2024學生版大二輪數(shù)學新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題三　第1講　等差數(shù)列、等比數(shù)列1

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列[考情分析]1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點．考點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算核心提煉等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比數(shù)列的通項公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))例1(1)(2023·全國甲卷)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4等于()A.eq\f(15,8)B.eq\f(65,8)C．15D．40(2)(2023·安康模擬)中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第五天行走的里程數(shù)約為()A．2.76B．5.51C．11.02D．22.05規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關(guān)計算．跟蹤演練1(1)(2023·河南聯(lián)考)《周髀算經(jīng)》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為1.5尺，則春分時節(jié)的日影長為()A．4.5尺 B．3.5尺C．2.5尺 D．1.5尺(2)(2023·石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝4，S3＝84，則log2a1a2a3…a8的值為()A．70B．72C．74D．76考點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)核心提煉1．通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n項和的性質(zhì)：(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時除外)．(2)對于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.例2(1)(多選)(2023·濟寧質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7a8<0，則()A．數(shù)列{an}是遞增數(shù)列B．S6>S9C．當n＝7時，Sn最大D．當Sn>0時，n的最大值為14(2)(2023·全國乙卷)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝________.規(guī)律方法等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略(1)抓關(guān)系，抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手，選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解．(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．跟蹤演練2(1)(2023·咸陽模擬)已知等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若(2n＋3)Sn＝nTn，則eq\f(a5,b5)等于()A.eq\f(3,7) B.eq\f(1,3)C.eq\f(9,25) D.eq\f(11,25)(2)(2023·滄州質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝6，則S24＝________.考點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明核心提煉等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中項法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．例3(2023·濰坊模擬)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn.(1)證明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比數(shù)列；(2)求{anbn}的前n項和Sn.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________易錯提醒(1)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列．(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法．跟蹤演練3(2023·日照模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝λ>0，anan＋1＝27－2n.(1)當λ＝eq\f(1,32)時，求數(shù)列{a2n}中的第10項；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)是否存在正數(shù)λ，使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列？若存在，求出λ值并證明；若不存在，請說明理由．______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________