數(shù)學-專項01 全等三角形中的手拉手旋轉(zhuǎn)模型（原版）

專題01全等三角形中的手拉手旋轉(zhuǎn)模型【模型展示】特點在線段BCD同側(cè)作兩個等邊三角形△ABC和△CDE，連接AD與BE。結(jié)論（1）△BCE≌△ACD，△BCM≌△ACN，△MCE≌△NCD（2）AD=BE,∠AFB=60°（3）△MCN為等邊三角形（4）MN∥BD（5）CF為∠BFD的角平分線（6）FC+FE=FD【模型證明】解決方案

【模型拓展】其他相關(guān)模型及其結(jié)論結(jié)論：AE=CG且AE⊥CG結(jié)論：1、；2、若AM=GM，則其反向延長線DH⊥CE；3、【題型演練】一、單選題1．如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結(jié)，若，，則（

）A． B． C．4 D．2．如圖，C為線段AE上一動點（不與點，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯誤的是（

）

A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP3．如圖，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝5，AD＝AE＝2，點P，Q，R分別是BC，DC，DE的中點．把△ADE繞點A在平面自由旋轉(zhuǎn)，則△PQR的面積不可能是（

）A．8 B．6 C．4 D．24．如圖，在中，，點D、F是射線BC上兩點，且，若，；則下列結(jié)論中正確的有（）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，正和正中，B、C、D共線，且，連接和相交于點F，以下結(jié)論中正確的有（

）個

①

②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．16．如圖，點C是線段AE上一動點（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ，有以下5個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題7．如圖，、是兩個等邊三角形，連接、．若，，，則________．8．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AB'C'的位置，連接BC'，BC'的延長線交AB'于點D，則BD的長為_____．

9．如圖，是邊長為5的等邊三角形，，．E、F分別在AB、AC上，且，則三角形AEF的周長為______．10．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQAE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的結(jié)論有_____．（把你認為正確的序號都填上）三、解答題11．如圖，和都是等腰直角三角形，的頂點A在的斜邊上，連接．（1）求證：．（2）若，求的長．12．如圖，A、B、C在同一直線上，且△ABD，△BCE都是等邊三角形，AE交BD于點M，CD交BE于點N，MN∥AC，求證：（1）∠BDN=∠BAM；

（2）△BMN是等邊三角形．13．如圖1，B、C、D三點在一條直線上，AD與BE交于點O，△ABC和△ECD是等邊三角形．(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度數(shù)；14．在△AEB和△DEC中，AC、BD相交于點P，AE、BD相交于點O，AE＝BE，DE＝CE，∠AEB＝∠DEC．(1)求證：AC=BD；(2)求證：∠APB＝∠AEB．15．△ACB和△DCE是共頂點C的兩個大小不一樣的等邊三角形．

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點A，D，E在同一直線上，連接AE，BE．①求證：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度數(shù)．(2)類比探究：如圖2，點B、D、E在同一直線上，連接AE，AD，BE，CM為△DCE中DE邊上的高，請求∠ADB的度數(shù)及線段DB，AD，DM之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：如圖3，若設(shè)AD（或其延長線）與BE的所夾銳角為α，則你認為α為多少度，并證明．16．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點O，BD與AC交于點F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．17．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，H為線段EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），過點A作AG⊥AH且AG＝AH，連接GC，HB．（1）證明：AHB≌AGC；（2）如圖2，連接GF，HG，HG交AF于點Q．①證明：在點H的運動過程中，總有∠HFG＝90°；②當AQG為等腰三角形時，求∠AHE的度數(shù)．

18．在圖1、圖2中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．（1）如圖1，線段AN與線段BM是否相等?證明你的結(jié)論；（2）如圖1，線段AN與線段BM交于點O，求∠AOM的度數(shù)；（3）如圖2，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結(jié)論．19．已知：兩個等腰直角三角板△ACB和△DCE（AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°）如圖所示擺放，連接AE、BD交于點O．AE與DC交于點M，BD與AC交于點N．（1）如圖1（兩個等腰直角三角板大小不等），試判斷AE與BD有何關(guān)系并說明理由；（2）如圖2（兩個等腰直角三角板大小相等，即AC＝DC），在不添加任何輔助線的情況，請直接寫出圖2中四對全等的直角三角形．20．如圖1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．點D是AC中點，連接BD，過點A作AE⊥BD交BD的延長線于點E，過點C作CF⊥BD于點F．（1）求證：∠EAD＝∠CBD；（2）求證：BF＝2AE；（3）如圖2，將△BCF沿BC翻折得到△BCG，連接AG，請猜想并證明線段AG和AB的數(shù)量關(guān)系．

21．定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．(1)特例感知：如圖1，四邊形ABCD是“垂美四邊形”，如果，，，則______，______．(2)猜想論證：如圖1，如果四邊形ABCD是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．(3)拓展應用：如圖2，分別以的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知，，求GE長．22．兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點，并將它們的底角頂點分別對應連接起來得到兩個全等三角形，我們把這樣的圖形稱為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．

(1)請證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．23．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分別表示∠A，∠B的對邊，．記△ABC的面積為S．(1)如圖1，分別以AC，CB為邊向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．記正方形ACDE的面積為，正方形BGFC的面積為．①若，，求S的值；②延長EA交GB的延長線于點N，連結(jié)FN，交BC于點M，交AB于點H．若FH⊥AB（如圖2所示），求證：．(2)如圖3，分別以AC，CB為邊向形外作等邊三角形ACD和等邊三角形CBE，記等邊三角形ACD的面積為，等邊三角形CBE的面積為．以AB為邊向上作等邊三角形ABF（點C在△ABF內(nèi)），連結(jié)EF，CF．若EF⊥CF，試探索與S之間的等量關(guān)系，并說明理由．24．如圖，在Rt△ABC中，，AC＝BC，D為斜邊AB上一動點（不與端點A，B重合），以C為旋轉(zhuǎn)中心，將CD逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接A