據(jù)合同，借款者在每月月末支付一系列款項(xiàng)，一直到償還完全部貸款為止。獲準(zhǔn)用貸款購買的房地產(chǎn)通常作為該項(xiàng)貸款的抵押物。我們通常稱之為房屋抵押貸款。一、償債抵押例如，假設(shè)一家銀行準(zhǔn)備發(fā)放一筆80萬元的貸款，貸款分次償還，在20年內(nèi)每月償還5000元。從借款者的角度看，這項(xiàng)交易的現(xiàn)金流量如下所示：

注意，在上表中，時(shí)間是從貸款之日起按月計(jì)量的。二、無息債券

“無息債券”(zero-couponbond)是指這樣一種證券，它沒有固定的利息支付，而只是在未來的某一特定日期支付一筆約定的金額。例如，某種債券承諾在2010年10月1日支付給持有者70,000元，此外沒有其他支付，這種債券就是一種無息債券，假定在1998年10月1日這種債券的價(jià)格是35,160元，對(duì)於一個(gè)在這一天購買該債券的投資者來說，其現(xiàn)金流量如下所示：

三、固定利息債券政府或公司常常會(huì)通過發(fā)行債券的方式籌措資金，在許多情況下這種籌措資金以固定利息債券的形式出現(xiàn)，這種債券以某一個(gè)確定的名義金額的債券形式發(fā)行。最簡(jiǎn)單的是：債券持有者在未來某些特定時(shí)間將得到約定金額的一次總付款以及一系列約定的利息報(bào)酬。在一些國家裏政府發(fā)行的固定利息債券通常被稱為“金邊債券”或“金邊證券”(“giltedgedstocks”或“gilts”)。三、固定利息債券例如，一個(gè)票息為7.6%，2016年到期的財(cái)政債券，持有一張這種面額為1,000元的債券的人有以下權(quán)利：每年獲得76元的利息，利息在每年9月30日支付，直到2016年9月30日(包括這一天也支付利息)，並且在這一天償還本金1,000元。設(shè)想一名投資者在1998年9月30日以P元的價(jià)格購買了這樣一張債券(剛好在當(dāng)時(shí)到期的利息被支付以後)。如果該投資者不必納稅並且持有該債券直至最後償付日(而不是在早一些時(shí)候賣出)，他這項(xiàng)交易的現(xiàn)金流量如下表1－3所示：

三、固定利息債券如果在上例中，利息改為分期支付，每半年支付一次(每次金額為38元)，利息在每年3月31日和9月30日支付，直到2016年9月30日(包括這一天也支付利息)，則他這項(xiàng)交易的現(xiàn)金流量如表1－4所示：

表1－4

四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券

傳統(tǒng)的固定利息債券每期的利息支付都是同樣的金額。如果經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的通貨膨脹得不到控制，隨著時(shí)間的流逝，一定金額的貨幣的購買力會(huì)減少，尤其當(dāng)通貨膨脹率高時(shí)效果更為明顯。由於這種原因，一些投資人被這樣一種證券所吸引，這種證券的利息支付和最終本金返還的實(shí)際現(xiàn)金量是與一種反映通貨膨脹影響的適當(dāng)?shù)闹笖?shù)相關(guān)聯(lián)的。最主要的這種指數(shù)是零售物價(jià)指數(shù)(retailpricesindex)或簡(jiǎn)稱為RPI。該指數(shù)的值每月公佈，有時(shí)要調(diào)整基準(zhǔn)。例如英國的指數(shù)是以1987年1月為100作為基準(zhǔn)的。8年以後的1995年1月，該指數(shù)值為146.0，從1987年1月至1995年1月，該指數(shù)和年平均增長(zhǎng)率為4.844%。本書對(duì)指數(shù)關(guān)聯(lián)證券的不做詳細(xì)討論，但是，我們值得注意的是英國政府於1975年6月發(fā)行了指數(shù)關(guān)聯(lián)國民儲(chǔ)蓄存單(index-linkednationalsavingscertifiecates)並於1981年3月首次發(fā)行了指數(shù)關(guān)聯(lián)債券。四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券五、基本人壽保險(xiǎn)

（一）定期壽險(xiǎn)保單

◆定期壽險(xiǎn)保單是這樣一種合同；當(dāng)保單持有人(即投保人)在保單規(guī)定期限內(nèi)死亡時(shí)，壽險(xiǎn)公司一次性給付一筆保險(xiǎn)金(sumassured)，這種保單的期限可能會(huì)很長(zhǎng)(例如20年)，也可能會(huì)較短(例如一年甚至更短)。

◆定期壽險(xiǎn)保單通常以每年支付一定保費(fèi)的方式購買，保費(fèi)通常(但不是必須)是固定金額。年保費(fèi)通常在保單期限內(nèi)的每年年初支付，直到被保險(xiǎn)人死亡終止或期滿，但是，偶爾保費(fèi)也可能在較短一些的時(shí)期裏付清或者可以用單獨(dú)一筆保費(fèi)購買保單（稱為躉繳保費(fèi)）。五、基本人壽保險(xiǎn)（一）定期壽險(xiǎn)保單

◆例如，考慮如下這個(gè)期限為15年的定期壽險(xiǎn)保單，保險(xiǎn)金額為1,000,000元，每年初支付保費(fèi)2,000元，保險(xiǎn)金在死亡之年年末給付(在保單期限內(nèi))。這裏的保費(fèi)金額相對(duì)較小，它反映出保單持有人的年齡較小以及相應(yīng)的死亡風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)低。

◆如果保單持有人在投保第九年死亡，那麼從人壽保險(xiǎn)公司的角度看，該保單能夠提供九次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，分別在0，1，2，…8時(shí)刻(從開始投保起按年計(jì))，每次金額為2,000元，該保單在時(shí)刻9發(fā)生一次負(fù)值的現(xiàn)金流量(金額為－1,000,000元)。但是，如果保單持有人在保單期限內(nèi)沒有死亡，人壽保險(xiǎn)公司將獲得每次金額為2,000元的15次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，並且不必返還任何款項(xiàng)。五、基本人壽保險(xiǎn)（二）兩全保險(xiǎn)保單兩全保險(xiǎn)保單是這樣一種合同：當(dāng)被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡時(shí)，或在保險(xiǎn)期滿時(shí)他還活著，壽險(xiǎn)公司一次性給付一筆保險(xiǎn)金。這種保單經(jīng)常以每年預(yù)付一定水準(zhǔn)的保費(fèi)的方式購買、在被保險(xiǎn)人死亡時(shí)或在保單期滿時(shí)終止?？紤]如下這個(gè)期限為15年的兩全保險(xiǎn)保單，投保金額為1,000,000元，每年初支付保費(fèi)58,000元，應(yīng)付死亡保險(xiǎn)金在死亡之年年末支付。對(duì)於該保單來說，如果保單持有人在投保第九年死亡，那麼從人壽保險(xiǎn)公司的角度看，該保單能夠提供九次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，分別在0，1，2，…，8時(shí)刻；以及在時(shí)刻9的一次數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量(金額為－1,000,000元)。如果保單持有人在保單期限內(nèi)沒有死亡，人壽保險(xiǎn)公司將獲得15次每次金額為58,000元的數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量(在0，1，2，…，9時(shí)刻)以及在時(shí)刻10的一次數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量(金額為－1,000,000元)。五、基本人壽保險(xiǎn)（三）年金保單兩全保險(xiǎn)金是一次性地給付一筆保險(xiǎn)金。年金保單是給付一系列有規(guī)律的返還款項(xiàng)作為保險(xiǎn)金，年金給付的確切條件有明確的規(guī)定。最簡(jiǎn)單的年金可能是這樣：在保單持有人生存期間，每年年末給付一定的水準(zhǔn)的款項(xiàng)，假如，設(shè)想現(xiàn)在發(fā)行一種為年齡60歲的女性準(zhǔn)備的保單，人壽保險(xiǎn)公司一次性收取100，000元的保費(fèi)，在保單持有人生存期間每年年末付9，400元。如果保單持有人在保單第t年死亡(即在6和7時(shí)刻之間死亡，時(shí)間是從發(fā)行保單之日起按年計(jì)算)，人壽保險(xiǎn)公司的該合同的現(xiàn)金流量將包括在時(shí)刻0的一筆數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量(100，000元)和以後的在1，2，3，…6時(shí)刻的數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量(每次－9，400元)，但是如果保單持有人在保單生效後一年內(nèi)死亡，人壽保險(xiǎn)公司，無論怎樣都不會(huì)發(fā)生數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量。還存在其他種類的年金保險(xiǎn)合同，例如，保單條款可能會(huì)規(guī)定在保單持有人生存期間每年年末給付年金，但是給付次數(shù)有一個(gè)總的上限。這種保單被稱為定期生命年金。第三節(jié)利率、終值與現(xiàn)值一、實(shí)際利率與名義利率的含義 二、終值 三、現(xiàn)值 一、實(shí)際利率與名義利率的含義

（一）實(shí)際利率我們考慮一種投資，其本金和利息在固定期限的期末支付，沒有期中支付的任何數(shù)額的利息和本金。在討論利息問題中時(shí)間單位是個(gè)重要的概念，它可能是1個(gè)月或1年，在實(shí)踐中較常用的是一年，然而，在某些情況下，選擇一個(gè)其他的時(shí)間單位(例如6個(gè)月)也可能會(huì)簡(jiǎn)化問題。設(shè)想一個(gè)從t時(shí)刻開始，期限為1時(shí)間單位的金額為1元的投資，假設(shè)在t

＋1時(shí)刻返還1＋i(t)，i(t)即前面提到的該時(shí)期的實(shí)際利率(effectiverateofinterest)，稱為實(shí)際利率是為了把它同下麵將討論的名義利率表面利率區(qū)分開來(ratesofnorminalorflatinterest)。如果假定利率不取決於投資的金額，那麼在t時(shí)刻的投資C在t

＋1時(shí)刻返還的現(xiàn)金是C［1＋

i(t)］。容易看出，C從時(shí)刻0到時(shí)刻n(n是整個(gè)正整數(shù))的本利總和為：一、實(shí)際利率與名義利率的含義（一）實(shí)際利率一、實(shí)際利率與名義利率的含義（二）名義利率

名義利率是相對(duì)於實(shí)際利率而言的。我們通過一個(gè)例子來說明名義利率的概念。

一、實(shí)際利率與名義利率的含義（二）名義利率二、終值

在一定的利率情況下，一筆款項(xiàng)A經(jīng)過K個(gè)時(shí)間單位後，其本利和成為B，我們稱B為A經(jīng)過K個(gè)時(shí)間單位後的終值，A為B在K個(gè)時(shí)間單位前的現(xiàn)值。以計(jì)息期為一年的情況來說，假定各年的利率水準(zhǔn)是不變的，初始時(shí)的1元到了1年後變成了（1＋i）元，

2年後變成了（1＋i）2，我們稱（1＋i）為1元錢在1年後的終值，稱（1＋i）2為1元錢在2年後的終值。例如，年利率為5%時(shí)，1元錢在1年後的終值為1.05元（圖1－1），12年後的終值為（1＋0.05）12=1.79586元（圖1－2）。一般地，1元經(jīng)過n年後變成了（1＋i）n，C元經(jīng)過n年後變成了元，我們稱（1＋i）n為1元錢在n年後的終值，稱C（1＋i）n為C元錢n年後的終值。

二、終值三、現(xiàn)值

三、現(xiàn)值第四節(jié)利息力

一、利息力與終值函數(shù) 二、利息力與現(xiàn)值函數(shù) 一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)二、利息力與現(xiàn)值函數(shù)

二、利息力與現(xiàn)值函數(shù)第五節(jié)現(xiàn)金流量的現(xiàn)值一、離散的現(xiàn)金流量 二、連續(xù)的現(xiàn)金流量 三、現(xiàn)金流量的估值 一、離散的現(xiàn)金流量二、連續(xù)的現(xiàn)金流量

二、連續(xù)的現(xiàn)金流量二、連續(xù)的現(xiàn)金流量到此為止，我們假定所有的支付，不論是離散的，還是連續(xù)的，都是正值，如果某人有一系列的收入款項(xiàng)(可以把它看作是正值)以及一系列的支出款項(xiàng)(可以看作是負(fù)值)，則它們的淨(jìng)現(xiàn)值(netpresentvalue)被定義為數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量總和與數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量總和的差。三、現(xiàn)金流量的估值

三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值第六節(jié)利息收入

考慮這樣一位投資者，他不希望擴(kuò)大本金，但是想獲得一種收入，同時(shí)保持他的本金固定在數(shù)額C上，如果利率固定為每單位時(shí)間i，並且投資者希望在每單位時(shí)間末端獲得利息收入，很顯然，他的收入將是在每個(gè)單位時(shí)間末端的iC，直至他提取了本金。第六節(jié)利息收入第六節(jié)利息收入第六節(jié)利息收入第七節(jié)固定利率

第七節(jié)固定利率這樣，為了在時(shí)間1能夠得到1元的返還，投資者必須在時(shí)間0投入(1－d)元資金。這就相當(dāng)於1單位時(shí)間後到期的1元錢，在單位時(shí)間裏產(chǎn)生的利息為d。因此d被稱為單位時(shí)間貼現(xiàn)率。為了避免與名義貼現(xiàn)率混淆，d有時(shí)被稱為單位時(shí)間實(shí)際貼現(xiàn)率。我們舉例來說明貼現(xiàn)率的概念。如果A有一張一年後到期的面額為100元的票據(jù)，他想立即到銀行兌現(xiàn)，銀行只給他兌現(xiàn)了90元，也就是說銀行扣去了10%，我們稱10%為實(shí)際貼現(xiàn)率，簡(jiǎn)稱貼現(xiàn)率。例如，某人以8%的實(shí)際貼現(xiàn)率向銀行貸款100元，銀行將先收取8元的利息而只給92元，一年後，他向銀行償還貸款100元。顯然，實(shí)際貼現(xiàn)率是在一年內(nèi)的利息量（或稱貼現(xiàn)量）與期末資金總額的比率。第七節(jié)固定利率第七節(jié)固定利率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率

第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率因此，如果採用一個(gè)四分之一年作為基礎(chǔ)時(shí)間單位，並且使用3%作為實(shí)際利率，則我們可以簡(jiǎn)單地估計(jì)未來的支付。也就是說，選擇與名義利率計(jì)息(轉(zhuǎn)換)頻率相符的期間為基本的時(shí)間單元，使用作為每單元時(shí)間的實(shí)際利率。例如，對(duì)於按月計(jì)息的年名義利率18%，我們便可以將一個(gè)月作為時(shí)間單位且1.5%作為每個(gè)時(shí)間單位的利率。第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第九節(jié)價(jià)值方程和交易收益率

第九節(jié)價(jià)值方程和交易收益率第九節(jié)價(jià)值方程和交易收益率第九節(jié)價(jià)值方程和交易收益率第九節(jié)價(jià)值方程和交易收益率第九節(jié)價(jià)值方程和交易收益率第九節(jié)價(jià)值方程和交易收益率第九節(jié)價(jià)值方程和交易收益率第二章確定年金第二章確定年金第一節(jié)年金的概念第二節(jié)確定年金的終值和現(xiàn)值第三節(jié)通用攤銷表第四節(jié)用年金償還貸款第五節(jié)支付頻率高於每單位時(shí)間1次的年金(每年支付多次)第六節(jié)支付頻率低於每單位時(shí)間1次的年金(多年支付1次)第七節(jié)連續(xù)年金第八節(jié)變動(dòng)年金第九節(jié)n不是整數(shù)時(shí)，的定義第一節(jié)年金的概念在相同間隔的時(shí)間上進(jìn)行的一系列支付稱為年金。例如，在未來的十年中每年年末支付1,000元；從1998年至2015年每年年初3,800元。年金包括每年支付一次的年金，和每半年、每個(gè)季度、每月支付一次及支付更頻繁的年金。在現(xiàn)實(shí)生活中，年金的例子很普遍，如購買房屋、汽車等固定資產(chǎn)時(shí)的抵押分期付款。第一節(jié)年金的概念相鄰的兩個(gè)支付日期之間的間隔稱為支付週期，相鄰的兩個(gè)計(jì)息日期之間的間隔稱為計(jì)息週期。這裏的計(jì)息是指將到期得到的利息結(jié)轉(zhuǎn)為本金。年金的支付分為確定的和不確定的。這裏的確定是針對(duì)在相應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)的支付與否和數(shù)額是否確定來說的。第一節(jié)年金的概念確定年金是指一定的時(shí)期內(nèi)在相同間隔的時(shí)間上，按既定的數(shù)額進(jìn)行的一系列支付。例如前面提到的用分期付款購買一個(gè)價(jià)值82萬元的房屋，在約定的時(shí)間點(diǎn)上支付與否和支付的金額都是確定的，可能是先付24萬元，然後在10年中每月末付款5500元。不確定年金又叫或有年金，是指在未來相應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)上的支付是否發(fā)生是不確定的。這種年金的一個(gè)最常見的類型是，在未來的某些年內(nèi)在一個(gè)人的生存期間於每月月初支付一定數(shù)額的年金。這種年金在相應(yīng)時(shí)間點(diǎn)上的支付與否是由其時(shí)的生命狀態(tài)決定的，是事先無法確定的。這種年金叫做生命年金，我們將在本書的第三卷探討這種年金。每個(gè)支付週期末支付的年金稱作期末支付的年金，例如每年年末支付的年金、每月月末支付的年金；每個(gè)支付週期初支付的年金稱作期初支付或期首支付的年金，例如每年年初支付的年金、每個(gè)季度初支付的年金。在不至於發(fā)生混淆時(shí)，年金一詞一般指期末支付的確定年金。第二節(jié)確定年金的終值和現(xiàn)值

一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值二、期初支付年金的終值和現(xiàn)值三、永久年金四、延期年金一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值我們考慮在0時(shí)刻開始的n年中每年年末支付1元的年金。如圖2－1。

為了方便，我們把每年末支付1元、共支付n年的確定年金在第n年末（n時(shí)刻）的終值記為。第1年末（時(shí)刻1）支付的1元在第n年末（時(shí)刻n）的終值為(1＋i)n－1

，第2年末（時(shí)刻2）支付的1元在第n年末的終值為，…，第n－2年末（時(shí)刻n－2）支付的1元在第n年末的終值為，第n－1年末（時(shí)刻n－1）支付的1元在第n年末的終值為(1＋i)，第n

年末（時(shí)刻n）支付的1元在第n年末的終值為1，即

一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值類似地，我們把每年末支付1元、共支付n年的確定年金在第1年初（0時(shí)刻）的現(xiàn)值記為。第1年末（時(shí)刻1）支付的1元在第1年初（時(shí)刻0）的現(xiàn)值為v，第2年末（時(shí)刻2）支付的1元在第1年初的現(xiàn)值為，…，第n－1年末（時(shí)刻n－1）支付的1元在第1年初的現(xiàn)值為，第n

年末（時(shí)刻n）支付的1元在第1年初的現(xiàn)值為，即一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值例：假設(shè)貸款利率為9％，比較為期10年的1,000元貸款在以下列三種方式償還貸款的情況下將支付的利息總額。（1）全部貸款及利息累積額在第10年末一次性還清；（2）利息每年末支付，本金第10年末還清；（3）貸款在10年內(nèi)的各年末平均償還。解：(1)10年末貸款的終值是1,000×＝2,367.36支付的利息總額為2,367.36－1,000＝1,367.36（元）(2)每年貸款所賺利息1,000×0.09＝9010年的利息總額為10×90＝900（元）(3)設(shè)平均量為R，則R＝1,000於是R＝155.82支付的利息總量10（155.82）－1,000＝558.20（元）,由此可以看出，償還貸款越晚，則要支付的利息額就越高；相反，償還得越早，則要支付的利息量越少。但是，儘管三種情況下支付的利息總量是不同的，它們的現(xiàn)值都是1,000元。二、期初支付年金的終值和現(xiàn)值

考慮在0時(shí)刻開始的n年中每年年初支付1元的年金。如圖2－2。

我們把每年初支付1元、共支付n年的確定年金在第n年末（n時(shí)刻）的終值記為。第1年初（時(shí)刻0）支付的1元在第n年末（時(shí)刻n）的終值為，第2年初（時(shí)刻1）支付的1元在第n年末的終值為，…，第n－1年初（時(shí)刻n－2）支付的1元在第n年末的終值為，第n年初（時(shí)刻n－1）支付的1元在第n年末的終值為(1＋i)，即

二、期初支付年金的終值和現(xiàn)值

類似地，把每年初支付1元、共支付n年的確定年金在第1年初（0時(shí)刻）的現(xiàn)值記為。二、期初支付年金的終值和現(xiàn)值有如下關(guān)係式：期初支付年金的終值和現(xiàn)值=(1＋i)=1＋

三、永久年金

對(duì)於一個(gè)固定的利率i，、、和都是n的增函數(shù)，即隨著n的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)。當(dāng)n趨於∞時(shí)，即年金的支付永遠(yuǎn)持續(xù)下去，我們稱這種永遠(yuǎn)持續(xù)下去而不中止的年金為永久年金或稱永續(xù)年金。期末支付和期初支付永久年金的現(xiàn)值分別用和表示。這樣，如果i>0，有

==

==

四、延期年金

假定m和n為非負(fù)整數(shù)。每筆金額為1，分別發(fā)生在時(shí)刻(m＋1),(m＋2),…,(m＋n)的n次數(shù)額為1的支付在時(shí)刻0的值表示為

=-=

第三節(jié)通用攤銷表

假定一個(gè)投資者在時(shí)刻0借出L，並得到n次償還，其中第r次金額為xr，到期時(shí)間為r(1≤r≤n)。假定借款在第r年的實(shí)際利率為i(1≤r≤n)。在許多情況下並不依賴於r，但是這樣會(huì)有利於考察更一般的情況。

令＝L,對(duì)於t＝1,2,…,n,令為在時(shí)刻t到期的償還額收到後的未清償貸款金額。時(shí)刻t償還的貸款額即為此時(shí)收到的償還額超過到期利息的部分。在第t次償還發(fā)生後的未清償貸款額也等於前一次償還發(fā)生的未清償貸款額與時(shí)刻t償還的貸款在金額的差。

令表示時(shí)間t所償還的貸款額，經(jīng)推導(dǎo)：注意只有在第t和t＋1年利率相同時(shí)，公式(2.25)才成立。特別地，當(dāng)利率在整個(gè)交易中保持恒定並且所有償還金額相等時(shí)，各次貸款償還金額構(gòu)成一個(gè)公比為1＋i的等比數(shù)列。第四節(jié)用年金償還貸款

考慮在單位時(shí)間利率為i的情況下，一筆在時(shí)刻0發(fā)生的數(shù)額為的貸款，分n次償還，每次還款金額為1，償還時(shí)間分別為1，2，…，n。貸款人可以建立一張表表示每次收到的償還額中利息和本金的構(gòu)成。在第t次償還發(fā)生後尚有(n－t)筆未償還金額，公式(2.23)表明未償還的貸款為

這樣，用第三節(jié)中的符號(hào)因此，時(shí)刻t的貸款償還額為

貸款人的攤銷表形式如表

第五節(jié)支付頻率高於每單位時(shí)間1次的年金(每年支付多次)

除了如前所述的基本確定年金，還存在支付頻率高於或低於計(jì)息頻率的確定年金，我們稱之為一般確定年金。第六節(jié)支付頻率低於每單位時(shí)間1次的年金(多年支付1次)

第七節(jié)連續(xù)年金

第八節(jié)變動(dòng)年金

在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會(huì)涉及到各年的支付數(shù)額不同的年金，例如，一筆在未來12年中每年年末的支付額分別為5,500、6,000、6,500、7,000、7,500、……10,500、12,000（元）的年金。根據(jù)基本原理，我們可以求得每次支付金額不完全相等的年金的現(xiàn)值(或終值)。例如，在未來n年中的時(shí)刻的支付額為的年金在第1年初（時(shí)刻0）的現(xiàn)值為：第三章生存模型與生命表第三章生存模型與生命表第一節(jié)簡(jiǎn)單生存模型

生存狀況與生存模型新生嬰兒的未來生存時(shí)間年齡為x歲（x＞0）的人的未來生存時(shí)間未來生存時(shí)間的密度函數(shù)未來生存時(shí)間的密度函數(shù)

一、生存狀況與生存模型

通常，我們把壽險(xiǎn)公司出售的合同稱為壽險(xiǎn)保單。按壽險(xiǎn)保單的約定，保險(xiǎn)人（即壽險(xiǎn)公司）將根據(jù)被保險(xiǎn)人在約定時(shí)間內(nèi)的生存或死亡決定是否給付保險(xiǎn)金。這種只有在特定事件發(fā)生時(shí)才給付的保險(xiǎn)金稱作條件支付(contingentpayment)。其最重要特徵就是它發(fā)生的不確定性。一個(gè)人的未來生存時(shí)間是不確定的，只有在特殊情況下才是預(yù)先可知的。被保險(xiǎn)人在未來某個(gè)時(shí)期的生死是一個(gè)不確定性事件，對(duì)這個(gè)不確定性事件的研究是壽險(xiǎn)精算中最重要的工作之一，它決定著保險(xiǎn)金的給付與否。它的研究把數(shù)學(xué)和生存與死亡概率結(jié)合在一起。從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個(gè)簡(jiǎn)單的過程。這個(gè)過程有如下的特徵：存在兩種狀態(tài)：生存和死亡。單個(gè)的人──經(jīng)常稱作生命個(gè)體──可被劃分為生存者或死亡者，也就是說，我們可說出他們所處的狀態(tài)。生命個(gè)體可從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)，但不能相反。任何個(gè)體的未來生存時(shí)間都是未知的，所以我們應(yīng)從生存或死亡概率的探討而著手生存狀況的研究。生存模型就是對(duì)此過程建立的一個(gè)數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行清晰的描述，從而對(duì)死亡率的問題作出了一些解釋下麵就是生存模型可回答的例子：一個(gè)45歲的人在下一年中死亡的概率是多少?

假若有1000個(gè)45歲的人，那麼他們中有多少人可能在下一年內(nèi)死亡?

如果某一45歲的男性公民，在投保了一個(gè)10年的定期的某種人壽保險(xiǎn)，那麼應(yīng)該向他收多少保費(fèi)?一些特定因素(如一天吸50根煙)對(duì)於45歲的男性公民的未來生存時(shí)間的影響是怎樣的?二、新生嬰兒的未來生存時(shí)間

三、年齡為x歲（x＞0）的人的未來生存時(shí)間

四、未來生存時(shí)間的密度函數(shù)

（一）未來一年的生存與死亡概率（二）未來任意期限內(nèi)的生存與死亡概率（一）未來一年的生存與死亡概率（和）

（二）未來任意期限內(nèi)的生存與死亡概率

五、未來生存時(shí)間的密度函數(shù)

第二節(jié)死亡力

一、死亡力的概念二、關(guān)於死亡力的一個(gè)重要公式三、死亡力與未來生存時(shí)間的分佈函數(shù)，密度函數(shù)之間的關(guān)係四、兩個(gè)重要公式一、死亡力的概念

二、關(guān)於死亡力的一個(gè)重要公式：

三、死亡力與未來生存時(shí)間的分佈函數(shù)，密度函數(shù)之間的關(guān)係

四、兩個(gè)重要公式

第三節(jié)生命期望值

一、完全生命期望值二、簡(jiǎn)單（整數(shù)化）未來生存時(shí)間三、簡(jiǎn)單（整數(shù)化）生命期望值四、未來生存時(shí)間和簡(jiǎn)單未來生存時(shí)間的方差一、完全生命期望值

二、簡(jiǎn)單（整數(shù)化）未來生存時(shí)間

三、簡(jiǎn)單（整數(shù)化）生命期望值

四、未來生存時(shí)間和簡(jiǎn)單未來生存時(shí)間的方差

第四節(jié)生命表函數(shù)

一、生命表的概念二、函數(shù)三、函數(shù)一、生命表的概念

二、函數(shù)

三、函數(shù)

第五節(jié)延期死亡概率和非整數(shù)年齡的生命表函數(shù)

一、延期死亡概率二、非整數(shù)年齡的生命表函數(shù)（一）一年內(nèi)死亡時(shí)間均勻分佈假設(shè)（二）死亡力為常數(shù)的假設(shè)一、延期死亡概率

例：在某特定的人口群體中，所有年齡的死亡力為0.025，計(jì)算：年齡為10歲的人在12歲前死亡的概率。年齡為5歲的人在10-12歲死亡的概率。新生嬰兒的完全生命期望。新生嬰兒的簡(jiǎn)單生命期望二、非整數(shù)年齡的生命表函數(shù)

（一）一年內(nèi)死亡時(shí)間均勻分佈假設(shè)（二）死亡力為常數(shù)的假設(shè)

第六節(jié)選擇表

一、生命表的種類二、選擇表一、生命表的種類

生命表一般分為國民生命表（nationallifetable）和經(jīng)驗(yàn)生命表（experiencelifetable）兩大類。國民生命表是以全體國民或特定地區(qū)的人口生存狀況統(tǒng)計(jì)資料編制成的而經(jīng)驗(yàn)表是人壽保險(xiǎn)公司依據(jù)過去其承保的被保險(xiǎn)人實(shí)際的生存狀況統(tǒng)計(jì)資料編制的。在同一時(shí)期內(nèi)，國民生命的死亡率一般要高於經(jīng)驗(yàn)表的死亡率。

國民生命表又可分為完全生命表（completelifetable）和簡(jiǎn)易生命表（abridgedlifetable）。完全生命表是根據(jù)準(zhǔn)確的人口普查資料，依年齡分別計(jì)算死亡率、生存率．平均餘命等生命函數(shù)而編制的簡(jiǎn)易生命表則採取每年的人口生存狀況動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)資料和人口抽樣調(diào)查的資料，按年齡段（如5歲或10歲為一段）計(jì)算的死亡率、生存率、平均餘命等生命函數(shù)。經(jīng)驗(yàn)生命表又可分為終極表（ultimatetable）、選擇表（selecttable）、總合表（aggregatetable）等。終極表是指剔除了被保險(xiǎn)人投保後5至15年的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，根據(jù)被保險(xiǎn)人最終的死亡率編制的生命表，也就是按照承保選擇的影響消失後的死亡率來編制生命表。1958年美國保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表是一種終極生命表。選擇表是一種不同與終極表的生命表。在人壽保險(xiǎn)的承保過程中，經(jīng)過體檢等選擇的被保險(xiǎn)人的死亡率等風(fēng)險(xiǎn)低於一般人口的風(fēng)險(xiǎn)，而且最近幾年選擇的被保險(xiǎn)人的死亡率風(fēng)險(xiǎn)低於前些年選擇的被保險(xiǎn)人的死亡率風(fēng)險(xiǎn)，考慮到這種選擇因素的影響之後編制的生命表稱為選擇表?？偤仙硎侵覆豢紤]保險(xiǎn)契約有效後經(jīng)過的年數(shù)，以整個(gè)保險(xiǎn)期間為對(duì)象，根據(jù)不同年齡的被保險(xiǎn)人的死亡率數(shù)據(jù)編制的生命表。由於根據(jù)人壽保險(xiǎn)的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)編制的生命表不適用於年金保險(xiǎn)，壽險(xiǎn)公司常常要結(jié)合預(yù)測(cè)的將來較低的死亡率為年金保險(xiǎn)專門編制一份年金生命表。人壽保險(xiǎn)所使用的生命表一般都是靜態(tài)表，隨著社會(huì)科技與經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，死亡率逐步降低，要定期地用根據(jù)較近經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)編制的靜態(tài)表代替原來的靜態(tài)表。例如：美國1980年保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表已取代了1958年保險(xiǎn)監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表。該表是根據(jù)1970年至1975年的死亡率數(shù)據(jù)編制而成的，分為男性生命表和女性生命表，顯示了較低的死亡率。二、選擇表

對(duì)於生命表函數(shù)的所有概率公式適用於選擇表函數(shù)，例如：第四章基本生命保險(xiǎn)

第四章基本生命保險(xiǎn)第一節(jié)生命保險(xiǎn)與生命年金 第二節(jié)生存保險(xiǎn)(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值 第三節(jié)定期壽險(xiǎn)(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值 第四節(jié)兩全保險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值 第五節(jié)終身壽險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值 第六節(jié)延期支付的生命保險(xiǎn) 第七節(jié)基本生命保險(xiǎn)的數(shù)值計(jì)算 第一節(jié)生命保險(xiǎn)與生命年金

在這一章裏，我們將著重討論壽險(xiǎn)公司幾種保險(xiǎn)金。保險(xiǎn)金是壽險(xiǎn)公司的主要負(fù)債，將由壽險(xiǎn)公司在未來的時(shí)間裏支付，具體支付時(shí)間視被保險(xiǎn)人死亡時(shí)間而定。通常這些保險(xiǎn)根據(jù)給付保險(xiǎn)金方式的不同分為兩大類：（1）普通人壽保險(xiǎn)：如果被保險(xiǎn)人在某一期限內(nèi)死亡或活過某一期限，保險(xiǎn)人將向被保險(xiǎn)人給付一筆保險(xiǎn)金，即一次性給付保險(xiǎn)金。（2）年金保險(xiǎn)：在約定期間當(dāng)被保險(xiǎn)人活著時(shí)，保險(xiǎn)人在相同間隔的時(shí)間上向被保險(xiǎn)人多次給付一系列保險(xiǎn)金。本書前兩卷講過人壽保險(xiǎn)、確定年金等概念，為了便於讀者更清楚地理解有關(guān)的概念而不至於發(fā)生混淆，在本卷中，我們把普通人壽保險(xiǎn)稱為生命保險(xiǎn)，把以生存與否為支付前提的年金稱為生命年金。第一節(jié)生命保險(xiǎn)與生命年金在上述情況中，我們只涉及按固定年實(shí)際利率計(jì)算的生命保險(xiǎn)與生命年金的現(xiàn)值，這現(xiàn)值在某意義上代表了為了支付將來利益所需的資金(假設(shè)它投資能獲得的年實(shí)際利率為)。正如你將看到的，這個(gè)現(xiàn)值並不能精確知道，但可以作為隨機(jī)變數(shù)模型化，我們通過模型來研究這個(gè)現(xiàn)值的均值。我們假定被保險(xiǎn)人死亡率和生存概率可以從給定的生命表中得到，並且，為了簡(jiǎn)單起見，我們假定生命表採用終極生命表。“年齡x歲的人”在壽險(xiǎn)精算中經(jīng)常使用，為了方便，通常把它縮寫為（x），舉例說，當(dāng)你看到“（x）死於n年內(nèi)”即“一個(gè)年齡為x歲的人在n年內(nèi)死亡”。現(xiàn)在，讓我們看一些特殊的保險(xiǎn)金。第二節(jié)生存保險(xiǎn)(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值

第二節(jié)生存保險(xiǎn)(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值第二節(jié)生存保險(xiǎn)(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值第二節(jié)生存保險(xiǎn)(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值第二節(jié)生存保險(xiǎn)(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值第三節(jié)定期壽險(xiǎn)(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值

第三節(jié)定期壽險(xiǎn)(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值

第三節(jié)定期壽險(xiǎn)(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值

第三節(jié)定期壽險(xiǎn)(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值

第三節(jié)定期壽險(xiǎn)(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值第三節(jié)定期壽險(xiǎn)(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值

第四節(jié)兩全保險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值第五節(jié)終身壽險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值

第五節(jié)終身壽險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值第五節(jié)終身壽險(xiǎn)及其預(yù)期現(xiàn)值第六節(jié)延期支付的生命保險(xiǎn)

延期支付的保險(xiǎn)給付是在將來支付的。例如，一個(gè)26歲的人考慮用保險(xiǎn)金支付他退休之後死亡時(shí)的喪葬費(fèi)用，於是，他投保了一份延期34年的終身壽險(xiǎn)。如果人在退休前死亡，他工作期間的豐厚收入會(huì)解決其喪葬費(fèi)用，如果在退休之後死亡，則保險(xiǎn)公司會(huì)為他的一個(gè)很體面的葬禮支付保險(xiǎn)金。這就是一份終身壽險(xiǎn)，但延期了34年。第六節(jié)延期支付的生命保險(xiǎn)第六節(jié)延期支付的生命保險(xiǎn)延期生命保險(xiǎn)預(yù)期現(xiàn)值的計(jì)算公式：第七節(jié)基本生命保險(xiǎn)的數(shù)值計(jì)算

第七節(jié)基本生命保險(xiǎn)的數(shù)值計(jì)算第七節(jié)基本生命保險(xiǎn)的數(shù)值計(jì)算第七節(jié)基本生命保險(xiǎn)的數(shù)值計(jì)算第七節(jié)基本生命保險(xiǎn)的數(shù)值計(jì)算第七節(jié)基本生命保險(xiǎn)的數(shù)值計(jì)算第七節(jié)基本生命保險(xiǎn)的數(shù)值計(jì)算第七節(jié)基本生命保險(xiǎn)的數(shù)值計(jì)算第五章基本生命年金內(nèi)容概要基本生命年金終身生命年金及預(yù)期現(xiàn)值定期生命年金及預(yù)期現(xiàn)值延期支付的生命年金生命保險(xiǎn)與生命年金預(yù)期現(xiàn)值間的關(guān)係生命年金預(yù)期現(xiàn)值的數(shù)值計(jì)算基本生命年金介紹被保險(xiǎn)人生存每年支付一次每次一元終身生命年金介紹生存期間每年支付，每次一元兩種形式第一筆款項(xiàng)立即給付（）第一筆款項(xiàng)一年後給付（）終身生命年金預(yù)期現(xiàn)值--第一種形式圖例說明11111111↓↓↓↓↓↓↓↓0．1．2．3．4．5．6.7.×8.

用表示，=化簡(jiǎn)可得

=終身生命年金預(yù)期現(xiàn)值--第二種形式圖例說明

1111111↓↓↓↓↓↓↓0．1．2．3．4．5．6.7.×8.

用表示，=

和的關(guān)係：=－1定期生命年金介紹定期生命年金與終身年金相似，其區(qū)別在於定期年金的給付次數(shù)有一個(gè)上限，即為保險(xiǎn)期間，用來表示。兩種形式第一筆款項(xiàng)立即給付第一筆款項(xiàng)一年後給付定期生命年金預(yù)期現(xiàn)值-第一種形式例如，考慮(x)的一個(gè)每年初給付1元的5年期定期生命年金。如果(x)在歲後某一時(shí)刻死亡，那麼支付的情形如下

11111↓↓↓↓↓0．1．2．3．4．5．6.

=定期生命年金預(yù)期現(xiàn)值-第二種形式例如，考慮(x)的一個(gè)每年末給付1元的5年期定期生命年金。如果(x)在歲後某一時(shí)刻死亡，那麼支付的情形如下

11111↓↓↓↓↓0．1．2．3．4．5．6.

=生命保險(xiǎn)與生命年金的預(yù)期現(xiàn)值之間的關(guān)係

關(guān)係：=1－

(a)通過研究壽險(xiǎn)和生命年金的預(yù)期現(xiàn)值

(b)通過公式的推導(dǎo)

(c)通過對(duì)一般意義的解釋及說明延期支付的生命年金前一章的延期生命保險(xiǎn)是指其保險(xiǎn)給付在將來支付的情況，而延期的生命年金也很普遍。其中最常見的例子是延期支付的退休年金。例如，一個(gè)機(jī)構(gòu)不會(huì)同意對(duì)現(xiàn)年25歲的人提供養(yǎng)老金，而要當(dāng)他的年齡達(dá)到60或65歲時(shí)開始支付，這種給付仍然是一種年金，但延期了35年或40年。生命年金預(yù)期現(xiàn)值的數(shù)值計(jì)算=－

=第六章一般年金與保險(xiǎn)函數(shù)本章內(nèi)容第一節(jié)每年支付m次的生命年金第二節(jié)遞增壽險(xiǎn)與年金

第三節(jié)死亡時(shí)立即給付的生命保險(xiǎn)與連續(xù)支付的生命年金每年支付m次的生命年金–概念對(duì)於一份一年中支付次的生命年金，每年的次把一年分成了個(gè)間隔，在每個(gè)間隔初支付的年金，我們稱為期初支付，在每個(gè)間隔末支付的年金，我們稱為期末支付。例如，每月月末支付的生命年金稱為每年支付12次的期末支付的生命年金。每年支付m次的生命年金–預(yù)期現(xiàn)值終身生命年金

=定期生命年金

=遞增壽險(xiǎn)—概念遞增終生壽險(xiǎn)：目前年齡為的人的一個(gè)終身壽險(xiǎn)，死亡年末支付保險(xiǎn)給付，每年保險(xiǎn)金遞增額為1。遞增定期壽險(xiǎn)：可以按上述同樣方式定義定期年遞增保險(xiǎn)，即在歲以後死亡，則無保險(xiǎn)給付。

遞增兩全壽險(xiǎn)：年齡為的人，如果在第年（1，2，…）死亡，則在該年末支付元保險(xiǎn)金；如果生存至期滿（第年末），則在期滿時(shí)支付元保險(xiǎn)金。

遞增壽險(xiǎn)—預(yù)期現(xiàn)值遞增終生壽險(xiǎn)

==遞增定期壽險(xiǎn)

==－－遞增兩全壽險(xiǎn)

=+遞增年金–概念遞增的終身年金：我們現(xiàn)考慮期初支付的遞增年金。對(duì)於一個(gè)年齡為x歲的人，在其未來生存期間的第j年初（1，2，…）支付金額為j遞增定期年金:在n年中每年年初支付的定期遞增年金可按同樣方式定義，只是支付將在至多年後停止。

遞增年金–預(yù)期現(xiàn)值遞增的終身年金

=

=遞增定期年金

=－

=遞增保險(xiǎn)與遞增年金的關(guān)係終身遞增保險(xiǎn)與終身遞增年金

=定期遞增壽險(xiǎn)與定期遞增年金

=支付額按幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)的保險(xiǎn)或年金例如：一個(gè)終身壽險(xiǎn)合同，年齡為的人在死亡年末得到保險(xiǎn)給付。給付在零時(shí)刻為1，每年以公比為1+b的等比數(shù)列的節(jié)奏遞增，或者說，以利率為b的複利增長(zhǎng)水準(zhǔn)增長(zhǎng)。相當(dāng)於新利率j下的單位遞增年金，其中

死亡時(shí)立即給付的生命保險(xiǎn)--概念死亡保險(xiǎn)金在死後的很短時(shí)間內(nèi)給付，只要索賠單證的有效性得以證明。因此，假設(shè)延至死亡年末給付就顯得不夠謹(jǐn)慎了，而假設(shè)死亡後立即支付保險(xiǎn)金才是謹(jǐn)慎的態(tài)度。死亡時(shí)立即給付的生命保險(xiǎn)—預(yù)期現(xiàn)值終身壽險(xiǎn)

定期壽險(xiǎn)

=定期兩全保險(xiǎn)

=幾個(gè)近似演算法近似一：將一年中死亡發(fā)生時(shí)間看作是服從均勻分佈≈≈≈近似二：把終身或定期壽險(xiǎn)當(dāng)作一年期延期定期壽險(xiǎn)的加總

≈

≈連續(xù)支付的生命年金–概念前面我們探討了死亡時(shí)刻立即支付的生命保險(xiǎn)，相應(yīng)地，連與而非每隔一時(shí)段支付一次的年金，也是在實(shí)際工作中起重要作用的函數(shù)。當(dāng)然，這在實(shí)踐中並不存在，但若支付十分頻繁，如每週或每天，這一假設(shè)也是合理的。連續(xù)支付的生命年金–預(yù)期現(xiàn)值連續(xù)支付的終身年金≈連續(xù)支付的定期年金

=死亡時(shí)立即支付的生命保險(xiǎn)與連續(xù)支付的生命年金之間的關(guān)係終身壽險(xiǎn)

=定期壽險(xiǎn)

=死亡時(shí)刻立即給付的遞增生命保險(xiǎn)死亡時(shí)刻立即給付的遞增終身壽險(xiǎn)的連續(xù)遞增形式:對(duì)於目前年齡為歲的人，在其死亡時(shí)立即給付元。換言之，保險(xiǎn)金額以每年遞增1元的速度線形增長(zhǎng)。連續(xù)遞增形式的定期壽險(xiǎn)及兩全保險(xiǎn)死亡時(shí)刻立即給付的遞增生命保險(xiǎn)的跳躍遞增形式：保險(xiǎn)金額在死亡時(shí)刻給付，但不是連續(xù)增長(zhǎng)，而是在每年末增長(zhǎng)一個(gè)單位。連續(xù)支付的遞增生命年金連續(xù)遞增的終身生命年金：指一個(gè)年齡為x歲的人，在其生存期間以連續(xù)遞增的方式支付年金。

跳躍遞增的連續(xù)生命年金:增長(zhǎng)情況為每年末增長(zhǎng)1元。第七章壽險(xiǎn)保費(fèi)的計(jì)算原理

內(nèi)容介紹價(jià)值方程保費(fèi)與淨(jìng)保費(fèi)費(fèi)用超常風(fēng)險(xiǎn)分紅保險(xiǎn)價(jià)值方程收入的預(yù)期現(xiàn)值＝支出的預(yù)期現(xiàn)值對(duì)於設(shè)定的保險(xiǎn)給付金額，我們可以找到一個(gè)適當(dāng)?shù)耐侗Ｈ死U費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，以支付此保險(xiǎn)給付金額所需的成本和費(fèi)用；同樣，如果設(shè)定了繳納的保費(fèi)數(shù)額，我們就可以找到適當(dāng)?shù)谋ｋU(xiǎn)給付與其對(duì)應(yīng)。保費(fèi)保險(xiǎn)費(fèi)即投保人買各種保險(xiǎn)而向保險(xiǎn)人（保險(xiǎn)公司）一次性支付或多次支付的費(fèi)用，簡(jiǎn)稱保費(fèi)。保費(fèi)的支付一般有以下幾種方式在保單生效時(shí)一次付清保費(fèi)(躉繳保費(fèi))規(guī)定每年支付一定金額，保單生效時(shí)第一次支付，以後一直持續(xù)到被保險(xiǎn)人死亡或達(dá)到約定的最大保費(fèi)額度，常常即為保單約定的繳費(fèi)期限(每年支付保費(fèi)保單)。一年多次支付確定的保費(fèi)，通常每月支付一次，在被保險(xiǎn)人死亡或達(dá)到約定最大限額時(shí)停繳(月保費(fèi))。淨(jìng)保險(xiǎn)費(fèi)/純保費(fèi)/風(fēng)險(xiǎn)保費(fèi)淨(jìng)保險(xiǎn)費(fèi)是指，在給定的假設(shè)死亡率與利率的情況下，為了實(shí)現(xiàn)保單中預(yù)期的生命保險(xiǎn)或年金的給付需繳的金額。在這裏不計(jì)公司的營業(yè)等費(fèi)用（淨(jìng)，這裏指除去費(fèi)用的淨(jìng)）計(jì)算公式：淨(jìng)保費(fèi)收入的期望現(xiàn)值＝保險(xiǎn)給付支出的期望現(xiàn)值

精算計(jì)算基礎(chǔ)：死亡率假設(shè)、未來可實(shí)現(xiàn)利率假設(shè)利潤定義：保單終止時(shí)（死亡或保單到期）保費(fèi)的價(jià)值減去保險(xiǎn)給付與費(fèi)用支出後的餘值，包含保單終止時(shí)已產(chǎn)生的利息。利潤的計(jì)算利潤=淨(jìng)保費(fèi)收入的現(xiàn)值－保險(xiǎn)給付支出的現(xiàn)值淨(jìng)保費(fèi)價(jià)值方程應(yīng)用舉例–例1普通壽險(xiǎn)保單的淨(jìng)保費(fèi)(1)如果被保險(xiǎn)人在保單開始時(shí)為x歲，實(shí)際利率假定為，保險(xiǎn)金額為S，在保單有效期內(nèi)每年初支付保費(fèi)額為P。求下麵兩種保險(xiǎn)保單的淨(jìng)保費(fèi)價(jià)值方程：(a)n年期定期壽險(xiǎn)(b)n年期生存保險(xiǎn)

(2)採用A1967-1970終極表，計(jì)算上面(a)與(b)中的P，已知S＝10000,x=39，n＝25，i＝4%(3)採用A1967-1970選擇表，計(jì)算上面(a)與(b)中的S，已知P＝1000,x＝20，n＝20，i＝4%

解：(1)所求價(jià)值方程為：(a)=(b)=

(2)(a)P＝20.14(b)P＝219.13(3)(a)S＝1358600(b)S＝31279淨(jìng)保費(fèi)價(jià)值方程應(yīng)用舉例–例2年金保單的淨(jìng)保費(fèi)一個(gè)60歲的人投保延期年金保險(xiǎn)，從70歲起每年年末得到5000元的給付，60歲到70歲每年年初付一定金額的保費(fèi)。已知：利率8％；死亡率採用英國a(55)婦女選擇表，其中＝6.965,＝0.87333,

＝0.58947,=7.3077。

(1)求淨(jìng)保費(fèi)

(2)在不考慮費(fèi)用的情況下，計(jì)算壽險(xiǎn)公司因該保單而賺取利潤的概率。解：(1)由＝×得:＝2122.1(元)

(2)所交保費(fèi)在70歲時(shí)的值為2122.1×＝33201.3元，假設(shè)在70歲之後又活了年，計(jì)算出使不等式5000>33201.3成立的最小整數(shù)為＝10,因此，80歲以後投保人的年金支付就超過了保費(fèi)支付的值，公司獲利的可能性為:1－＝0.41053每年多次支付保費(fèi)–例3考慮一份保險(xiǎn)金額為20000元的兩全保險(xiǎn)保單，被保險(xiǎn)人現(xiàn)年40歲，保險(xiǎn)期間為20年，保險(xiǎn)金在死亡之年年末支付，或在保單期滿時(shí)支付；保費(fèi)從現(xiàn)在起開始每月初支付直至期滿或被保險(xiǎn)人死亡為止。已知設(shè)定年利率為4％，死亡率採用英國A1967-1970選擇生命表。計(jì)算每月應(yīng)交納的淨(jìng)保費(fèi)。解：設(shè)P為所求應(yīng)繳月保費(fèi)，則繳納保費(fèi)的預(yù)期現(xiàn)值為12P≈12P

≈12P［13.772－0.4583(1－0.40902)］≈162.01P而給付的預(yù)期現(xiàn)值為:20000＝9405.80得：

P＝58.06（元）

費(fèi)用常見的費(fèi)用類型保單費(fèi)用。它不依賴於保費(fèi)或保險(xiǎn)金額的多少，是固定的費(fèi)用，例如：保單出立單據(jù)、每年更新資訊的開支，及一些允許的一般辦公費(fèi)用。保費(fèi)比例費(fèi)用，主要包括付給經(jīng)紀(jì)人或出售保單中間人的傭金，習(xí)慣上按保費(fèi)百分比計(jì)算.保險(xiǎn)金比例費(fèi)用，包括稅收及在承保時(shí)發(fā)生的的費(fèi)用──如體檢費(fèi)用。按照發(fā)生順序可分為初始費(fèi)用，即在保單開始發(fā)生的費(fèi)用，包括保單費(fèi)用、保費(fèi)比例費(fèi)用和保險(xiǎn)金比例費(fèi)組合。續(xù)保費(fèi)用，即繼續(xù)維持保單的費(fèi)用，包括發(fā)保費(fèi)催單、更新記錄等等，及續(xù)保傭金的費(fèi)用。續(xù)保費(fèi)用一般被假定在未來的支付期間裏會(huì)上漲。續(xù)保費(fèi)用也包括每份保單費(fèi)用，保費(fèi)百分比的費(fèi)用和（很少的）保險(xiǎn)金百分比的費(fèi)用。理賠費(fèi)用，應(yīng)支付保險(xiǎn)金時(shí)發(fā)生的費(fèi)用。其大小或者和保險(xiǎn)金額大小有關(guān)，或者是每種類型的保單收取固定的金額。

通貨膨脹對(duì)費(fèi)用的影響

每份保單的續(xù)期費(fèi)用不會(huì)總保持它們開始時(shí)的水準(zhǔn)，一般認(rèn)為會(huì)上升，因?yàn)閴垭U(xiǎn)部門的經(jīng)營費(fèi)用會(huì)受物價(jià)和工資膨脹的影響。傭金占保費(fèi)率的百分比，不會(huì)受通貨膨脹的影響。而核算每份保單保費(fèi)的費(fèi)用成本，很顯然，需要對(duì)未來通貨膨脹率作出準(zhǔn)確的估計(jì)。如果我們假定一個(gè)固定的未來每年通貨膨脹率為j,則有：

′＝隱含費(fèi)用

保險(xiǎn)金的支出和保費(fèi)收入都是隨機(jī)變動(dòng)的(保費(fèi)數(shù)額不是任意的，而支付的偶然性取決於被保險(xiǎn)人生存與否，所以是隨機(jī)的)，於是壽險(xiǎn)公司的實(shí)際收入減去支出在某一年可能是正的或負(fù)的。公司要保證在每一年支出不能比收入大很多，以至部門資金短缺。為此，它必須建立額外的基金來平衡在現(xiàn)金流量上的隨機(jī)變動(dòng)性。用最簡(jiǎn)單的話而言，公司會(huì)通過向投保人收取稍多些的保費(fèi)，比預(yù)期保險(xiǎn)金和費(fèi)用的現(xiàn)值多些，來建立額外基金，這意味著公司不得不在保費(fèi)方面合併一筆附加費(fèi)用或形成一筆額外的利潤。隱含費(fèi)用的實(shí)現(xiàn)方式：

通常這種額外利潤是不允許的，一般採用調(diào)整精算計(jì)算基礎(chǔ)中某些假設(shè)的差異來代替隱含費(fèi)用。較低的利率假定死亡率、費(fèi)用毛保費(fèi)價(jià)值方程毛保費(fèi)的預(yù)期現(xiàn)值＝支出的保險(xiǎn)金的預(yù)期現(xiàn)值＋支出的費(fèi)用的預(yù)期現(xiàn)值即收入的預(yù)期現(xiàn)值＝支出的預(yù)期現(xiàn)值

毛保費(fèi)的價(jià)值方程舉例一個(gè)18歲的男性投保了一份養(yǎng)老金保險(xiǎn)，按保單約定，在他60歲後可於每月初領(lǐng)取1000元的保險(xiǎn)金，為此，他將於18～60歲期間的每月初繳納保費(fèi)。已知保單的初始費(fèi)用為月保費(fèi)的60％加10元，續(xù)保費(fèi)用每月為保費(fèi)的10％；採用中國人壽保險(xiǎn)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990－1993）（男），利率按7.5％計(jì)算。計(jì)算他應(yīng)繳納的月保費(fèi)。設(shè)應(yīng)繳月保費(fèi)為P元。根據(jù)題意，保險(xiǎn)給付在60歲時(shí)的預(yù)期現(xiàn)值為

1000×12應(yīng)繳保費(fèi)在18歲時(shí)的預(yù)期現(xiàn)值為P×12發(fā)生的費(fèi)用在18歲時(shí)的預(yù)期現(xiàn)值為10％P×12+50％P＋10價(jià)值方程為：應(yīng)繳保費(fèi)預(yù)期現(xiàn)值=發(fā)生的費(fèi)用預(yù)期現(xiàn)值+保險(xiǎn)給付在60歲時(shí)的預(yù)期現(xiàn)值求得P＝33.87487,即月繳保費(fèi)33.88元。超常風(fēng)險(xiǎn)含義:壽險(xiǎn)公司在同意承保某被保險(xiǎn)人之前，應(yīng)合理確認(rèn)被保險(xiǎn)人的健康水準(zhǔn)符合可承保的標(biāo)準(zhǔn)。如果一個(gè)人身體有缺陷或從事危險(xiǎn)性高的工作，就表明他比普通人有更大的死亡風(fēng)險(xiǎn)，那麼對(duì)這些人按標(biāo)準(zhǔn)生命表計(jì)收的保費(fèi)，就不能足以平衡支付給被保險(xiǎn)人的死亡給付。處理方法為既定的給付水準(zhǔn)，徵收更高的保費(fèi)以彌補(bǔ)額外死亡風(fēng)險(xiǎn)帶來的費(fèi)用。被保險(xiǎn)人在保單期內(nèi)提前死亡，則削減保險(xiǎn)金給付。拒絕對(duì)超常風(fēng)險(xiǎn)承保。超常風(fēng)險(xiǎn)模型年齡遞增法:是在計(jì)算保費(fèi)時(shí)將弱體被保險(xiǎn)人的投保年齡提高。比如，對(duì)一個(gè)40歲的弱體按50歲健康人的水準(zhǔn)收費(fèi)。增加死亡力:指在分析、計(jì)算超常風(fēng)險(xiǎn)時(shí)將死亡力增加一個(gè)固定值。其他方式:包括用一個(gè)固定常數(shù)或變化的係數(shù)乘以標(biāo)準(zhǔn)生命表的各年齡死亡率。

分紅保險(xiǎn)的概念

保單持有人與保險(xiǎn)公司分享投資利潤，這種保單稱為含利潤保單或分紅保單。分紅保單和不分紅保單的主要區(qū)別:於給定的保費(fèi)分紅保單所承諾的保險(xiǎn)給付是較低的。保險(xiǎn)公司希望所收取的保險(xiǎn)費(fèi)在保險(xiǎn)期間內(nèi)通過投資能積累成更多的金額，除了足以支付較低的保險(xiǎn)給付(基本保額)和一些費(fèi)用外，還可以把公司的期末紅利分配給保單持有人。

紅利的類型單利複利超複利單利形式的期末紅利原理：一個(gè)以單利計(jì)算的紅利只適用於保險(xiǎn)金額。如果我們?cè)O(shè)定b為固定水準(zhǔn)的單利形式的紅利，基本保險(xiǎn)金額為S。那麼一個(gè)保險(xiǎn)合同期內(nèi)死亡的第1,2,…年支付的保險(xiǎn)金額分別是:S+bs，S+2bS，S+3bS，……，這裏假設(shè)第一次分到的紅利加在保單第一年的初始。例子：一家壽險(xiǎn)公司為一個(gè)35歲的人承保年繳保費(fèi)的分紅終身壽險(xiǎn)，死亡時(shí)給付保險(xiǎn)金15000元，保費(fèi)繳納期限為30年。為了計(jì)算被保險(xiǎn)人每年應(yīng)交的保費(fèi)，公司假定在承保第一年的初始給予一個(gè)以3%計(jì)算的單利形式的期末紅利。死亡率假定按生命表A1967-1970終極表計(jì)算，利率為4%。初始費(fèi)用為第一年保費(fèi)的60%，續(xù)保費(fèi)用為以後各年(包括第一年)保費(fèi)的5%。試計(jì)算被保險(xiǎn)人每年應(yīng)交保費(fèi)。解：保費(fèi)減費(fèi)用後的預(yù)期現(xiàn)值為:P-0.05P-0.55P=15.956P給付的預(yù)期現(xiàn)值:假定按平均水準(zhǔn)，死亡發(fā)生在各年的中點(diǎn)

15000[1.03＋1.06×1.09×1.12＋…］

解得P＝4