北京市2020-2021學(xué)年高二年級上冊數(shù)學(xué)期末試題匯編：空間向量與立體幾何

北京市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：空間向量與立體幾何

選擇題（共4小題）

1.（2020秋?西城區(qū)期末）在正三棱錐P-ABC中，AB=3,PA=2,則直線與平面ABC所成角的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.（2020秋?大興區(qū)期末）已知空間向量1=（1,2,3）,則向量2在坐標(biāo)平面。盯上的投影向量是（）

A.（1,2,0）B.（1,0,3）C.（0,2,3）D.（1,0,0）

3.（2020秋?豐臺區(qū)期末）如圖，在三棱錐中，。是BC的中點，若礪=&,OB=b,OC=c,則通等

于（）

A.—a+b+cB.—a+h—cC.—a+—b+—cD.—a——b——c

2222

4.（2020秋?豐臺區(qū)期末）已知平面a,/?的法向量分別為d=（-l,2,4）,b=（x,-1,-2）,若駿上夕,則x的

值為（）

A.10B.-10C.-D.--

22

填空題（共4小題）

5.（2020秋?北京交通大學(xué)附屬中學(xué)期末）在邊長為2的菱形A38中，ZBAD=60°,將這個菱形沿對角線8。折

成60。的二面角，這時線段AC的長度為.

6.（2020秋?海淀區(qū)校級期末）如圖，若正三棱柱ABC-A8c的底面邊長為8,對角線8c的長為10,點。為AC

的中點，則點用到平面GB。的距離為—，直線的與直線3。所成角的余弦值為一.

71.(2020秋?西城區(qū)期末)如圖，正方體ABCE>-A46R的棱長為1，E,尸分別為BC，GA的中點，P是底

面A4GA上一點.若AP//平面5EF,則AP長度的最小值是；最大值是.

8.(2020秋?石景山區(qū)期末)己知三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱與底面垂直，體積為(，底面是邊長為6的正三角

形.若P為底面A與G的中心，則上4與平面ABC所成的角的大小為.

三.解答題(共11小題)

9.(2020秋?房山區(qū)期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，Q4_L平面MCZ),底面/WCD為正方形，PA=AB=2,

E為PD中點.

(I)求證：B￡>_L平面叢C；

(II)求二面角P—AC-E的余弦值；

10.(2020秋?北京交通大學(xué)附屬中學(xué)期末)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面45CD為正方形，PD_L平面45c￡),

PD=AB,點E,F,G分別為PC,PA,8C的中點.

(1)求證：PB1.EF；

(2)求證：FG//平面PC。；

(3)求平面￡FG與平面R4Z)所成二面角的余弦值;

(4)求直線DE與平面EFG所成角的大小.

11.(2020秋?平谷區(qū)期末)如圖，平面ABCD，平面CDE,四邊形ABCD是邊長為2的正方形，DC=CE,ZDCE=90°,

產(chǎn)為。E的中點，點尸在線段8E上.

(I)求證：?！阓1_平面8(才；

(II)若存在點P,使得平面CFP與平面所成二面角的余弦值為更，求理的值.

3BE

12.(2020秋?平谷區(qū)期末)如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)棱底面ABCD,E是的中點,

PA=2,AB=1,AD=2.

(I)求證：P8//平面ACE；

(II)求直線CP與平面ACE所成角的正弦值；

(III)求點P到平面ACE的距離.

13.(2020秋?西城區(qū)期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，P￡)_L平面ABCD,E為4)的中點，底面ABCD是邊長

為2的正方形，且二面角尸-BE-C的余弦值為遠(yuǎn).

(I)求的長；

(II)求點C到平面的距離.

14.(2020秋?石景山區(qū)期末)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCZ)是邊長為4的正方形，A/%￡)是正三角形,

CD_L平面叢。，E,F,G,O分別是PC,PD,BC,AZ)的中點.

(I)求證：「。_1_平面4夕8；

(II)求平面EFG與平面45c。所成銳二面角的大小.

15.(2020秋?石景山區(qū)期末)如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面438為正方形，B4_L平面M,N

分別為棱PD，8c的中點，PA=AB^2.

(I)求證：MN//平面P4B；

(II)求直線與平面PC。所成角的正弦值.

16.(2020秋?大興區(qū)期末)如圖四棱錐尸-舫8中，AMD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,ABLAD,

AD=2AB=2BC=2,PC=42,E為P￡）的中點.

(I)求直線P8與平面E4C所成角的正弦值;

(II)設(shè)尸是5E的中點，判斷點f"是否在平面PAC內(nèi)，并證明結(jié)論.

17.(2020秋?大興區(qū)期末)如圖，在長方體—中，AD=AA,=\,AB=2,￡為鉆的中點.

(I)證明：RE_LA。；

(II)求點E到平面ACR的距離；

(III)求平面與平面AC。夾角的余弦值.

18.(2020秋?豐臺區(qū)期末)如圖，已知正方體A8C￡>-A4￡R的棱長為2,M為A4,的中點.

(I)求證：48//平面〃<^.；

(II)求平面MCD,與平面GCR夾角的余弦值.

19.(2020秋?北京人民大學(xué)附屬中學(xué)期末)如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面4)EJ_平面ABCZ),O,M為線

段4),DE的中點，四邊形5s9是邊長為1的正方形，AE=DE,AEYDE.

(I)求證：CM//平面A3E；

(II)求直線上與平面4組所成角的正弦值；

(III)點N在直線AD上，若平面8MV_L平面ABE,求線段AV的長.

北京市2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末匯編：空間向量與立體幾何

參考答案

選擇題（共4小題）

1.【分析】由題意畫出圖形，取底面三角形的中心，可得直線上4與平面ABC所成角，求解三角形得答案.

【解答】解：如圖，

取底面正三角形ABC的中心O,連接PO,則PO_L底面ABC,

APAO為直線PA與平面ABC所成角.

連接AO并延長，角3C于。，可得池=亞-弓）2=當(dāng)，

AO=-AD=^,

3

在RlAPOA中，WcosZPAO=—,

PA2

即N2V?=30°.

直線R4與平面ABC所成角的大小為30。.

故選：A.

【點評】本題考查直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力與運算求解能力，是中檔題.

2.【分析】直接利用向量在平面上的投影，求出結(jié)果.

【解答】解：空間向量@=（1,2,3）,則向量1在坐標(biāo)平面。町上的投影向量是（1,2,0）,

故選：A.

【點評】本題考查的知識要點：向量在平面上的投影，主要考查學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【分析】由。為8c的中點，可得標(biāo)=g（通+/），^AB=OB-OA,AC=Od-代入即可得出.

【解答】解：因為。為8C的中點，

所以而」通+而），

2

y.AB=OB-OA,AC=OC-OA,

所以A￡j=」［（加-0n）+（0。-0區(qū)）］=-0/+,0月+,03=一色+46+,工

22222

故選：C.

【點評】本題主要考查了空間向量及其線性運算，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【分析】由可得平面a,￡的法向量的數(shù)量積為0,即可求解x值.

【解答】解：因為

所以平面a,6的法向量垂直，即d_L5,

所以無6=0,

因為。=（_］,2,4）,b=（x,-1,-2）,

所以&石=一%一2-8=0,

解得x=-10.

故選：B.

【點評】本題主要考查空間向量的數(shù)量積運算，考查向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查平面的法向量，屬于基礎(chǔ)

題.

二.填空題（共4小題）

5.【分析】取8。中點O,連接AO,CO,則AO_L3D,COA.BD,AO=CO=^3,NAOC是這個菱形沿對角線

折成60。的二面角的平面角，從而NAOC=60。，由此能求出AC.

【解答】解：在邊長為2的菱形中，410=60。，

將這個菱形沿對角線5。折成60。的二面角，

取必中點O,連接AO,CO,

則AO_L8Q,COVBD,AO=CO="^T=6

ZAOC是這個菱形沿對角線8。折成60°的二面角的平面角，

.\ZAOC=60°,

AC=\/3.

故答案為：.

【點評】本題考查線段長的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，

考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

6.【分析】先證C￡)_L平面再證CC；//平面可推出點G到平面48。的距離即為點C到平面的

距離CD,然后利用等體積法，即可得解；取4G的中點E,連接A￡,B、E,易知或其補(bǔ)角即為所求,

Ap

再證由tanNAgE=------得解.

11B.E

【解答】解：由正三棱柱的性質(zhì)知，84_1_平面48/1，

???CZ)u平面ABC,BB,±CD,

?.?正AAfiC,且。為AC的中點，..BDLCD,

又0|8。=8,BBt、30u平面BtBD,

.?.81■平面

，;CCJ網(wǎng),CGU平面BB[u平面B]BD,

.■.CG//平面片30，

.?.點C,到平面BtBD的距離即為點C到平面BtBD的距離8=gAC=4,

■.BD1.AC,平面ABC_L平面A41GC,平面ABCC平面A4.GC=AC,

.?.8。上平面A41GC，；.BDLC、D,

?：BtC=10,BC=8,:.CG=BB、=6,

:.CQ=JCC；+CZ)2=J36+16=2而,

設(shè)點見到平面CQD的距離為d,

匕L=9-c沖，

-x4x-BB.-BD=-d-C,DBD,即4x6="x2屈

3232

/12

..CI-=---屈--,

13

故點B,到平面C、BD的距離為兇1.

113

取AG的中點E,連接AE,B、E,則4E//B。，

4線E或其補(bǔ)角即為直線AB,與直線BD所成角,

vAD=C,E,AD//CtE,

.??四邊形AQGE為平行四邊形，

:.AEHCXD,AE=CQ=2屈,

?：BDLCQ,：.B.ErAE,

.??,￡=絲=平=羋,

B,E4V3

cosZAB.E=

15

直線的與直線皮）所成角的余弦值為述.

5

故答案為：馬叵；空

135

【點評】本題考查點到面的距離、異面直線夾角的求法，熟練掌握利用等體積法處理點到面的距離，以及利用平

移法找到異面直線所成的角是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

7.【分析】取AA的中點N,的中點利用線面平行的判定定理和面面平行的判定定理證明平面AMN〃平

面BE尸，結(jié)合已知條件可知點PeMV,在等腰A4AW中，即可求得"長度的最值.

【解答】解：取AQ的中點N,4內(nèi)的中點“，連結(jié)40，AN,MN,

由正方體43c，E,N分別為4G，A。的中點，

由中位線性質(zhì)可得⑷V/ABE,

又因為AN仁平面BEF,3Eu平面BEF,

所以A7V//平面應(yīng)尸，

因為E,F分別為Bg,GR的中點，

由中位線性質(zhì)可得所//4鼻，

同理可知MV//耳2,

所以MN//EF,

又因為MNC平面5EF,上/(=平面跳戶，

所以"N〃平面8EF,

又AN0|MN=N,AN,MNU平面AMV,

所以平面AWV//平面5砂，

因為P是底面A4G"上一點，且AP//平面3所，

所以點尸eA/N,

在等腰AAMN中，AP的長度最大時為APmM=AM=AN=/+夕=與,

當(dāng)叱的長度最小時，P為MN的中點，MN=—,

2

【點評】本題考查了點、線、面間的距離計算，涉及了線面平行和面面平行判定定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將

AP的長度轉(zhuǎn)化到等腰AAMV中求解.

8.【分析】利用三棱柱ABC-A4G的側(cè)棱與底面垂直和線面角的定義可知，NAPA為叢與平面AEC所成角.利

用三棱錐的體積計算公式可得A4,,再利用正三角形的性質(zhì)可得AP,在放△A4,「中，利用tanNAPA=4&，

可得結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，

A4t1底面ABC，???NAPA為Pk與平面AAG所成角，

?.?平面A8C〃平面ABC，；.乙4%為PA與平面A8C所成角.

<?"=-x（V3）=-.

=

"1'：fSttAac-Aisici*S.AfiiG=,,解得AR=6"

又P為底面正三角形A6G的中心，.?.42=；4。=1，

在用△A41P中，tan/4PA=外=6，

NAPA=60°.

故答案為：60°.

【點評】本題考查線面角，掌握正三角形的性質(zhì)、線面角的定義是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共11小題)

9.【分析】(I)證明PAA.AD,ABVAD.以A為原點，分別以鉆，AD,AP為x,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，計算A戶?8/5=0,ACBD=0,推出APJ_8r),AC±BD,然后證明3。_L平面24c.

(II)求出平面E4C的法向量，平面尸AC的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角尸-AC-E的余弦值.

【解答】(I)證明：因為P4_L平面ABCD,AB,AOq平面458,

所以F4_LAB,PA±AD.

因為底面ABCO為正方形，所以M_LA￡).

如圖，以A為原點，分別以AB,AD,/爐為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(0，0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),

AP=(0,0,2),AC=(2,2,0),BD=(-2,2,0),

因為衣?麗=(0,0,2)■(-2,2,0)=0,ACBD=(2,2,0)-(-2,2,0)=0,

所以APLBD,AC±BD,

又A,

APu平面RAC,ACu平面RIC,所以B￡)_L平面PAC.

(II)因為E為ED中點,所以E(0,1,1),荏=(0,1,1).

設(shè)平面E4c的法向量為元=(x,y,z),

AC-n=0,即（2x+2y=0,

則4

AEn=0,[y+z=0.

令y=l,則萬=（-1/，一1）.

由(I)知，而為平面PAC的法向量,

__4_76

所以cos<n,BD

~\n\\BD\~y/3-2y/2~3

由題知，二面角P-AC-E為銳角，所以其余弦值為好.

3

【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是

中檔題.

10.【分析】(1)推導(dǎo)出ADJ_CD.以。為原點，DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系。-孫z,利用向量法能證明尸

(2)推導(dǎo)出4)_L平面PCD.AD={-\,0,0)是平面PCD的法向量.求出尸C=(0,1,利用向量法能

2

證明FG//平面PCD.

(3)求出平面￡FG的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出平面EFG與平面尸AD所成二面

D-FG-E角(銳角)的余弦值.

(4)利用空間平面向量法求出直線DE與平面EFG所成角的正弦值，再由特殊角的三角函數(shù)值求得答案.

【解答】解：(1)證明：因為尸￡>，平面A8C。，所以PD_LAO,PDLCD,且底面A8CD為正方形，

所以AQ_LC￡>.以。為原點，DA,DC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系。-xyz,設(shè)“'=1,

則0(0,0,0),尸(0,0,1),8(1,1,0),E(0,g),F(1,0,1),G(；,1,0).PB=(1,1,-1),

—11--—.11

EF=(一,一一，0),PBEF=----+0=0.

2222

所以

(2)證明：由(1)知，PDVAD,ADA.CD,且

所以451.平面PCD.

所以而=(-1,0,0)是平面PCD的法向量.而=(0,1,--

因為F匕-4萬=0,且尸Gc平面PCD,

所以FG//平面尸CD.

(3)解：設(shè)平面比G的法向量為為=(x,y,z),

則《一，即1"，令x=l，得方=(1，1,2).

n-FG=0[2y-z=0

平面的法向量為C/5=(0,-1,0).

設(shè)平面EFG與平面所成二面角(銳角)為a,

\n-CD\y/6

則cosa=

\n\-\CD\~~^

所以平面￡FG與平面皿)所成二面Q-FG-E角(銳角)的余弦值為逅.

6

(4)如圖，連接￡>E,

.—.fi?2DE3y/3

2DE=(0,1,1),cose萬，2DE>=------

\n\-\2DE\而+夜-2

設(shè)直線DE與平面EFG所成角的大小為。，則啜8且sin"近，因此”工.

223

【點評】本題考查線線垂直、線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

11.【分析】(I)證明3C_LC￡>.推出3cl,平面CDE.得到3C_L￡)E.證明然后證明3E_L平面3b.

法二：(I)以C為原點，以C8,CE,8分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解

DECB=O,DECF=O,推出。E_LC3,DELCF,即可證明。E_L平面BCF.

(H)求出平面C儀的一個法向量，平面BCF的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解平面CFP與平面BCF

所成二面角的余弦值，推出義，即可得到絲=2.

BE3

【解答】(I)證法一：因為正方形A88,所以8CL8.

因為平面ABCD_L平面CDE,且平面ABCDC平面CDE=CD,

所以BC_L平面CDE...............................(2分)

因為￡>Eu平面CDE,

所以BCJLOE.

因為CD=CE,F為DE的中點，

所以CF_LQE,JiBCQCF=C,BCU平面BCF,CFu平面3c/，

所以￡>E_L平面3b..........................(5分)

證法二：因為正方形/WCD,所以8C_LCE>.

因為平面ABCD_L平面CDE,且平面ABCDC平面CDE=CD,

所以BC_L平面CDE..........................(2分)

所以BCLCE,

因為N」DCE=900所以3C,CE,CD互相垂直.

以C為原點，以C8,CE,8分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意C(0,0,0),3(2,0,0),。(0,0,2),E(0,2,0),F(0,1,1)____________(4分)

所以詼=(0,2,-2),CF=(0,1,1),CB=(2,0,0).

因為。月C月=0,。百CF=0,

即￡>EJ_CB,DE±CF,CfiQCF=C,

所以。E_L平面BCE_______________(6分)

(II)解：因為點P在線段BE上，設(shè)P(x,y,0).

所以存在zle[O,1),使得B戶=2麗.

因為麗=(x—2,y,0),麗=(-2,2,0),

所以卜"一2=-",所以尸(2-2/1,24,0).

[y=22

所以守=(2-22,2/1,0),...................(8分)

設(shè)平面CFP的一個法向量為n=(a,b,c),

則〔爐為=°，即尸2枚+2加。.

\CF-n=0[h+c=0

所以zi=(------,—1,1)???“.…（10分）

1—A

因為。E_L平面Bb,

所以平面的一個法向量是詼=（0,2,-2）,...............................（11分）

又因為平面CFP與平面BCF所成二面角的余弦值為更，

3

所以cos<DE,n>="I=.--------=—,........（13分）

向網(wǎng)、，虧x203

Y1—4

所以彳=2或2=2e[0,1]舍去.所以空=2...................（14分）

3BE3

【點評】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是

中檔題.

12.【分析】（I）連結(jié)如交AC于O,連結(jié)OE,證明尸3//OE,然后證明「3//平面ACE.

法二：以A為原點，以A8為x軸，以AD為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面ACE的一個法向量，求出

方=(1,0,-2),通過方?為=-2+0+2=0,證明P8//平面ACE.

(II)求出定=(1,2,-2),平面ACE的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線CP與平面ACE所成角的

正弦值.

(III)設(shè)點尸到平面ACE的距離“，利用d=|空勺求解即可.

1?1

【解答】(I)證明：連結(jié)3Z)交AC于O,連結(jié)OE,

因為四邊形ABC。是矩形，所以O(shè)為友)中點.

又因為E是P￡>的中點，所以PB//OE,_____(2分)

因為P8C平面ACE,OEu平面ACE,

所以/%//平面ACE....................(4分)

法二：

證明：四棱錐P-/WCZ)的底面是矩形，側(cè)棱R4_L底面ABC￡>,因此以A為原點，以4?為x軸，以4)為)，軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

所以P(0,0,2),C(l,2,0),。(0,2,0),E(0,1,1),8(1,0,0)...........(2分)

設(shè)平面ACE的一個法向量為萬=(a,b,c)..................(3分)竺一〉

nAC=o

(a=-2

Q+2b=0/八、

即:=></?=!=>n=(-2,1,-1)..................(5分)

因為方=(1,0,-2),所以麗?元=一2+0+2=0..................(6分)

又因為「8仁平面ACE,所以PB//平面ACE........................(7分)

(H)解：設(shè)直線CP與平面ACE所成角為。，

由前=(1,2,-2),平面ACE的一個法向量為萬=(-2,1,-1)

所以sin6=|cos<PC,ri>|=1''">=-,

|PC|-|?|3遍9

即直線CP與平面ACE所成角的正弦值為邁..一.........(11分)

9

（Ill）解：設(shè)點P到平面ACE的距離“，則d=|絲勺

\n\V63

所以點尸到平面的距離邁.........（14分）

3

【點評】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，點到平面距離的求法，考查空

間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

13.【分析】（I）依題意，DA,DC,DP兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系。-肛z.設(shè)尸。=版〃>0）.求出

平面尸母的法向量，求出平面A8CZ）的一個法向量，利用空間向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可.

（II）平面PEB的法向量，結(jié)合前=（-2,0,0）.利用空間向量距離公式求解點C到平面阻的距離.

【解答】解：（I）依題意，DA,DC，叱兩兩互相垂直，如圖

建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z......（1分）

設(shè)PD=h(h>0).

由題意得E(l,0,0),8(2,2,0),P(0,0,h).

所以方=(1,0,-〃),￡8=(1,2,0).

設(shè)平面的法向量為元=(x°,y°,z0),

[n-PE=0

則nit一,

n-EB=0

即1。-了=。，……(4分)

[%+2%=0.

2

令％=2，則%=-1，z=-.

0h

于是元=(2,-1,—)......(6分)

h

又因為P0_L平面ABCD,

所以平面ABC。的一個法向量為比=（0,0,1）......（7分）

2

依題意，有cos〈所㈤=1h=旦,....（9分）

⑹洲6E6

解得h=2>

所以PQ=2......（10分）

（H）由（I）得，平面PEB的法向量為萬=（2,-1,1）......（11分）

又C（0,2,0）,

所以而=（一2,0,0）.......（12分）

所以點C到平面PE3的距離為此型=亞......（14分）

1?13

【點評】本題考查二面角的平面角的求法，空間點線面距離的求法，考查空間想象能力，轉(zhuǎn)化思想以及計算能

力.

14.【分析】（I）推導(dǎo)出PO_LAO,POVCD,由此能證明20_1面A8C/）.

（II）以O(shè)點為原點，分別以。4、OG、。產(chǎn)所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法

能求出平面EFG與平面ABCD所成銳二面角.

【解答】證明：（I）因為是正三角形，。是4）的中點，所以POJ_AT）.

又因為C￡>_L平面E4D,POu平面R4Q,所以PO_LC￡>.

AD^CD=D,4）u平面MCD,C￡）u平面A8C￡）,

所以尸O1■面ASC￡）.

解：（H）如圖，以O(shè)點為原點，分別以。4、OG、OP所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則0(0,0,0),A(2,0,0),8(2,4,0),C(-2,4,0),0(-2,0,0),G(0,4,0),尸(0,0,2折,

￡(-l,2,上),F(-l,0,揚(yáng)，

EF=(0,-2,0),西=(1,2,-6),

設(shè)平面EFG的法向量為成=(x,y,z),

則產(chǎn)號=-2)，=0,令z=i,則沅=(5o,1),

tn-EG=x+2y-\J3Z=0

又平面的法向量a=(0,0,I),

設(shè)平面ERG與平面ABCD所成銳二面角為0,

所以平面EFG與平面ABCD所成銳二面角為-.

【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等

基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

15.【分析】(I)取R4的中點￡,連接￡B、EM,證明四邊形是平行四邊形.然后證明MN//平面.

(〃)如圖建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面PCD的法向量，求出麗=(2,0,-1).利用空間向量的數(shù)量積求解即可.

【解答】解：(I)證明：在四棱錐P-/1BCD中，

取上4的中點E,連接EB、EM.

因為M是PD的中點，

所以初///4),且EM='A￡>.

2

又因為底面ABC。是正方形，N是3c的中點,

所以8N//AO,月

2

//

所以EM=BN.

所以四邊形A?VBE是平行四邊形.

所以MN//EB.

由于￡Bu平面R43,MNU平面P4B,

所以MN//平面PAB.

(〃)因為底面AB8是正方形，所以Afi_LAT>.

又因為E4J_平面MCZ).

所以以點A為坐標(biāo)原點，AB.AD,AP分別為x、y、z軸，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),N(2,

1,0).PC=(2,2,-2),CD=(-2,0,0),

設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z).

有：4__,即《令y=l,則z=l,

m-CD=0,[x=。，

所以而=(0,1,1).麗=(2,0,-1).

設(shè)直線MN與平面PCD所成角為6.

有：sin”gs〈而同二網(wǎng)㈤=62+二02㈠)1?叵

\MN\-\m\V5xV210

所以直線MN與平面28所成角的正弦值為巫.

X

【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，是中檔題.

16.【分析】(I)先根據(jù)已知條件尋找三條直線兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，得到點的坐標(biāo)，然后求出平面抬C

的一個法向量，最后根據(jù)線面所成角的公式進(jìn)行求解；

(II)先求出點尸的坐標(biāo)，然后設(shè)方=xN+y而，尋找滿足條件的x與y,從而可判定點尸是否在平面以C

內(nèi).

【解答】解：(I)取用)中點O,連接PO,CO,由已知AMD是以4)為斜邊的等腰直角三角形，

:.PO±AD,又A￡)=2,PA=PD=yf2,PO=OD=l,

_1

而AB_LAT>,AB=\,BC=-AD=\,

2

所以四邊形ABCO為正方形，即AD_LCO,

而PC=0,PO=1,OC=I,所以PC2=PO2+OC2,即poj_oc,

而A￡)noC=O,所以尸O_L平面ABC。，

以O(shè)C為x軸，8為y軸，。尸為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以P(0,0,1),A(0,-1,0),C(1,0,0),8(1,-1,0),

設(shè)平面PAC的一個法向量為n=(x,y,z),

而用=(0,-1,-1),AC=(1,1,0),麗=(1,-1,-1),

由卜.竺=。得尸-z；。，可取—]),

設(shè)直線依與平面抬。所成角為e,

則sin0=|cos<P反元>|='P*=匚?廠=-,

\PB\\n\x/3xV33

所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為工；

3

(II)E在平面B4c內(nèi)，

證明：E為PD中點，由(I)知E(0,g),又F是BE的中點，所以F(g,

CP-(-1,0,1),C%=(-l,-l,0),CF=

244

——=-x-y

21

x=-

14

]^CF=xCA+yCP即——=-x解得

f4

1

故有唯—組實數(shù)對（J，）使得行'=，徐+，而，

因此符合向量基本定理，故C戶與C4,CP共面，即P在平面R4C內(nèi).

【點評】本題主要考查了直線與平面所成角，以及向量共面定理，解題的關(guān)鍵是利用空間向量的方法求解立體幾

何問題，同時考查學(xué)生空間想象能力，屬于中檔題.

17.【分析】（I）通過證明AOJL平面ARE,得出AE_LA￡＞；

（11）分別以〃4、DC、D1為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACR的一個法向量，再求出麻

的坐標(biāo)，由空間向量求距離公式求解；

（III）求出平面AjE的一個法向量，結(jié)合（II）中求出的平面AC.的一個法向量，由兩平面法向量所成角的

余弦值求解平面AQE與平面AC&夾角的余弦值.

【解答】（I）證明：平面AO。/,A〃u平面AORA，

AEYA^D,

?.?四邊形A。。A是矩形，AD=AAt,

四邊形AQAA是正方形，.?.A.DIAD,,

又A"u平面ARE,AEu平面4RE,AD^AE=A,

.??A。，平面ARE,又。Eu平面平面ARE,

:.D,EVA,D.

（II）解：分別以D4、DC、DD,為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

A(\,0,0),C(0,2,0),D,(0,0,1),E(1,1,0),

D]E=(1,1,—1),ADX=(-1,0,1),AC=(-1,2,0),

設(shè)平面的一個法向量是h=(K,y,z),

,n?AD、=-x+z=0g“八1

由<___,?。?1,得ZH后=(1,—,1),

n-AC=-x+2y=02

■_rxpI|1H---1|[

由點到平面的距離公式，得點E到平面ACR的距離d=I"=，2=-

1利,1,3

J1+-+1

V4

(III)解：由(II)得，平面4C。的一個法向量是萬=(l,g,l),

又AE=(0,1,0),AD}=(-1,0,1),

設(shè)平面A0E的一個法向量為戊=(5,凹,馬),

,\lfl'AE=Vi=0e_.z?

由〈_.1,取4=1,可得沅=(1,0,1),

ifi-A。=一斗+4=0

……m-ri1+12亞

/.cos<in,n>=-------=------=----

|詡卜|”|3

2

又平面A。1七與平面ACD］的夾角為銳角,

二.平面A￡>￡與平面ACR的夾角的余弦值為半.

【點評】本題考查直線與平面垂直的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間

距離及空間角，是中檔題.

18.【分析】(I)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-邛.求出平面MCR的法向量為"，A耳=(2,0,-2),計算A瓦〃=0,

即可證明AB//平面MC".

(II)利用平面MCD1的法向量4，平面GCQ的法向量為AD=(0,2,0),結(jié)合空間向量的數(shù)量積求解平面MCR

與平面GCA夾角的余弦值即可.

【解答】(I)證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

因為正方體A8CZJ-A4GA的棱長為2,A(0,0,0)是A(0,0,0)的中點，

所以A(0,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),M(0,0,1),

0