壽險精算課件

壽險精算第一課壽險精算概述保險專業(yè)本科生課程一.精算的概念精算的定義：一般地說法是，利用數(shù)學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、統(tǒng)計學(xué)、壽險、非壽險、人口學(xué)、養(yǎng)老基金、投資等理論，對金融、投資等行業(yè)中的風(fēng)險問題提出數(shù)量化意見，使未來價值的可能性數(shù)量化。精算工作主要是由精算師承擔(dān)的。一.精算的概念精算師的作用：“在給金融投資等問題提供專家的、恰如其分的解答方面，尤其是解釋不確定的未來事件方面，發(fā)揮精算行業(yè)的作用並提高它的聲譽?！?/p>

——摘自英國精算行業(yè)業(yè)務(wù)報告

金融問題不確定的未來的精算面對的是“金融”問題。從非常簡單的問題，如確定在一項抵押下每月的投資是多少，到非常複雜的問題，如管理一項大的養(yǎng)老基金，等精算的研究對象是“不確定性”。說明金融行為不確定性的一個很好的例子就是保險合同。在投保車輛盜竊險時，一輛超豪華轎車的擁有者，與一輛普通的舊車車主相比較，應(yīng)交多少保費呢？哪一輛將被偷是不確定的，但是研究一下這兩種車過去被盜竊的規(guī)律，精算師就可以為每一種確定一個合適的保費。精算是針對“未來的”。例如，個人養(yǎng)老基金問題，這是一筆很大的資產(chǎn)，它為特定的一些人提供將來的養(yǎng)老金。常常必須要為那些現(xiàn)在還很年輕的人提供退休養(yǎng)老金。所以，養(yǎng)老基金的管理者們必須考察下麵兩個問題：一是這些資產(chǎn)在三四十年或更長的時間裏的價值是什麼，二是養(yǎng)老金領(lǐng)取者活著並領(lǐng)取養(yǎng)老金的時間多長。

壽險精算涉及到的不確定性往往持續(xù)很長的時間。例如：壽險合約可能有10年、20年、30年或更長的期限。精算師關(guān)心的是在這些投保期限中被保險人死亡的風(fēng)險。養(yǎng)老金基金可能會有義務(wù)對一個20歲的青年支付未來幾十年的養(yǎng)老金。它要確保將基金進(jìn)行安全的投資，並在需要的時候立即供款。但是投資所能獲得的未來利息收入是不確定的。在決定養(yǎng)老金的金額時，精算師必須對一個較長時間內(nèi)的這種不確定的利息做出估計。一個設(shè)計未來幾十年人口模型的精算師必須考慮到以後30到40年間出生、死亡、結(jié)婚、離婚等等的變化，包括隨著社會的發(fā)展這些變數(shù)的變化。二.本課程的研究內(nèi)容和主要組成主要研究：壽險所承保標(biāo)的的出險規(guī)律壽險產(chǎn)品承諾的給付或賠付的精算現(xiàn)值躉繳和分期繳付的淨(jìng)保費保單價值與責(zé)任準(zhǔn)備金的提存等

二.本課程的研究內(nèi)容和主要組成主要組成部分：利息理論生命表保費厘定保單價值和準(zhǔn)備金利潤測算三.利息理論利率是重要的經(jīng)濟杠桿之一，它無時無刻不在影響著人們的投資行為和消費行為，進(jìn)而影響著國民經(jīng)濟的整體運行。利率也是我們最為熟悉的經(jīng)濟變數(shù)之一。本課將要探討的主要內(nèi)容就是與利率和利息有關(guān)的理論及應(yīng)用問題。利息理論雖然是保險精算專業(yè)的基礎(chǔ)，但它所提供的方法具有極為廣泛的適用性，其應(yīng)用範(fàn)圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了保險精算領(lǐng)域，在投資分析、財務(wù)管理等方面都很有參考價值。利息理論的內(nèi)容主要包括：利息的度量方法基本的複利函數(shù)，例如年金現(xiàn)值等。

利息理論在投資分析和財務(wù)管理等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，還包括投資收益分析、債務(wù)償還方法、證券價值分析、利率風(fēng)險的度量和防範(fàn)。可以回答以下問題：複利產(chǎn)生的利息是否總是大於單利產(chǎn)生的利息？如果複利在一年之內(nèi)的利息結(jié)轉(zhuǎn)次數(shù)不斷增加，甚至連續(xù)結(jié)轉(zhuǎn)利息時，複利的利息會發(fā)生怎樣的變化？計算現(xiàn)值時的利率是否就是貼現(xiàn)率？利率與貼現(xiàn)率的關(guān)係如何？在分期付款時，借款人在每次付款中的本金和利息分別是多少？它們具有什麼規(guī)律？如何計算借款人的貸款餘額？

債券如何定價？等等四.生命表生命表（Lifetable）又稱生命表（mortalitytable），它是根據(jù)一定時期的特定國家（或地區(qū)）或特定人口群體（如壽險公司的全體被保險人、某企業(yè)的全體員工）的有關(guān)生存狀況統(tǒng)計資料，編制成的統(tǒng)計表。通過生命表可以得到任意年齡的人在任何期限內(nèi)的生存概率、死亡概率等相關(guān)數(shù)據(jù)。生命表在有關(guān)人口的理論研究、某地區(qū)或某人口群體的新增人口與全體人口的測算、社會經(jīng)濟政策的制定、壽險公司的保險費及責(zé)任準(zhǔn)備金的計算等方面都有著極為重要的作用。不同的人會死於不同的年齡，但是通過對大量的人死亡的年齡了研究之後，精算師就能估計出同樣年齡的一大群人中有多少會在20年之內(nèi)死亡，或者在另一個期間內(nèi)死亡。對於給定了年齡的一組人，計算他們的生命平均起來將在多少年內(nèi)結(jié)束是能夠做到的，這就是“生命的平均期望值”。這些數(shù)據(jù)對決策工作是至關(guān)重要的。壽險公司可以根據(jù)產(chǎn)品的不同、地域的不同、受保人群的不同、公司核保技術(shù)的不同或者市場策略的需要，採用不同的生命表。生命表舉例生命表的思想和方法可以用於許多領(lǐng)域五.保費厘定壽險定價的三要素：利率、死亡率、費用率。毛保費＝淨(jìng)保費＋費用保單中淨(jìng)保費的計算可從下麵的淨(jìng)保費價值方程中得出：

淨(jìng)保費收入的期望現(xiàn)值＝保險給付支出的期望現(xiàn)值對躉繳保費的保單，保費收入是確定的。而有些保單，其保費的繳納不是採用期初躉繳的形式，而是在一段時間裏多次繳納，具體的某筆保費繳納與否取決於被保險人是否處於生存正態(tài)，也就是說，壽險公司的保費收入取決於被保險人的未來生存時間，保費收入的現(xiàn)值和保險給付支出的現(xiàn)值都是隨機變數(shù)，但保費的大小不是隨機變數(shù)，是預(yù)期現(xiàn)值的函數(shù)。為了解這個方程，我們要假定被保險人的死亡率和未來可實現(xiàn)利率的值。定價基礎(chǔ)最終決定壽險公司銷售保單的效益。如果公司保費收取不足，就會造成虧損。因此，探討實際情況與定價基礎(chǔ)不符的影響，是非常重要的；如果將來實際情況比定價基礎(chǔ)中的設(shè)定情況好（假定按定價基礎(chǔ)設(shè)定情況所計算的保費是適應(yīng)市場銷售的），毫無疑問，這會增加公司的利潤。然而，如果實際情況較差，公司會陷入嚴(yán)峻的財務(wù)危機。六.保單價值和準(zhǔn)備金壽險保單的預(yù)期保單價值定義為：未來支出的預(yù)期現(xiàn)值—

未來收入的預(yù)期現(xiàn)值通常，支出是指在生命保險或生命年金形式下的保險給付和將發(fā)生的費用，而收入是指被保險人所要交的保費。事實上，從直觀上看，預(yù)期保單價值是壽險公司在允許有未來保費收入的情況下，為應(yīng)付保單所約定的未來保險給付而通過安全投資來儲備的資金金額。我們常常把保單價值用做衡量壽險公司償付能力的尺度，這就是保單價值的重要性。在實際中，當(dāng)計算了公司所有有效的保單價值之後，必須檢查公司是否有至少等於全部保單價值的資金。假定有這筆錢，就要設(shè)立金額等於保單價值的準(zhǔn)備金，並且，除了支付保險給付之外，不能挪做它用。保單準(zhǔn)備金是與保單價值相同金額的，為將來的賠付或返還而儲備的款項。估價基礎(chǔ)並不影響公司實際利潤等經(jīng)營情況——死亡率、費用、利率等都不受其影響我們不能認(rèn)為估價基礎(chǔ)會以某種方式影響公司的財務(wù)狀況，精算師對壽險公司的估價，是以精算師之見估計公司應(yīng)提存多少準(zhǔn)備金及公司是否有足夠資產(chǎn)建立這筆準(zhǔn)備金。這些準(zhǔn)備金是否充足，只能在將來實際經(jīng)營中驗證，準(zhǔn)備金是否充足的問題並不是直接由估價決定的。七.利潤測算

公司預(yù)期年末淨(jìng)現(xiàn)金流量總額，也就是每年收入與支出之間的差額。考慮到保單的長期性，其每年的利潤測算應(yīng)該是在做了必要的準(zhǔn)備金扣除之後的預(yù)期淨(jìng)現(xiàn)金流量。每年年初我們將建立的準(zhǔn)備金作為資產(chǎn)，將在該年獲得利息，這利息將作為利潤收入計入現(xiàn)金流量。在來年年底通過考慮當(dāng)時的有效保單的保單價值，在該年年底建立新的準(zhǔn)備金。這就意味著每年年底的準(zhǔn)備金將有所變化。這種變化將產(chǎn)生新的現(xiàn)金流量。如果來年所需的準(zhǔn)備金數(shù)額增加了，那麼該項現(xiàn)金流量顯然為負(fù)值，否則就為正值。我們可以用不同的計算基礎(chǔ)重複進(jìn)行利潤測試。我們要格外注意利潤預(yù)期對不同計算基礎(chǔ)的敏感程度。為此，我們把這個過程稱為敏感性分析。例如，我們會注意一個兩全保險的利潤對不同利率的敏感程度——我們知道利率對兩全保險是很重要的，因為提存的大量準(zhǔn)備金所生成的利息額取決於利率；我們也會注意定期壽險下利潤對不同的死亡率的敏感程度，因為我們知道死亡率對定期壽險的利潤關(guān)係重大，利潤測試的工作須經(jīng)過合理的敏感性分析才算完成。實例第一章利息與現(xiàn)金流量

第一章利息與現(xiàn)金流量

主要包括以下內(nèi)容：利息現(xiàn)金流量利率、終值與現(xiàn)值利息力現(xiàn)金流量的現(xiàn)值利息收入固定利率名義利率與名義貼現(xiàn)率價值方程和交易收益率第一節(jié)利息

利息與利率單利複利

利息與利率

利息(interest)指借用某種資本(capital)的代價或借出某種資本的報酬。即借債人除償還出借人(放款人)原來出借的資本外，還要支付一個附加的補償，這個補償叫做利息。單位本金在單位時間（一個計息期）所獲得的利息即效用利率(effectiverateofinterest)，又稱實際利率，簡稱為利率。單利假定一個單位本金的投資在每一個單位時間所得的利息是相等的，而利息並不用於再投資。按這種形式增長的利息稱為單利。如果一位投資者把總額為C的本金存入單利為i的帳戶(這期間沒有其他存款和提款)那麼，n年以後可得的利息為第n年末的本利和，則

複利

複利就是假定每個計息期所得的利息可以自動地轉(zhuǎn)成投資(本金)以在下一個計息期賺取利息一般地，如果將本金C存入複利為i的帳戶，我們假定之後沒有對該帳戶的存款和提款，設(shè)表示第n年末的本利和，那麼，第n＋1年的利息為

則第n＋1年末的本利和為

複利第二節(jié)現(xiàn)金流量

精算師在實際工作中經(jīng)常涉及到對各種現(xiàn)金流量(cashflows)的管理，現(xiàn)金流量就是在不同時期支出或收入的資金金額。例如，一家保險公司會得到保費和投資收入，並支出理賠和支付管理費用。從公司的角度，我們把保費和投資收入看作是具有正值的現(xiàn)金流量(指獲得的資金)，而理賠和管理費用的支出看作是負(fù)值的現(xiàn)金流量(指支出的資金)。主要包括以下內(nèi)容：一、償債抵押二、無息債券三、固定利息債券四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券五、基本人壽保險一、償債抵押假設(shè)一個人為了買一所房子，想從建設(shè)銀行或一家其他銀行借一筆錢。銀行可能會與他簽訂一個貸款合同，根據(jù)合同，借款者在每月月末支付一系列款項，一直到償還完全部貸款為止。獲準(zhǔn)用貸款購買的房地產(chǎn)通常作為該項貸款的抵押物。我們通常稱之為房屋抵押貸款。一、償債抵押例如，假設(shè)一家銀行準(zhǔn)備發(fā)放一筆80萬元的貸款，貸款分次償還，在20年內(nèi)每月償還5000元。從借款者的角度看，這項交易的現(xiàn)金流量如下所示：

注意，在上表中，時間是從貸款之日起按月計量的。二、無息債券

“無息債券”(zero-couponbond)是指這樣一種證券，它沒有固定的利息支付，而只是在未來的某一特定日期支付一筆約定的金額。例如，某種債券承諾在2010年10月1日支付給持有者70,000元，此外沒有其他支付，這種債券就是一種無息債券，假定在1998年10月1日這種債券的價格是35,160元，對於一個在這一天購買該債券的投資者來說，其現(xiàn)金流量如下所示：

三、固定利息債券政府或公司常常會通過發(fā)行債券的方式籌措資金，在許多情況下這種籌措資金以固定利息債券的形式出現(xiàn)，這種債券以某一個確定的名義金額的債券形式發(fā)行。最簡單的是：債券持有者在未來某些特定時間將得到約定金額的一次總付款以及一系列約定的利息報酬。在一些國家裏政府發(fā)行的固定利息債券通常被稱為“金邊債券”或“金邊證券”(“giltedgedstocks”或“gilts”)。三、固定利息債券例如，一個票息為7.6%，2016年到期的財政債券，持有一張這種面額為1,000元的債券的人有以下權(quán)利：每年獲得76元的利息，利息在每年9月30日支付，直到2016年9月30日(包括這一天也支付利息)，並且在這一天償還本金1,000元。設(shè)想一名投資者在1998年9月30日以P元的價格購買了這樣一張債券(剛好在當(dāng)時到期的利息被支付以後)。如果該投資者不必納稅並且持有該債券直至最後償付日(而不是在早一些時候賣出)，他這項交易的現(xiàn)金流量如下表1－3所示：

三、固定利息債券如果在上例中，利息改為分期支付，每半年支付一次(每次金額為38元)，利息在每年3月31日和9月30日支付，直到2016年9月30日(包括這一天也支付利息)，則他這項交易的現(xiàn)金流量如表1－4所示：

表1－4

四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券

傳統(tǒng)的固定利息債券每期的利息支付都是同樣的金額。如果經(jīng)濟活動中的通貨膨脹得不到控制，隨著時間的流逝，一定金額的貨幣的購買力會減少，尤其當(dāng)通貨膨脹率高時效果更為明顯。由於這種原因，一些投資人被這樣一種證券所吸引，這種證券的利息支付和最終本金返還的實際現(xiàn)金量是與一種反映通貨膨脹影響的適當(dāng)?shù)闹笖?shù)相關(guān)聯(lián)的。最主要的這種指數(shù)是零售物價指數(shù)(retailpricesindex)或簡稱為RPI。該指數(shù)的值每月公佈，有時要調(diào)整基準(zhǔn)。例如英國的指數(shù)是以1987年1月為100作為基準(zhǔn)的。8年以後的1995年1月，該指數(shù)值為146.0，從1987年1月至1995年1月，該指數(shù)和年平均增長率為4.844%。本書對指數(shù)關(guān)聯(lián)證券的不做詳細(xì)討論，但是，我們值得注意的是英國政府於1975年6月發(fā)行了指數(shù)關(guān)聯(lián)國民儲蓄存單(index-linkednationalsavingscertifiecates)並於1981年3月首次發(fā)行了指數(shù)關(guān)聯(lián)債券。四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券五、基本人壽保險

（一）定期壽險保單

◆定期壽險保單是這樣一種合同；當(dāng)保單持有人(即投保人)在保單規(guī)定期限內(nèi)死亡時，壽險公司一次性給付一筆保險金(sumassured)，這種保單的期限可能會很長(例如20年)，也可能會較短(例如一年甚至更短)。

◆定期壽險保單通常以每年支付一定保費的方式購買，保費通常(但不是必須)是固定金額。年保費通常在保單期限內(nèi)的每年年初支付，直到被保險人死亡終止或期滿，但是，偶爾保費也可能在較短一些的時期裏付清或者可以用單獨一筆保費購買保單（稱為躉繳保費）。五、基本人壽保險（一）定期壽險保單

◆例如，考慮如下這個期限為15年的定期壽險保單，保險金額為1,000,000元，每年初支付保費2,000元，保險金在死亡之年年末給付(在保單期限內(nèi))。這裏的保費金額相對較小，它反映出保單持有人的年齡較小以及相應(yīng)的死亡風(fēng)險費低。

◆如果保單持有人在投保第九年死亡，那麼從人壽保險公司的角度看，該保單能夠提供九次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，分別在0，1，2，…8時刻(從開始投保起按年計)，每次金額為2,000元，該保單在時刻9發(fā)生一次負(fù)值的現(xiàn)金流量(金額為－1,000,000元)。但是，如果保單持有人在保單期限內(nèi)沒有死亡，人壽保險公司將獲得每次金額為2,000元的15次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，並且不必返還任何款項。五、基本人壽保險（二）兩全保險保單兩全保險保單是這樣一種合同：當(dāng)被保險人在保險期內(nèi)死亡時，或在保險期滿時他還活著，壽險公司一次性給付一筆保險金。這種保單經(jīng)常以每年預(yù)付一定水準(zhǔn)的保費的方式購買、在被保險人死亡時或在保單期滿時終止?？紤]如下這個期限為15年的兩全保險保單，投保金額為1,000,000元，每年初支付保費58,000元，應(yīng)付死亡保險金在死亡之年年末支付。對於該保單來說，如果保單持有人在投保第九年死亡，那麼從人壽保險公司的角度看，該保單能夠提供九次數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量，分別在0，1，2，…，8時刻；以及在時刻9的一次數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量(金額為－1,000,000元)。如果保單持有人在保單期限內(nèi)沒有死亡，人壽保險公司將獲得15次每次金額為58,000元的數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量(在0，1，2，…，9時刻)以及在時刻10的一次數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量(金額為－1,000,000元)。五、基本人壽保險（三）年金保單兩全保險金是一次性地給付一筆保險金。年金保單是給付一系列有規(guī)律的返還款項作為保險金，年金給付的確切條件有明確的規(guī)定。最簡單的年金可能是這樣：在保單持有人生存期間，每年年末給付一定的水準(zhǔn)的款項，假如，設(shè)想現(xiàn)在發(fā)行一種為年齡60歲的女性準(zhǔn)備的保單，人壽保險公司一次性收取100，000元的保費，在保單持有人生存期間每年年末付9，400元。如果保單持有人在保單第t年死亡(即在6和7時刻之間死亡，時間是從發(fā)行保單之日起按年計算)，人壽保險公司的該合同的現(xiàn)金流量將包括在時刻0的一筆數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量(100，000元)和以後的在1，2，3，…6時刻的數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量(每次－9，400元)，但是如果保單持有人在保單生效後一年內(nèi)死亡，人壽保險公司，無論怎樣都不會發(fā)生數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量。還存在其他種類的年金保險合同，例如，保單條款可能會規(guī)定在保單持有人生存期間每年年末給付年金，但是給付次數(shù)有一個總的上限。這種保單被稱為定期生命年金。第三節(jié)利率、終值與現(xiàn)值一、實際利率與名義利率的含義 二、終值 三、現(xiàn)值 一、實際利率與名義利率的含義

（一）實際利率我們考慮一種投資，其本金和利息在固定期限的期末支付，沒有期中支付的任何數(shù)額的利息和本金。在討論利息問題中時間單位是個重要的概念，它可能是1個月或1年，在實踐中較常用的是一年，然而，在某些情況下，選擇一個其他的時間單位(例如6個月)也可能會簡化問題。設(shè)想一個從t時刻開始，期限為1時間單位的金額為1元的投資，假設(shè)在t

＋1時刻返還1＋i(t)，i(t)即前面提到的該時期的實際利率(effectiverateofinterest)，稱為實際利率是為了把它同下麵將討論的名義利率表面利率區(qū)分開來(ratesofnorminalorflatinterest)。如果假定利率不取決於投資的金額，那麼在t時刻的投資C在t

＋1時刻返還的現(xiàn)金是C［1＋

i(t)］。容易看出，C從時刻0到時刻n(n是整個正整數(shù))的本利總和為：一、實際利率與名義利率的含義（一）實際利率一、實際利率與名義利率的含義（二）名義利率

名義利率是相對於實際利率而言的。我們通過一個例子來說明名義利率的概念。

一、實際利率與名義利率的含義（二）名義利率二、終值

在一定的利率情況下，一筆款項A經(jīng)過K個時間單位後，其本利和成為B，我們稱B為A經(jīng)過K個時間單位後的終值，A為B在K個時間單位前的現(xiàn)值。以計息期為一年的情況來說，假定各年的利率水準(zhǔn)是不變的，初始時的1元到了1年後變成了（1＋i）元，

2年後變成了（1＋i）2，我們稱（1＋i）為1元錢在1年後的終值，稱（1＋i）2為1元錢在2年後的終值。例如，年利率為5%時，1元錢在1年後的終值為1.05元（圖1－1），12年後的終值為（1＋0.05）12=1.79586元（圖1－2）。一般地，1元經(jīng)過n年後變成了（1＋i）n，C元經(jīng)過n年後變成了元，我們稱（1＋i）n為1元錢在n年後的終值，稱C（1＋i）n為C元錢n年後的終值。

二、終值三、現(xiàn)值

三、現(xiàn)值第四節(jié)利息力

一、利息力與終值函數(shù) 二、利息力與現(xiàn)值函數(shù) 一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)一、利息力與終值函數(shù)二、利息力與現(xiàn)值函數(shù)

二、利息力與現(xiàn)值函數(shù)第五節(jié)現(xiàn)金流量的現(xiàn)值一、離散的現(xiàn)金流量 二、連續(xù)的現(xiàn)金流量 三、現(xiàn)金流量的估值 一、離散的現(xiàn)金流量二、連續(xù)的現(xiàn)金流量

二、連續(xù)的現(xiàn)金流量二、連續(xù)的現(xiàn)金流量到此為止，我們假定所有的支付，不論是離散的，還是連續(xù)的，都是正值，如果某人有一系列的收入款項(可以把它看作是正值)以及一系列的支出款項(可以看作是負(fù)值)，則它們的淨(jìng)現(xiàn)值(netpresentvalue)被定義為數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量總和與數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量總和的差。三、現(xiàn)金流量的估值

三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值三、現(xiàn)金流量的估值第六節(jié)利息收入

考慮這樣一位投資者，他不希望擴大本金，但是想獲得一種收入，同時保持他的本金固定在數(shù)額C上，如果利率固定為每單位時間i，並且投資者希望在每單位時間末端獲得利息收入，很顯然，他的收入將是在每個單位時間末端的iC，直至他提取了本金。第六節(jié)利息收入第六節(jié)利息收入第六節(jié)利息收入第七節(jié)固定利率

第七節(jié)固定利率這樣，為了在時間1能夠得到1元的返還，投資者必須在時間0投入(1－d)元資金。這就相當(dāng)於1單位時間後到期的1元錢，在單位時間裏產(chǎn)生的利息為d。因此d被稱為單位時間貼現(xiàn)率。為了避免與名義貼現(xiàn)率混淆，d有時被稱為單位時間實際貼現(xiàn)率。我們舉例來說明貼現(xiàn)率的概念。如果A有一張一年後到期的面額為100元的票據(jù)，他想立即到銀行兌現(xiàn)，銀行只給他兌現(xiàn)了90元，也就是說銀行扣去了10%，我們稱10%為實際貼現(xiàn)率，簡稱貼現(xiàn)率。例如，某人以8%的實際貼現(xiàn)率向銀行貸款100元，銀行將先收取8元的利息而只給92元，一年後，他向銀行償還貸款100元。顯然，實際貼現(xiàn)率是在一年內(nèi)的利息量（或稱貼現(xiàn)量）與期末資金總額的比率。第七節(jié)固定利率第七節(jié)固定利率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率

第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率因此，如果採用一個四分之一年作為基礎(chǔ)時間單位，並且使用3%作為實際利率，則我們可以簡單地估計未來的支付。也就是說，選擇與名義利率計息(轉(zhuǎn)換)頻率相符的期間為基本的時間單元，使用作為每單元時間的實際利率。例如，對於按月計息的年名義利率18%，我們便可以將一個月作為時間單位且1.5%作為每個時間單位的利率。第八節(jié)名義利率與名義貼現(xiàn)率第九節(jié)價值方程和交易收益率

第九節(jié)價值方程和交易收益率第九節(jié)價值方程和交易收益率第九節(jié)價值方程和交易收益率第九節(jié)價值方程和交易收益率第九節(jié)價值方程和交易收益率第九節(jié)價值方程和交易收益率第九節(jié)價值方程和交易收益率第二章確定年金第二章確定年金第一節(jié)年金的概念第二節(jié)確定年金的終值和現(xiàn)值第三節(jié)通用攤銷表第四節(jié)用年金償還貸款第五節(jié)支付頻率高於每單位時間1次的年金(每年支付多次)第六節(jié)支付頻率低於每單位時間1次的年金(多年支付1次)第七節(jié)連續(xù)年金第八節(jié)變動年金第九節(jié)n不是整數(shù)時，的定義第一節(jié)年金的概念在相同間隔的時間上進(jìn)行的一系列支付稱為年金。例如，在未來的十年中每年年末支付1,000元；從1998年至2015年每年年初3,800元。年金包括每年支付一次的年金，和每半年、每個季度、每月支付一次及支付更頻繁的年金。在現(xiàn)實生活中，年金的例子很普遍，如購買房屋、汽車等固定資產(chǎn)時的抵押分期付款。第一節(jié)年金的概念相鄰的兩個支付日期之間的間隔稱為支付週期，相鄰的兩個計息日期之間的間隔稱為計息週期。這裏的計息是指將到期得到的利息結(jié)轉(zhuǎn)為本金。年金的支付分為確定的和不確定的。這裏的確定是針對在相應(yīng)的時間點的支付與否和數(shù)額是否確定來說的。第一節(jié)年金的概念確定年金是指一定的時期內(nèi)在相同間隔的時間上，按既定的數(shù)額進(jìn)行的一系列支付。例如前面提到的用分期付款購買一個價值82萬元的房屋，在約定的時間點上支付與否和支付的金額都是確定的，可能是先付24萬元，然後在10年中每月末付款5500元。不確定年金又叫或有年金，是指在未來相應(yīng)的時間點上的支付是否發(fā)生是不確定的。這種年金的一個最常見的類型是，在未來的某些年內(nèi)在一個人的生存期間於每月月初支付一定數(shù)額的年金。這種年金在相應(yīng)時間點上的支付與否是由其時的生命狀態(tài)決定的，是事先無法確定的。這種年金叫做生命年金，我們將在本書的第三卷探討這種年金。每個支付週期末支付的年金稱作期末支付的年金，例如每年年末支付的年金、每月月末支付的年金；每個支付週期初支付的年金稱作期初支付或期首支付的年金，例如每年年初支付的年金、每個季度初支付的年金。在不至於發(fā)生混淆時，年金一詞一般指期末支付的確定年金。第二節(jié)確定年金的終值和現(xiàn)值

一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值二、期初支付年金的終值和現(xiàn)值三、永久年金四、延期年金一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值我們考慮在0時刻開始的n年中每年年末支付1元的年金。如圖2－1。

為了方便，我們把每年末支付1元、共支付n年的確定年金在第n年末（n時刻）的終值記為。第1年末（時刻1）支付的1元在第n年末（時刻n）的終值為(1＋i)n－1

，第2年末（時刻2）支付的1元在第n年末的終值為，…，第n－2年末（時刻n－2）支付的1元在第n年末的終值為，第n－1年末（時刻n－1）支付的1元在第n年末的終值為(1＋i)，第n

年末（時刻n）支付的1元在第n年末的終值為1，即

一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值類似地，我們把每年末支付1元、共支付n年的確定年金在第1年初（0時刻）的現(xiàn)值記為。第1年末（時刻1）支付的1元在第1年初（時刻0）的現(xiàn)值為v，第2年末（時刻2）支付的1元在第1年初的現(xiàn)值為，…，第n－1年末（時刻n－1）支付的1元在第1年初的現(xiàn)值為，第n

年末（時刻n）支付的1元在第1年初的現(xiàn)值為，即一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值一、期末支付年金的終值和現(xiàn)值例：假設(shè)貸款利率為9％，比較為期10年的1,000元貸款在以下列三種方式償還貸款的情況下將支付的利息總額。（1）全部貸款及利息累積額在第10年末一次性還清；（2）利息每年末支付，本金第10年末還清；（3）貸款在10年內(nèi)的各年末平均償還。解：(1)10年末貸款的終值是1,000×＝2,367.36支付的利息總額為2,367.36－1,000＝1,367.36（元）(2)每年貸款所賺利息1,000×0.09＝9010年的利息總額為10×90＝900（元）(3)設(shè)平均量為R，則R＝1,000於是R＝155.82支付的利息總量10（155.82）－1,000＝558.20（元）,由此可以看出，償還貸款越晚，則要支付的利息額就越高；相反，償還得越早，則要支付的利息量越少。但是，儘管三種情況下支付的利息總量是不同的，它們的現(xiàn)值都是1,000元。二、期初支付年金的終值和現(xiàn)值

考慮在0時刻開始的n年中每年年初支付1元的年金。如圖2－2。

我們把每年初支付1元、共支付n年的確定年金在第n年末（n時刻）的終值記為。第1年初（時刻0）支付的1元在第n年末（時刻n）的終值為，第2年初（時刻1）支付的1元在第n年末的終值為，…，第n－1年初（時刻n－2）支付的1元在第n年末的終值為，第n年初（時刻n－1）支付的1元在第n年末的終值為(1＋i)，即

二、期初支付年金的終值和現(xiàn)值

類似地，把每年初支付1元、共支付n年的確定年金在第1年初（0時刻）的現(xiàn)值記為。二、期初支付年金的終值和現(xiàn)值有如下關(guān)係式：期初支付年金的終值和現(xiàn)值=(1＋i)=1＋

三、永久年金

對於一個固定的利率i，、、和都是n的增函數(shù)，即隨著n的增長而增長。當(dāng)n趨於∞時，即年金的支付永遠(yuǎn)持續(xù)下去，我們稱這種永遠(yuǎn)持續(xù)下去而不中止的年金為永久年金或稱永續(xù)年金。期末支付和期初支付永久年金的現(xiàn)值分別用和表示。這樣，如果i>0，有

==

==

四、延期年金

假定m和n為非負(fù)整數(shù)。每筆金額為1，分別發(fā)生在時刻(m＋1),(m＋2),…,(m＋n)的n次數(shù)額為1的支付在時刻0的值表示為

=-=

第三節(jié)通用攤銷表

假定一個投資者在時刻0借出L，並得到n次償還，其中第r次金額為xr，到期時間為r(1≤r≤n)。假定借款在第r年的實際利率為i(1≤r≤n)。在許多情況下並不依賴於r，但是這樣會有利於考察更一般的情況。

令＝L,對於t＝1,2,…,n,令為在時刻t到期的償還額收到後的未清償貸款金額。時刻t償還的貸款額即為此時收到的償還額超過到期利息的部分。在第t次償還發(fā)生後的未清償貸款額也等於前一次償還發(fā)生的未清償貸款額與時刻t償還的貸款在金額的差。

令表示時間t所償還的貸款額，經(jīng)推導(dǎo)：注意只有在第t和t＋1年利率相同時，公式(2.25)才成立。特別地，當(dāng)利率在整個交易中保持恒定並且所有償還金額相等時，各次貸款償還金額構(gòu)成一個公比為1＋i的等比數(shù)列。第四節(jié)用年金償還貸款

考慮在單位時間利率為i的情況下，一筆在時刻0發(fā)生的數(shù)額為的貸款，分n次償還，每次還款金額為1，償還時間分別為1，2，…，n。貸款人可以建立一張表表示每次收到的償還額中利息和本金的構(gòu)成。在第t次償還發(fā)生後尚有(n－t)筆未償還金額，公式(2.23)表明未償還的貸款為

這樣，用第三節(jié)中的符號因此，時刻t的貸款償還額為

貸款人的攤銷表形式如表

第五節(jié)支付頻率高於每單位時間1次的年金(每年支付多次)

除了如前所述的基本確定年金，還存在支付頻率高於或低於計息頻率的確定年金，我們稱之為一般確定年金。第六節(jié)支付頻率低於每單位時間1次的年金(多年支付1次)

第七節(jié)連續(xù)年金

第八節(jié)變動年金

在現(xiàn)實生活中，我們常常會涉及到各年的支付數(shù)額不同的年金，例如，一筆在未來12年中每年年末的支付額分別為5,500、6,000、6,500、7,000、7,500、……10,500、12,000（元）的年金。根據(jù)基本原理，我們可以求得每次支付金額不完全相等的年金的現(xiàn)值(或終值)。例如，在未來n年中的時刻的支付額為的年金在第1年初（時刻0）的現(xiàn)值為：第三章生存模型與生命表第三章生存模型與生命表第一節(jié)簡單生存模型

生存狀況與生存模型新生嬰兒的未來生存時間年齡為x歲（x＞0）的人的未來生存時間未來生存時間的密度函數(shù)未來生存時間的密度函數(shù)

一、生存狀況與生存模型

通常，我們把壽險公司出售的合同稱為壽險保單。按壽險保單的約定，保險人（即壽險公司）將根據(jù)被保險人在約定時間內(nèi)的生存或死亡決定是否給付保險金。這種只有在特定事件發(fā)生時才給付的保險金稱作條件支付(contingentpayment)。其最重要特徵就是它發(fā)生的不確定性。一個人的未來生存時間是不確定的，只有在特殊情況下才是預(yù)先可知的。被保險人在未來某個時期的生死是一個不確定性事件，對這個不確定性事件的研究是壽險精算中最重要的工作之一，它決定著保險金的給付與否。它的研究把數(shù)學(xué)和生存與死亡概率結(jié)合在一起。從數(shù)學(xué)的角度，生存狀況是一個簡單的過程。這個過程有如下的特徵：存在兩種狀態(tài)：生存和死亡。單個的人──經(jīng)常稱作生命個體──可被劃分為生存者或死亡者，也就是說，我們可說出他們所處的狀態(tài)。生命個體可從“生存”狀態(tài)到“死亡”狀態(tài)，但不能相反。任何個體的未來生存時間都是未知的，所以我們應(yīng)從生存或死亡概率的探討而著手生存狀況的研究。生存模型就是對此過程建立的一個數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行清晰的描述，從而對死亡率的問題作出了一些解釋下麵就是生存模型可回答的例子：一個45歲的人在下一年中死亡的概率是多少?

假若有1000個45歲的人，那麼他們中有多少人可能在下一年內(nèi)死亡?

如果某一45歲的男性公民，在投保了一個10年的定期的某種人壽保險，那麼應(yīng)該向他收多少保費?一些特定因素(如一天吸50根煙)對於45歲的男性公民的未來生存時間的影響是怎樣的?二、新生嬰兒的未來生存時間

三、年齡為x歲（x＞0）的人的未來生存時間

四、未來生存時間的密度函數(shù)

（一）未來一年的生存與死亡概率（二）未來任意期限內(nèi)的生存與死亡概率（一）未來一年的生存與死亡概率（和）

（二）未來任意期限內(nèi)的生存與死亡概率

五、未來生存時間的密度函數(shù)

第二節(jié)死亡力

一、死亡力的概念二、關(guān)於死亡力的一個重要公式三、死亡力與未來生存時間的分佈函數(shù)，密度函數(shù)之間的關(guān)係四、兩個重要公式一、死亡力的概念

二、關(guān)於死亡力的一個重要公式：

三、死亡力與未來生存時間的分佈函數(shù)，密度函數(shù)之間的關(guān)係

四、兩個重要公式

第三節(jié)生命期望值

一、完全生命期望值二、簡單（整數(shù)化）未來生存時間三、簡單（整數(shù)化）生命期望值四、未來生存時間和簡單未來生存時間的方差一、完全生命期望值

二、簡單（整數(shù)化）未來生存時間

三、簡單（整數(shù)化）生命期望值

四、未來生存時間和簡單未來生存時間的方差

第四節(jié)生命表函數(shù)

一、生命表的概念二、函數(shù)三、函數(shù)一、生命表的概念

二、函數(shù)

三、函數(shù)

第五節(jié)延期死亡概率和非整數(shù)年齡的生命表函數(shù)

一、延期死亡概率二、非整數(shù)年齡的生命表函數(shù)（一）一年內(nèi)死亡時間均勻分佈假設(shè)（二）死亡力為常數(shù)的假設(shè)一、延期死亡概率

例：在某特定的人口群體中，所有年齡的死亡力為0.025，計算：年齡為10歲的人在12歲前死亡的概率。年齡為5歲的人在10-12歲死亡的概率。新生嬰兒的完全生命期望。新生嬰兒的簡單生命期望二、非整數(shù)年齡的生命表函數(shù)

（一）一年內(nèi)死亡時間均勻分佈假設(shè)（二）死亡力為常數(shù)的假設(shè)

第六節(jié)選擇表

一、生命表的種類二、選擇表一、生命表的種類

生命表一般分為國民生命表（nationallifetable）和經(jīng)驗生命表（experiencelifetable）兩大類。國民生命表是以全體國民或特定地區(qū)的人口生存狀況統(tǒng)計資料編制成的而經(jīng)驗表是人壽保險公司依據(jù)過去其承保的被保險人實際的生存狀況統(tǒng)計資料編制的。在同一時期內(nèi)，國民生命的死亡率一般要高於經(jīng)驗表的死亡率。

國民生命表又可分為完全生命表（completelifetable）和簡易生命表（abridgedlifetable）。完全生命表是根據(jù)準(zhǔn)確的人口普查資料，依年齡分別計算死亡率、生存率．平均餘命等生命函數(shù)而編制的簡易生命表則採取每年的人口生存狀況動態(tài)統(tǒng)計資料和人口抽樣調(diào)查的資料，按年齡段（如5歲或10歲為一段）計算的死亡率、生存率、平均餘命等生命函數(shù)。經(jīng)驗生命表又可分為終極表（ultimatetable）、選擇表（selecttable）、總合表（aggregatetable）等。終極表是指剔除了被保險人投保後5至15年的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，根據(jù)被保險人最終的死亡率編制的生命表，也就是按照承保選擇的影響消失後的死亡率來編制生命表。1958年美國保險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表是一種終極生命表。選擇表是一種不同與終極表的生命表。在人壽保險的承保過程中，經(jīng)過體檢等選擇的被保險人的死亡率等風(fēng)險低於一般人口的風(fēng)險，而且最近幾年選擇的被保險人的死亡率風(fēng)險低於前些年選擇的被保險人的死亡率風(fēng)險，考慮到這種選擇因素的影響之後編制的生命表稱為選擇表。總合生命表是指不考慮保險契約有效後經(jīng)過的年數(shù)，以整個保險期間為對象，根據(jù)不同年齡的被保險人的死亡率數(shù)據(jù)編制的生命表。由於根據(jù)人壽保險的經(jīng)驗數(shù)據(jù)編制的生命表不適用於年金保險，壽險公司常常要結(jié)合預(yù)測的將來較低的死亡率為年金保險專門編制一份年金生命表。人壽保險所使用的生命表一般都是靜態(tài)表，隨著社會科技與經(jīng)濟的發(fā)展，死亡率逐步降低，要定期地用根據(jù)較近經(jīng)驗數(shù)據(jù)編制的靜態(tài)表代替原來的靜態(tài)表。例如：美國1980年保險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表已取代了1958年保險監(jiān)督官標(biāo)準(zhǔn)普通生命表。該表是根據(jù)1970年至1975年的死亡率數(shù)據(jù)編制而成的，分為男性生命表和女性生命表，顯示了較低的死亡率。二、選擇表

對於生命表函數(shù)的所有概率公式適用於選擇表函數(shù)，例如：第四章基本生命保險

第四章基本生命保險第一節(jié)生命保險與生命年金 第二節(jié)生存保險(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值 第三節(jié)定期壽險(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值 第四節(jié)兩全保險及其預(yù)期現(xiàn)值 第五節(jié)終身壽險及其預(yù)期現(xiàn)值 第六節(jié)延期支付的生命保險 第七節(jié)基本生命保險的數(shù)值計算 第一節(jié)生命保險與生命年金

在這一章裏，我們將著重討論壽險公司幾種保險金。保險金是壽險公司的主要負(fù)債，將由壽險公司在未來的時間裏支付，具體支付時間視被保險人死亡時間而定。通常這些保險根據(jù)給付保險金方式的不同分為兩大類：（1）普通人壽保險：如果被保險人在某一期限內(nèi)死亡或活過某一期限，保險人將向被保險人給付一筆保險金，即一次性給付保險金。（2）年金保險：在約定期間當(dāng)被保險人活著時，保險人在相同間隔的時間上向被保險人多次給付一系列保險金。本書前兩卷講過人壽保險、確定年金等概念，為了便於讀者更清楚地理解有關(guān)的概念而不至於發(fā)生混淆，在本卷中，我們把普通人壽保險稱為生命保險，把以生存與否為支付前提的年金稱為生命年金。第一節(jié)生命保險與生命年金在上述情況中，我們只涉及按固定年實際利率計算的生命保險與生命年金的現(xiàn)值，這現(xiàn)值在某意義上代表了為了支付將來利益所需的資金(假設(shè)它投資能獲得的年實際利率為)。正如你將看到的，這個現(xiàn)值並不能精確知道，但可以作為隨機變數(shù)模型化，我們通過模型來研究這個現(xiàn)值的均值。我們假定被保險人死亡率和生存概率可以從給定的生命表中得到，並且，為了簡單起見，我們假定生命表採用終極生命表?！澳挲gx歲的人”在壽險精算中經(jīng)常使用，為了方便，通常把它縮寫為（x），舉例說，當(dāng)你看到“（x）死於n年內(nèi)”即“一個年齡為x歲的人在n年內(nèi)死亡”。現(xiàn)在，讓我們看一些特殊的保險金。第二節(jié)生存保險(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值

第二節(jié)生存保險(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值第二節(jié)生存保險(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值第二節(jié)生存保險(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值第二節(jié)生存保險(pureendowment)及其預(yù)期現(xiàn)值第三節(jié)定期壽險(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值

第三節(jié)定期壽險(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值

第三節(jié)定期壽險(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值

第三節(jié)定期壽險(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值

第三節(jié)定期壽險(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值第三節(jié)定期壽險(termassurance)及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險及其預(yù)期現(xiàn)值

第四節(jié)兩全保險及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險及其預(yù)期現(xiàn)值第四節(jié)兩全保險及其預(yù)期現(xiàn)值第五節(jié)終身壽險及其預(yù)期現(xiàn)值

第五節(jié)終身壽險及其預(yù)期現(xiàn)值第五節(jié)終身壽險及其預(yù)期現(xiàn)值第六節(jié)延期支付的生命保險

延期支付的保險給付是在將來支付的。例如，一個26歲的人考慮用保險金支付他退休之後死亡時的喪葬費用，於是，他投保了一份延期34年的終身壽險。如果人在退休前死亡，他工作期間的豐厚收入會解決其喪葬費用，如果在退休之後死亡，則保險公司會為他的一個很體面的葬禮支付保險金。這就是一份終身壽險，但延期了34年。第六節(jié)延期支付的生命保險第六節(jié)延期支付的生命保險延期生命保險預(yù)期現(xiàn)值的計算公式：第七節(jié)基本生命保險的數(shù)值計算

第七節(jié)基本生命保險的數(shù)值計算第七節(jié)基本生命保險的數(shù)值計算第七節(jié)基本生命保險的數(shù)值計算第七節(jié)基本生命保險的數(shù)值計算第七節(jié)基本生命保險的數(shù)值計算第七節(jié)基本生命保險的數(shù)值計算第七節(jié)基本生命保險的數(shù)值計算第五章基本生命年金內(nèi)容概要基本生命年金終身生命年金及預(yù)期現(xiàn)值定期生命年金及預(yù)期現(xiàn)值延期支付的生命年金生命保險與生命年金預(yù)期現(xiàn)值間的關(guān)係生命年金預(yù)期現(xiàn)值的數(shù)值計算基本生命年金介紹被保險人生存每年支付一次每次一元終身生命年金介紹生存期間每年支付，每次一元兩種形式第一筆款項立即給付（）第一筆款項一年後給付（）終身生命年金預(yù)期現(xiàn)值--第一種形式圖例說明11111111↓↓↓↓↓↓↓↓0．1．2．3．4．5．6.7.×8.

用表示，=化簡可得

=終身生命年金預(yù)期現(xiàn)值--第二種形式圖例說明

1111111↓↓↓↓↓↓↓0．1．2．3．4．5．6.7.×8.

用表示，=

和的關(guān)係：=－1定期生命年金介紹定期生命年金與終身年金相似，其區(qū)別在於定期年金的給付次數(shù)有一個上限，即為保險期間，用來表示。兩種形式第一筆款項立即給付第一筆款項一年後給付定期生命年金預(yù)期現(xiàn)值-第一種形式例如，考慮(x)的一個每年初給付1元的5年期定期生命年金。如果(x)在歲後某一時刻死亡，那麼支付的情形如下

11111↓↓↓↓↓0．1．2．3．4．5．6.

=定期生命年金預(yù)期現(xiàn)值-第二種形式例如，考慮(x)的一個每年末給付1元的5年期定期生命年金。如果(x)在歲後某一時刻死亡，那麼支付的情形如下

11111↓↓↓↓↓0．1．2．3．4．5．6.

=生命保險與生命年金的預(yù)期現(xiàn)值之間的關(guān)係

關(guān)係：=1－

(a)通過研究壽險和生命年金的預(yù)期現(xiàn)值

(b)通過公式的推導(dǎo)

(c)通過對一般意義的解釋及說明延期支付的生命年金前一章的延期生命保險是指其保險給付在將來支付的情況，而延期的生命年金也很普遍。其中最常見的例子是延期支付的退休年金。例如，一個機構(gòu)不會同意對現(xiàn)年25歲的人提供養(yǎng)老金，而要當(dāng)他的年齡達(dá)到60或65歲時開始支付，這種給付仍然是一種年金，但延期了35年或40年。生命年金預(yù)期現(xiàn)值的數(shù)值計算=－

=第六章一般年金與保險函數(shù)本章內(nèi)容第一節(jié)每年支付m次的生命年金第二節(jié)遞增壽險與年金

第三節(jié)死亡時立即給付的生命保險與連續(xù)支付的生命年金每年支付m次的生命年金–概念對於一份一年中支付次的生命年金，每年的次把一年分成了個間隔，在每個間隔初支付的年金，我們稱為期初支付，在每個間隔末支付的年金，我們稱為期末支付。例如，每月月末支付的生命年金稱為每年支付12次的期末支付的生命年金。每年支付m次的生命年金–預(yù)期現(xiàn)值終身生命年金

=定期生命年金

=遞增壽險—概念遞增終生壽險：目前年齡為的人的一個終身壽險，死亡年末支付保險給付，每年保險金遞增額為1。遞增定期壽險：可以按上述同樣方式定義定期年遞增保險，即在歲以後死亡，則無保險給付。

遞增兩全壽險：年齡為的人，如果在第年（1，2，…）死亡，則在該年末支付元保險金；如果生存至期滿（第年末），則在期滿時支付元保險金。

遞增壽險—預(yù)期現(xiàn)值遞增終生壽險

==遞增定期壽險

==－－遞增兩全壽險

=+遞增年金–概念遞增的終身年金：我們現(xiàn)考慮期初支付的遞增年金。對於一個年齡為x歲的人，在其未來生存期間的第j年初（1，2，…）支付金額為j遞增定期年金:在n年中每年年初支付的定期遞增年金可按同樣方式定義，只是支付將在至多年後停止。

遞增年金–預(yù)期現(xiàn)值遞增的終身年金

=

=遞增定期年金

=－

=遞增保險與遞增年金的關(guān)係終身遞增保險與終身遞增年金

=定期遞增壽險與定期遞增年金

=支付額按幾何級數(shù)增長的保險或年金例如：一個終身壽險合同，年齡為的人在死亡年末得到保險給付。給付在零時刻為1，每年以公比為1+b的等比數(shù)列的節(jié)奏遞增，或者說，以利率為b的複利增長水準(zhǔn)增長。相當(dāng)於新利率j下的單位遞增年金，其中

死亡時立即給付的生命保險--概念死亡保險金在死後的很短時間內(nèi)給付，只要索賠單證的有效性得以證明。因此，假設(shè)延至死亡年末給付就顯得不夠謹(jǐn)慎了，而假設(shè)死亡後立即支付保險金才是謹(jǐn)慎的態(tài)度。死亡時立即給付的生命保險—預(yù)期現(xiàn)值終身壽險

定期壽險

=定期兩全保險

=幾個近似演算法近似一：將一年中死亡發(fā)生時間看作是服從均勻分佈≈≈≈近似二：把終身或定期壽險當(dāng)作一年期延期定期壽險的加總

≈

≈連續(xù)支付的生命年金–概念前面我們探討了死亡時刻立即支付的生命保險，相應(yīng)地，連與而非每隔一時段支付一次的年金，也是在實際工作中起重要作用的函數(shù)。當(dāng)然，這在實踐中並不存在，但若支付十分頻繁，如每週或每天，這一假設(shè)也是合理的。連續(xù)支付的生命年金–預(yù)期現(xiàn)值連續(xù)支付的終身年金≈連續(xù)支付的定期年金

=死亡時立即支付的生命保險與連續(xù)支付的生命年金之間的關(guān)係終身壽險

=定期壽險

=死亡時刻立即給付的遞增生命保險死亡時刻立即給付的遞增終身壽險的連續(xù)遞增形式:對於目前年齡為歲的人，在其死亡時立即給付元。換言之，保險金額以每年遞增1元的速度線形增長。連續(xù)遞增形式的定期壽險及兩全保險死亡時刻立即給付的遞增生命保險的跳躍遞增形式：保險金額在死亡時刻給付，但不是連續(xù)增長，而是在每年末增長一個單位。連續(xù)支付的遞增生命年金連續(xù)遞增的終身生命年金：指一個年齡為x歲的人，在其生存期間以連續(xù)遞增的方式支付年金。

跳躍遞增的連續(xù)生命年金:增長情況為每年末增長1元。第七章壽險保費的計算原理

內(nèi)容介紹價值方程保費與淨(jìng)保費費用超常風(fēng)險分紅保險價值方程收入的預(yù)期現(xiàn)值＝支出的預(yù)期現(xiàn)值對於設(shè)定的保險給付金額，我們可以找到一個適當(dāng)?shù)耐侗Ｈ死U費標(biāo)準(zhǔn)，以支付此保險給付金額所需的成本和費用；同樣，如果設(shè)定了繳納的保費數(shù)額，我們就可以找到適當(dāng)?shù)谋ｋU給付與其對應(yīng)。保費保險費即投保人買各種保險而向保險人（保險公司）一次性支付或多次支付的費用，簡稱保費。保費的支付一般有以下幾種方式在保單生效時一次付清保費(躉繳保費)規(guī)定每年支付一定金額，保單生效時第一次支付，以後一直持續(xù)到被保險人死亡或達(dá)到約定的最大保費額度，常常即為保單約定的繳費期限(每年支付保費保單)。一年多次支付確定的保費，通常每月支付一次，在被保險人死亡或達(dá)到約定最大限額時停繳(月保費)。淨(jìng)保險費/純保費/風(fēng)險保費淨(jìng)保險費是指，在給定的假設(shè)死亡率與利率的情況下，為了實現(xiàn)保單中預(yù)期的生命保險或年金的給付需繳的金額。在這裏不計公司的營業(yè)等費用（淨(jìng)，這裏指除去費用的淨(jìng)）計算公式：淨(jìng)保費收入的期望現(xiàn)值＝保險給付支出的期望現(xiàn)值

精算計算基礎(chǔ)：死亡率假設(shè)、未來可實現(xiàn)利率假設(shè)利潤定義：保單終止時（死亡或保單到期）保費的價值減去保險給付與費用支出後的餘值，包含保單終止時已產(chǎn)生的利息。利潤的計算利潤=淨(jìng)保費收入的現(xiàn)值－保險給付支出的現(xiàn)值淨(jìng)保費價值方程應(yīng)用舉例–例1普通壽險保單的淨(jìng)保費(1)如果被保險人在保單開始時為x歲，實際利率假定為，保險金額為S，在保單有效期內(nèi)每年初支付保費額為P。求下麵兩種保險保單的淨(jìng)保費價值方程：(a)n年期定期壽險(b)n年期生存保險

(2)採用A1967-1970終極表，計算上面(a)與(b)中的P，已知S＝10000,x=39，n＝25，i＝4%(3)採用A1967-1970選擇表，計算上面(a)與(b)中的S，已知P＝1000,x＝20，n＝20，i＝4%

解：(1)所求價值方程為：(a)=(b)=

(2)(a)P＝20.14(b)P＝219.13(3)(a)S＝1358600(b)S＝31279淨(jìng)保費價值方程應(yīng)用舉例–例2年金保單的淨(jìng)保費一個60歲的人投保延期年金保險，從70歲起每年年末得到5000元的給付，60歲到70歲每年年初付一定金額的保費。已知：利率8％；死亡率採用英國a(55)婦女選擇表，其中＝6.965,＝0.87333,

＝0.58947,=7.3077。

(1)求淨(jìng)保費

(2)在不考慮費用的情況下，計算壽險公司因該保單而賺取利潤的概率。解：(1)由＝×得:＝2122.1(元)

(2)所交保費在70歲時的值為2122.1×＝33201.3元，假設(shè)在70歲之後又活了年，計算出使不等式5000>33201.3成立的最小整數(shù)為＝10,因此，80歲以後投保人的年金支付就超過了保費支付的值，公司獲利的可能性為:1－＝0.41053每年多次支付保費–例3考慮一份保險金額為20000元的兩全保險保單，被保險人現(xiàn)年40歲，保險期間為20年，保險金在死亡之年年末支付，或在保單期滿時支付；保費從現(xiàn)在起開始每月初支付直至期滿或被保險人死亡為止。已知設(shè)定年利率為4％，死亡率採用英國A1967-1970選擇生命表。計算每月應(yīng)交納的淨(jìng)保費。解：設(shè)P為所求應(yīng)繳月保費，則繳納保費的預(yù)期現(xiàn)值為12P≈12P

≈12P［13.772－0.4583(1－0.40902)］≈162.01P而給付的預(yù)期現(xiàn)值為:20000＝9405.80得：

P＝58.06（元）

費用常見的費用類型保單費用。它不依賴於保費或保險金額的多少，是固定的費用，例如：保單出立單據(jù)、每年更新資訊的開支，及一些允許的一般辦公費用。保費比例費用，主要包括付給經(jīng)紀(jì)人或出售保單中間人的傭金，習(xí)慣上按保費百分比計算.保險金比例費用，包括稅收及在承保時發(fā)生的的費用──如體檢費用。按照發(fā)生順序可分為初始費用，即在保單開始發(fā)生的費用，包括保單費用、保費比例費用和保險金比例費組合。續(xù)保費用，即繼續(xù)維持保單的費用，包括發(fā)保費催單、更新記錄等等，及續(xù)保傭金的費用。續(xù)保費用一般被假定在未來的支付期間裏會上漲。續(xù)保費用也包括每份保單費用，保費百分比的費用和（很少的）保險金百分比的費用。理賠費用，應(yīng)支付保險金時發(fā)生的費用。其大小或者和保險金額大小有關(guān)，或者是每種類型的保單收取固定的金額。

通貨膨脹對費用的影響

每份保單的續(xù)期費用不會總保持它們開始時的水準(zhǔn)，一般認(rèn)為會上升，因為壽險部門的經(jīng)營費用會受物價和工資膨脹的影響。傭金占保費率的百分比，不會受通貨膨脹的影響。而核算每份保單保費的費用成本，很顯然，需要對未來通貨膨脹率作出準(zhǔn)確的估計。如果我們假定一個固定的未來每年通貨膨脹率為j,則有：

′＝隱含費用

保險金的支出和保費收入都是隨機變動的(保費數(shù)額不是任意的，而支付的偶然性取決於被保險人生存與否，所以是隨機的)，於是壽險公司的實際收入減去支出在某一年可能是正的或負(fù)的。公司要保證在每一年支出不能比收入大很多，以至部門資金短缺。為此，它必須建立額外的基金來平衡在現(xiàn)金流量上的隨機變動性。用最簡單的話而言，公司會通過向投保人收取稍多些的保費，比預(yù)期保險金和費用的現(xiàn)值多些，來建立額外基金，這意味著公司不得不在保費方面合併一筆附加費用或形成一筆額外的利潤。隱含費用的實現(xiàn)方式：

通常這種額外利潤是不允許的，一般採用調(diào)整精算計算基礎(chǔ)中某些假設(shè)的差異來代替隱含費用。較低的利率假定死亡率、費用毛保費價值方程毛保費的預(yù)期現(xiàn)值＝支出的保險金的預(yù)期現(xiàn)值＋支出的費用的預(yù)期現(xiàn)值即收入的預(yù)期現(xiàn)值＝支出的預(yù)期現(xiàn)值

毛保費的價值方程舉例一個18歲的男性投保了一份養(yǎng)老金保險，按保單約定，在他60歲後可於每月初領(lǐng)取1000元的保險金，為此，他將於18～60歲期間的每月初繳納保費。已知保單的初始費用為月保費的60％加10元，續(xù)保費用每月為保費的10％；採用中國人壽保險經(jīng)驗生命表（1990－1993）（男），利率按7.5％計算。計算他應(yīng)繳納的月保費。設(shè)應(yīng)繳月保費為P元。根據(jù)題意，保險給付在60歲時的預(yù)期現(xiàn)值為

1000×12應(yīng)繳保費在18歲時的預(yù)期現(xiàn)值為P×12發(fā)生的費用在18歲時的預(yù)期現(xiàn)值為10％P×12+50％P＋10價值方程為：應(yīng)繳保費預(yù)期現(xiàn)值=發(fā)生的費用預(yù)期現(xiàn)值+保險給付在60歲時的預(yù)期現(xiàn)值求得P＝33.87487,即月繳保費33.88元。超常風(fēng)險含義:壽險公司在同意承保某被保險人之前，應(yīng)合理確認(rèn)被保險人的健康水準(zhǔn)符合可承保的標(biāo)準(zhǔn)。如果一個人身體有缺陷或從事危險性高的工作，就表明他比普通人有更大的死亡風(fēng)險，那麼對這些人按標(biāo)準(zhǔn)生命表計收的保費，就不能足以平衡支付給被保險人的死亡給付。處理方法為既定的給付水準(zhǔn)，徵收更高的保費以彌補額外死亡風(fēng)險帶來的費用。被保險人在保單期內(nèi)提前死亡，則削減保險金給付。拒絕對超常風(fēng)險承保。超常風(fēng)險模型年齡遞增法:是在計算保費時將弱體被保險人的投保年齡提高。比如，對一個40歲的弱體按50歲健康人的水準(zhǔn)收費。增加死亡力:指在分析、計算超常風(fēng)險時將死亡力增加一個固定值。其他方式:包括用一個固定常數(shù)或變化的係數(shù)乘以標(biāo)準(zhǔn)生命表的各年齡死亡率。

分紅保險的概念

保單持有人與保險公司分享投資利潤，這種保單稱為含利潤保單或分紅保單。分紅保單和不分紅保單的主要區(qū)別:於給定的保費分紅保單所承諾的保險給付是較低的。保險公司希望所收取的保險費在保險期間內(nèi)通過投資能積累成更多的金額，除了足以支付較低的保險給付(基本保額)和一些費用外，還可以把公司的期末紅利分配給保單持有人。

紅利的類型單利複利超複利單利形式的期末紅利原理：一個以單利計算的紅利只適用於保險金額。如果我們設(shè)定b為固定水準(zhǔn)的單利形式的紅利，基本保險金額為S。那麼一個保險合同期內(nèi)死亡的第1,2,…年支付的保險金額分別是:S+bs，S+2bS，S+3bS，……，這裏假設(shè)第一次分到的紅利加在保單第一年的初始。例子：一家壽險公司為一個35歲的人承保年繳保費的分紅終身壽險，死亡時給付保險金15000元，保費繳納期限為30年。為了計算被保險人每年應(yīng)交的保費，公司假定在承保第一年的初始給予一個以3%計算的單利形式的期末紅利。死亡率假定按生命表A1967-1970終極表計算，利率為4%。初始費用為第一年保費的60%，續(xù)保費用為以後各年(包括第一年)保費的5%。試計算被保險人每年應(yīng)交保費。解：保費減費用後的預(yù)期現(xiàn)值為:P-0.05P-0.55P=15.956P給付的預(yù)期現(xiàn)值:假定按平均水準(zhǔn)，死亡發(fā)生在各年的中點

15000[1.03＋1.06×1.09×1.12＋…］

解得P＝4