專題2.8 圓的最值、范圍問(wèn)題（強(qiáng)化訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)突破及混淆易錯(cuò)規(guī)避（人教A版2019）（解析版）

專題2.8圓的最值、范圍問(wèn)題題型一圓到直線有關(guān)距離的最值范圍題型二斜率型題型三直線型題型四距離型題型五面積的最值范圍題型六數(shù)量積的最值范圍題型一 圓到直線有關(guān)距離的最值范圍1．已知圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，軸上一點(diǎn)，則的最小值等于.【答案】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求解；【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圓，以及點(diǎn)B（6，1）的圖象如圖，作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接圓心與，則與圓的交點(diǎn)A，即為的最小值，為點(diǎn)（0，2）到點(diǎn)（6，-1）的距離減圓的半徑，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查“將軍飲馬”知識(shí)，數(shù)形結(jié)合的思想，畫(huà)出圖形，做出B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是解決本題的突破點(diǎn)；2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Q為圓M：上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)圓M外一點(diǎn)P向圓M引-條切線，切點(diǎn)為A，若|PA|=|PO|，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用|PA|=|PO|，兩點(diǎn)間距離公式，以及勾股定理得出，可得點(diǎn)P在直線上，將的最小值轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離減去半徑求解.【詳解】設(shè)，則有，所以，設(shè)圓心到直線2x+2y=1的距離為d，，則有PQ.故選：C【點(diǎn)睛】充分利用信息，將的最小值轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離減去半徑是解這個(gè)題目的關(guān)鍵.3．（多選）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn).若內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)M滿足.則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．線段BM長(zhǎng)度的最大為 B．的最大值為C．面積的最小值為 D．的最小值為【答案】BD【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)圓上得點(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離的最值問(wèn)題即可判斷AC；由即可判斷B；取最小值時(shí)，取最大值，也即與圓相切時(shí)，即可判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以圓心為，半徑的圓不含原點(diǎn)，A項(xiàng)：，所以，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)：，故B正確；C項(xiàng)：直線，即，圓心到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為，所以面積的最小值為，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：由題意得為銳角，則取最小值時(shí)，取最大值，也即與圓相切時(shí)，此時(shí)，故，故D正確.故選：BD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，是解決本題的關(guān)鍵.4．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為：上的動(dòng)點(diǎn)，直線：，若到的最小距離為，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】先求得圓心到直線：的距離d，再根據(jù)點(diǎn)到的最小距離為，再由求解.【詳解】圓心到直線：的距離為：，因?yàn)辄c(diǎn)到的最小距離為，所以，即，又因?yàn)?，所以，故選：C5．已知直線與圓，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】確定圓心和半徑，計(jì)算圓心到直線的距離，再計(jì)算最小值得到答案.【詳解】圓，圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，直線和圓相離，故圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：B6．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓(常數(shù))上的動(dòng)點(diǎn)，若最大值為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圓的幾何性質(zhì)和最大值求參數(shù).【詳解】易知，，解得，故選：C．題型二 斜率型7．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值和最小值分別為（

）A．、 B．， C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義：圓上點(diǎn)與原點(diǎn)所成直線的斜率，結(jié)合直線與圓關(guān)系求其最值即可.【詳解】圓，圓心，半徑為，令，即，的最值，是圓心到直線的距離等于半徑時(shí)的k值，∴，解得，∴的最大值為，最小值為．故選：B8．已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值和最小值的和是（

）A．1 B．0 C． D．【答案】B【分析】作出圖形，將視為斜率，進(jìn)而結(jié)合圖形得到答案.【詳解】由題意，，表示以（2,0）為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)P（x,y）與原點(diǎn)連線的斜率，如圖：易知，當(dāng)直線與圓相切時(shí)分別取得最大值和最小值設(shè)切線為：，于是圓心到切線的距離故的最大值和最小值的和是0故選：B9．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則下列關(guān)于的最值的判斷正確的是（

）A．最大值為2＋，最小值為—2－B．最大值為2＋，最小值為2－C．最大值為－2＋，最小值為－2－D．最大值為—2＋，最小值為2－【答案】B【分析】根據(jù)幾何意義，把可看作圓上任意一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，利用幾何法求最值.【詳解】可化為.可看作圓上任意一點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率.記，則，記為直線l.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，k可以取得最值.此時(shí)圓心到直線的距離，解得：.所以.故選：B.10．（多選）實(shí)數(shù)，滿足，則下列關(guān)于的判斷正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】CD【分析】由題意可得方程為圓心是，半徑為1的圓，則為圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的斜率的值，由點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系可得選項(xiàng)．【詳解】由題意可得方程為圓心是，半徑為1的圓，則為圓上的點(diǎn)與定點(diǎn)的斜率的值，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，即，則圓心到到直線的距離，即，整理可得，解得，所以，即的最大值為，最小值為.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系和由幾何意義求最值的問(wèn)題，屬于中檔題．11．（1）已知實(shí)數(shù)z、y滿足方程，求的最小值；（2）若實(shí)數(shù)x、y滿足方程，求代數(shù)式的取值范圍.【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）轉(zhuǎn)換為圓上動(dòng)點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)連線的斜率問(wèn)題.通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解即可；（2）轉(zhuǎn)換為圓上動(dòng)點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)連線的斜率問(wèn)題.通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)，則y-1=kx-2k，y=kx-2k+1.設(shè)，，則，故，，解得.則的最小值是0.（2）設(shè)，則，①∵方程可化為，故可將①式寫(xiě)成，構(gòu)造向量，，則，，.由，得，解得，故所求的取值范圍是.題型三 直線型12．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最小值和最大值分別為（

）A．-9，1 B．-10，1 C．-9，2 D．-10，2【答案】A【詳解】即為y－2x可看作是直線y＝2x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝2x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)，解得b＝－9或1．所以y－2x的最大值為1，最小值為－9．故選A.13．實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值和最小值之和是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】將原式平方化簡(jiǎn)得，化為參數(shù)方程，將化簡(jiǎn)，結(jié)合輔助角公式計(jì)算得解.【詳解】實(shí)數(shù)x，y滿足，平方得，其中，整理得，其中，令，其中，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的最大值和最小值之和?故選：A.14．已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【答案】20【分析】整理可得為半圓，再將轉(zhuǎn)化為到直線的距離的5倍，進(jìn)而根據(jù)到直線的距離的最小值求解即可.【詳解】由整理得，可知其圖象是半圓，圓心為，半徑為.又，其幾何意義為點(diǎn)到直線距離的5倍，故分析點(diǎn)到直線距離的最小值即可.如圖，作直線，點(diǎn)C到直線的距離，所以到直線的距離的最小值為，即的最小值為4，所以的最小值為.故答案為：2015．已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的最大值和最小值分別為和.【答案】【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，令，依題意直線與圓有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于等于半徑，即可得到不等式，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，即，表示以為圓心，半徑的圓，令，即，則圓心到直線的距離，解得，所以的最大值為，最小值為；故答案為：；；16．已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】函數(shù)式化簡(jiǎn)后知函數(shù)圖象是半圓（下半圓），所求最小值表達(dá)式變形后可能通過(guò)半圓上的點(diǎn)到直線的距離來(lái)表示，從而由圓心到直線的距離可得出最小值．【詳解】式子變形為，又，因此函數(shù)圖象是圓在下方的半圓，如圖，作出直線，平移該直線，由圖可知它能與下半圓相切，表示點(diǎn)到直線的距離．圓心為，半徑為1，，因此到直線的距離的最小值是，所以的最小值是．故選：A．題型四 距離型17．直線與圓相切，則的最大值為（

）A．16 B．25 C．49 D．81【答案】C【分析】利用圓與直線的位置關(guān)系得出的方程，根據(jù)方程分析利用表示的幾何意義求解即可.【詳解】由直線與圓相切可得：圓心到直線的距離等于圓的半徑，即，故，即點(diǎn)在圓O上，的幾何意義為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的平方，由圓心為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為圓心到的距離與圓半徑之和，即，所以的最大值為.故選：C.18．已知實(shí)數(shù)滿足方程，則的最小值為.【答案】/【分析】由圓的性質(zhì)求解，【詳解】方程可化為，是圓心，半徑為的圓，是圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)的距離為2，故的最小值為，故答案為：19．已知實(shí)數(shù)，滿足方程，則的取值范圍為；的最小值為.【答案】【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)求橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）表示圓上的一點(diǎn)與距離的平方與1的差，由平面幾何知識(shí)知，過(guò)和圓心的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處分別取得最大值和最小值，即可求解.【詳解】解：由題意得（1）方程可化為，圓心，半徑為2.，的取值范圍為.（2）表示圓上的一點(diǎn)與距離的平方與1的差.由平面幾何知識(shí)知，過(guò)和圓心的直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處分別取得最大值和最小值.又圓心到的距離為，所以的最小值為.故答案為：；.20．已知點(diǎn)P(m，n)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為，最小值為，的范圍為．【答案】644【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在圓上點(diǎn)到距離的平方、到原點(diǎn)的距離范圍，結(jié)合點(diǎn)圓關(guān)系確定最值和范圍.【詳解】由圓C的圓心為，半徑為3，且P在圓上，則表示在圓上點(diǎn)到距離的平方，而圓心到的距離為，所以在圓上點(diǎn)到距離的最大值為8，最小值為2，故的最大值為64，最小值為4；又表示在圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，而圓心到原點(diǎn)距離為，所以的范圍為.故答案為：64，4，21．直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為．【答案】/【分析】由題意可得直線過(guò)圓心，再將用表示，結(jié)合二次函數(shù)即可得解.【詳解】解：圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心為，因?yàn)橹本€始終平分圓的周長(zhǎng)，所以直線過(guò)圓心，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：.題型五 面積的最值范圍22．直線分別與軸，軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上，則面積的取值范圍是.【答案】【分析】先求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則可求出，然后求出圓心到直線的距離，從而可求出點(diǎn)P到直線的距離的最大值和最小值，進(jìn)而可求出面積的最大值和最小值，即可求得結(jié)果.【詳解】對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線的距離的最大值，點(diǎn)P到直線的距離的最小值，所以面積的最大值為，面積的最小值為，所以面積的取值范圍是，故答案為：

23．（多選）已知圓，直線為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則下列各選項(xiàng)正確的是（

）A．四邊形面積的最小值為4B．四邊形面積的最大值為8C．當(dāng)最大時(shí)，D．當(dāng)最大時(shí)，直線的方程為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用直角三角形、正方形的性質(zhì)、直線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理計(jì)算求解.【詳解】由圓的幾何性質(zhì)可得，圓，半徑為2，如下圖所示：

對(duì)于，由切線長(zhǎng)定理可得，又因?yàn)?，所以，所以四邊形的面積，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最小值，且，所以四邊形的面積的最小值為，故A正確；對(duì)于，因?yàn)闊o(wú)最大值，即無(wú)最大值，故四邊形面積無(wú)最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)闉殇J角，，且，故當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)最大，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，由上可知，當(dāng)最大時(shí)，且，故四邊形為正方形，且有，直線，則的方程為，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，由正方形的幾何性質(zhì)可知，直線過(guò)線段的中點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為，故D正確.故選：ACD.24．已知直線上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)為圓上任一點(diǎn)，則的面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值作為的高，再由面積公式求解即可.【詳解】把圓變形為，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，則圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，又，∴的面積的最大值為．故選：A．25．已知直線l：與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，動(dòng)直線：和：交于點(diǎn)P，則的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)所過(guò)定點(diǎn)和位置關(guān)系可得點(diǎn)P軌跡方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)間的距離公式可得面積最小值.【詳解】根據(jù)題意可知，動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)，動(dòng)直線：，即過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，所以無(wú)論m取何值，都有，所以點(diǎn)P在以O(shè)B為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)，則點(diǎn)P的軌跡方程為，圓心到直線l的距離為，則P到直線l的距離的最小值為．由題可知，，則，所以的面積的最小值為．故選：B

26．已知圓C：，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB面積的最小值為【答案】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得，則，則要求四邊形PACB面積的最小值，只要求出的最小值即可，求出點(diǎn)到直線的距離即可.【詳解】解：圓C：，即，則圓的圓心，半徑，因?yàn)榉謩e切圓于點(diǎn)，所以，所以，則要求四邊形PACB面積的最小值，只要求出的最小值即可，的最小值為點(diǎn)到直線的距離，為，所以四邊形PACB面積的最小值為.故答案為：.27．已知圓C的圓心在第一象限且在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長(zhǎng)為(1)求圓C的方程；(2)由直線上一點(diǎn)P向圓C引切線，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，判斷出圓的半徑，利用直線截圓所得弦長(zhǎng)列方程來(lái)求得，從而求得圓的方程.（2）先求得，通過(guò)求的最小來(lái)求得的最小值.【詳解】（1）依題意，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，到直線的距離為，所以，解得，所以圓的方程為.（2）由（1）得，圓的圓心為，半徑，，所以當(dāng)最小時(shí)，最小.到直線的距離為，所以的最小值為，所以四邊形PACB面積的最小值為.題型六 數(shù)量積的最值范圍28．（多選）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A．直線恒過(guò)定點(diǎn)B．過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線為：C．圓心到直線的最大距離是D．的最大值為1【答案】ACD【分析】由直線系方程求得直線恒過(guò)定點(diǎn)判斷A，利用直線與圓相切求出直線方程即可判斷B，根據(jù)圓心到直線的最大距離的結(jié)論即可判斷C，利用向量數(shù)量積的定義結(jié)合余弦定理即可判斷D.【詳解】對(duì)A，直線即直線，聯(lián)立，解得，，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)B，，圓心，半徑，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即直線方程為，此時(shí)圓心到到該直線的距離等于2，即等于半徑，故該直線也與圓相切，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，根據(jù)結(jié)論得圓心到直線的最大距離即為到所過(guò)的定點(diǎn)的距離，則最大距離為，故C正確；對(duì)D，，要使取到最大值，只需取最大，在中，，所以取最大時(shí)，弦長(zhǎng)AB最短，當(dāng)直線AB與圓心和點(diǎn)直線垂直時(shí)，弦長(zhǎng)AB最短，因?yàn)閳A心到點(diǎn)的距離為，此時(shí)，，所以，故D正確；故選：ACD.29．（多選）過(guò)點(diǎn)作圓的切線，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．切線的方程為B．圓與圓的公共弦所在直線方程為C．點(diǎn)到直線的距離的最小值為D．點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為【答案】ABD【分析】A.由，得到，再利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程；B.由和兩式相減求解判斷；C.先求得點(diǎn)到直線的距離，再減去半徑即可；D.設(shè)，得到，然后利用直線與圓相切求解判斷.【詳解】A.因?yàn)椋?，則過(guò)點(diǎn)的切線為，即，故正確；B.由和兩式相減得，故正確；C.點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，故錯(cuò)誤；D.設(shè)，則，所以，即，點(diǎn)到直線的距離等于半徑得：，解得或，則的最大值為，故正確；故選：ABD30．已知圓經(jīng)過(guò)，，.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)代入得出方程組可求；（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律轉(zhuǎn)化結(jié)合數(shù)量積的定義求出.（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于圓經(jīng)過(guò)，，，所以有，解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）知，圓的半徑為，.當(dāng)與共線且同向時(shí)，取得最小值.所以的最小值為.31．已知，O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，直線與x軸交于P點(diǎn)，與y軸交于Q點(diǎn)，以下