線性代數(shù)復(fù)習(xí)知識點(diǎn)

PAGE5/5線性代數(shù)復(fù)習(xí)基本知識點(diǎn)小結(jié)2012.05第2章行列式的運(yùn)算性質(zhì)；如習(xí)題書P5選擇題1；展開定理；典型的三角化方法及降階法.準(zhǔn)（次準(zhǔn)）對角（上下三角）行列式的計(jì)算；克拉默法則。第3章一、矩陣的基本運(yùn)算矩陣的基本運(yùn)算；矩陣乘法技巧；重要的運(yùn)算性質(zhì)（如乘法的結(jié)合律，特性：乘法一般不滿足交換性，消去律，有零因子）；各種運(yùn)算混合在一起時的關(guān)系（課本68頁矩陣轉(zhuǎn)置與其他運(yùn)算的關(guān)系；69頁定理3.1：行列式與其他運(yùn)算的關(guān)系；70頁推論2下面的注,即一般）；方陣的跡及其運(yùn)算性質(zhì)（課本70頁）；準(zhǔn)對角矩陣的結(jié)論（課本75頁命題3.2）；1）掌握定理3.3（初等變換與初等矩陣的聯(lián)系）；掌握初等矩陣的轉(zhuǎn)置及逆矩陣.如109頁11題;習(xí)題書15頁選擇題5.2）當(dāng)可逆時，二、可逆矩陣1、運(yùn)算性質(zhì)：可逆性的判定：定理3.4及命題3.7求逆矩陣的方法：※伴隨矩陣法（如2階矩陣）；分離因子（命題3.7）；初等行變換；※分塊求逆：（分塊化為準(zhǔn)對角，次準(zhǔn)對角）課本96-97頁公式3-30及3-31，例3.33，習(xí)題書也有相應(yīng)的綜合練習(xí)題。課本110頁26題伴隨矩陣：（定義及相關(guān)結(jié)論）（1）伴隨矩陣的定義（課本87頁）；（2）；特別當(dāng)可逆時，（也是一種求的方法）；（3），故二者可逆性一致；（4）當(dāng)時，有例如：課本110頁25題，31題；習(xí)題書15頁填空題5,6四、矩陣方程：（一般先化簡，然后用初等行變換解第一型矩陣方程）五、矩陣的秩：求法：1、原始定義（最高階非零子式的階數(shù)）；2、初等變換法；3、秩的估計(jì)式（主要的4個例如：；；；若則；）六、矩陣的相抵（等價）：定義3.12及定理3.9七、掌握求方陣的冪的主要方法：▲1、結(jié)合律（特別是秩1的矩陣）；例如：課本102頁例3.38；習(xí)題書15頁填空題1▲2、對角化方法；例如：習(xí)題書55頁填空題5；▲3、分塊化為準(zhǔn)對角陣求冪；例如課本75頁例3.154、二項(xiàng)式定理；例如課本66頁例3.7第4章一、子空間的證明（兩種方法），并會求子空間的基和維數(shù)。例如：課本113頁例4.2；122頁例4.9；141頁例4.35；152頁題4；156頁題41；習(xí)題書30頁綜合題2相關(guān)性的判定1、數(shù)組向量的相關(guān)性的判定：（1）定義（待定系數(shù)法）（及與齊次方程組的聯(lián)系）；（2）命題4.5+定理4.4定理4.1，即利用矩陣的秩求向量組的秩（例如習(xí)題書27頁填空題1），從而判斷相關(guān)性。特別n個n元向量可用行列式（例如習(xí)題書27頁填空題3）。一般線性空間中相關(guān)性的判定：（1）定義（待定系數(shù)法）；（2）坐標(biāo)化方法：向量組的相關(guān)性坐標(biāo)組（中）的相關(guān)性（定理4.14）；如課本156頁43題；153頁第9題。掌握若干基本結(jié)論：命題4.2,4.3命題4.4,命題4.7，及推論，定理4.9；三、會求向量組的秩及極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組表示：（例如課本123頁例4.10,144頁例4.38，習(xí)題書27頁填空題4）；四、基變換與坐標(biāo)變換：（課本145頁）（1）會求過渡陣（兩種方法：1）定義4.17（包括直接觀察和用定義列出矩陣方程，要熟練，如課本146頁例4.41，習(xí)題書27頁填空題8）；2）中介基（如課本148頁例4.42）（2）求向量在給定基下的坐標(biāo)：方法一、由坐標(biāo)的定義（列式子）求解，例如在空間中，或一般線性空間中坐標(biāo)可直接觀察得出時；方法二、坐標(biāo)變換公式。五、線性方程組：（非齊次及齊次方程組）（1）解的存在及個數(shù)的判定（2）求解方法及通解結(jié)構(gòu)：矩陣消元法（3）解的運(yùn)算性質(zhì)：典型題：1）含參量的線性方程組的求解：兩種方法：例如課本127頁例4.15；155頁26,27,28；習(xí)題書30頁綜合題5，6，102）解的運(yùn)算性質(zhì)通解結(jié)構(gòu)的考察：課本155頁題29,303）基礎(chǔ)解系定義要點(diǎn)的考察（與相關(guān)性的判定結(jié)合）：習(xí)題書30頁綜合題34)知識的綜合考察：滿秩A的行（列）向量組線性無關(guān)僅有零解0不是的特征值非退化非奇異；降秩A的行（列）向量組線性相關(guān)有非零解0是的特征值退化退化奇異；第5章一、理解相似的概念及其重要性質(zhì)1、相似的定義（定義5.1）；2、性質(zhì)：相似是一種等價關(guān)系（特別有傳遞性）；若與相似，則相似于，其中為單變量多項(xiàng)式；幾個相似不變量（跡，行列式，秩，可逆性，特征多項(xiàng)式與特征值（但特征向量不是））例如：課本166頁例5.5二、理解特征值及特征向量的概念及其性質(zhì)1、例如：課本200頁14題；習(xí)題書41頁填空題12、為方陣的特征值（或）例如：課本200頁13題；習(xí)題書44頁題2，5；習(xí)題書56頁題5特別0是的特征值齊次線性方程組有非零解（會逆否命題的敘述）；3、與特征值相同(但特征向量一般不同)；若有一個特征值，且為相應(yīng)的特征向量，則（為單變量多項(xiàng)式），，（當(dāng)可逆時）必分別有特征值，且仍為相應(yīng)的特征向量；例如習(xí)題書43頁選擇題7,104、設(shè)為方陣的任一特征值，且，則為的根；例如習(xí)題書42頁選擇題2,3；課本178頁例5.145、屬于互異特征值的線性無關(guān)特征向量組并在一起仍是線性無關(guān)的；例如習(xí)題書43頁選擇題11會計(jì)算方陣（特別是3階的）的特征值及特征向量；掌握方陣可對角化的幾個條件（課本172頁定理5.5及推論），會將三階方陣對角化，用對角化求方陣或方陣的冪。課本173頁例5.9；課本201頁17題；200頁15題，16題；習(xí)題書43頁選擇題8，44頁題5，習(xí)題書56頁題4線性變換理解線性變換的概念（會驗(yàn)證）；會求線性變換在某一個基下的矩陣（①定義法：定義5.7；②相似關(guān)系法：定理5.9）；會求向量在線性變換下的像及像的坐標(biāo)（命題5.8）。例如：課本201頁27題；28題；29題；習(xí)題書45頁11題第6，7章歐氏空間限于，重點(diǎn)針對。會算內(nèi)積，掌握施密特正交化方法；正交陣的幾種等價定義及性質(zhì)等價定義：為正交陣的列（行）向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交組；性質(zhì)：若為正交陣，則可逆，且；；與同為的特征值；的實(shí)特征值只能是1或-1.同階正交陣的乘積仍為正交陣；實(shí)對稱矩陣（掌握）1、實(shí)對稱陣的性質(zhì)①有個實(shí)特征值；②屬于互異特征值的特征向量正交；③每個特征值的幾何重數(shù)=代數(shù)重數(shù)；④必可正交相似于對角陣.2、實(shí)對稱陣的正交對角化的方法，會利用對角化思想求實(shí)對稱陣（可用譜分解定理）及冪。例如：課本226頁的題15,16，14,13；習(xí)題書56頁綜合題4三、關(guān)于實(shí)二次型：1、掌握用正交變換化三元實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法；例如習(xí)題書65頁綜合題1；課本256頁題92、會用配方法或觀察法找滿秩替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；3、會求實(shí)二次型的秩，正、負(fù)慣性指數(shù)（定義7.5及其他方法），符號差，規(guī)范形.例如習(xí)題書64頁填空題3，65頁綜合題34、弄清等價（即相抵）、相似（特別兩實(shí)對稱陣相似等價于特征值相等，即定理6.7）、合同（特別兩實(shí)對稱陣合同等價于特征值同號）正交相似，正交合同的異同。注與實(shí)對稱陣正交相似的矩陣一定是實(shí)對稱的；與對稱陣合同的矩陣一定是對稱的；①定理7.5’(用于判定兩實(shí)二次型的等價關(guān)系)；②正定二次型及正定矩陣掌握正定二次型及正定矩陣的基本判別方法定義法（正向，逆向）；例如課本256頁17,21題正慣性指數(shù)法