大學文科數(shù)學課件：隨機變量及其分布

隨機變量及其分布11.1隨機變量的概念11.2離散型隨機變量及其概率分布11.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度

11.1隨機變量的概念

有些隨機事件本身就表現(xiàn)為一種數(shù)量，如某城市的年降雨量，某次考試的成績等．另外，有些事件不表現(xiàn)為數(shù)量，如做一道正誤判斷題是“對”還是“錯”，擲一次硬幣是出現(xiàn)“正面”還是“反面”等，但可以給它們以數(shù)量標識，比如“正面”記為1，“反面”記為0，“選對”記為1，“選錯”記為0．

這樣，對任意一樣本點e∈S，都可以讓一個數(shù)與之對應，記為X(e)．顯然X(e)是隨試驗結(jié)果不同而變化的一個變量，稱之為隨機變量．簡言之，反映隨機事件的變量叫隨機變量．

定義11.1.1

設(shè)隨機試驗E的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù).若對于任意實數(shù)x，集合{e|X(e)≤x}有確定的概率,則稱X=X(e)為隨機變量．有許多隨機試驗，它的結(jié)果本身是一個數(shù)，即樣本點e

是一個數(shù)．我們令X=X(e)=e，那么X就是一個隨機變量．例如，用Y表示某學校一天的缺課人數(shù)，W表示某商場一個月的營業(yè)額，Z表示某工廠一天的耗電量,那么Y、W、Z都是隨機變量．本書中，我們一般以大寫字母(如X,Y,Z,W,…)表示隨機變量，而以小寫字母(x,y,z,w,…)表示實數(shù)．

11.2離散型隨機變量及其概率分布

11.2.1離散型隨機變量的分布律

定義11.2.1

設(shè)離散型隨機變量X所有可能的取值為

xk(k=1,2,…)，X取各個可能值的概率，即事件{X=xk}的概

率為

P{X=xk}=pk

（k=1,2,…)

(11.2.1)

則我們稱式(11.2.1)為離散型隨機變量X的分布律．分布律也可以用表格形式來表示，如表11.2.1所示.（11.2.2）（11.2.3）

例11.2.1

設(shè)一輛汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過兩組信號燈，每組信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過．以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的組數(shù)(設(shè)各組信號燈的工作是相互獨立的)，求X的分布律．

解以p表示每組信號燈禁止汽車通過的概率，易知X的分布律為或?qū)懗?1.2.2幾種常見的離散型概率分布

1.0-1分布

如果隨機變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律是

P{X=k}=pk(1－p)1－k(k=0,1;0<p<1)

則稱X服從0-1分布或兩點分布．對于一個隨機試驗，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即S={e1,e2}，我們總能在S上定義一個服從0-1分布的隨機變量

來描述這個隨機試驗的結(jié)果.例如，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格、某試驗是否成功、拋硬幣是否出現(xiàn)正面等都可以用0-1分布的隨機變量來描述．0-1分布是經(jīng)常遇到的一種分布．

2.二項分布（n重伯努利分布）

若隨機變量X的分布律為

(k=0,1,…,n;0<p<1,q=1－p)

則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為X~B(n,p)．若以X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X是一個隨機變量，其所有可能的取值為0，1，2，…，n．由于各次試驗是相互獨立的，因此事件A在指定的k(0≤k≤n)次試驗中發(fā)生，在其他n－k次試驗中A不發(fā)生(例如在前k次試驗中發(fā)生，而在后n－k次試驗中不發(fā)生)的概率為這種指定的方式共有Ckn種，它們是兩兩互不相容的，

故在n次試驗中A發(fā)生k次的概率為Cknpk(1－p)n－k，記q=1－p，即有顯然

例11.2.2

某人購買彩票，設(shè)每次買一張，中獎率為0.01，共買500次，試求他至少中獎兩次的概率．

解將每次購買彩票看成是一次試驗，設(shè)中獎的次數(shù)為X，則X~B(500,0.01)．X的分布律為于是所求概率為這個概率很接近于1．我們討論這一結(jié)果的實際意義．雖然每次彩票的中獎率很?。?.01），但如果購買500次，則中獎至少兩次是幾乎可以肯定的．設(shè)X~B(n,p)，當n很大（指n≥10），p很?。ㄖ竝≤0.1），且λ=np是一個大小適當?shù)臄?shù)（通常0<np≤8）時，有回到例11.2.2.有λ=500×0.01=5，因此

例11.2.3（壽命保險問題）設(shè)某保險公司的某人壽保險險種有2500人投保，在一年內(nèi)，每個人死亡的概率為0.002，且每個人是否死亡是相互獨立的，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金．試求:

(1)保險公司虧本的概率；

(2)保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率．解（1）以“年”為單位來考慮，在一年的1月1日，保險公司總收入為

2500×12=30000（元）

設(shè)X為2500個投保人中在未來一年內(nèi)死亡的人數(shù)，對每

個人而言，在未來一年是否死亡相當于做一次伯努利試驗，2500人就是做2500重伯努利試驗，因此X~B(2500,0.002)，則保險公司在這一年中應付出2000X（元）.要使保險公司虧本，則必須2000X>30000，即X>15（人），因此（2）即保險公司獲利不少于10000元的概率在98％以上．以上結(jié)果說明“保險公司為什么樂于開展保險業(yè)務”的道理．

3.泊松分布

設(shè)隨機變量X所有可能的取值為0，1，2，…，而取各個值的概率為其中λ>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ的泊松（Poisson）分布，記為X~π(λ)．

1837年，法國數(shù)學家泊松發(fā)現(xiàn)，當n很大，p很小，λ=np時，有

即當n充分大而p很小時，服從二項分布B(n,p)的隨機變量近似地服從參數(shù)為λ=np的泊松分布．

例11.2.4

某商店出售某種商品．根據(jù)經(jīng)驗，此商品的月銷售量X服從λ=3的泊松分布．問在月初進貨時要庫存多少件此種商品，才能以99%的概率不脫銷？

解設(shè)月初庫存M件，依題意那么

11.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度

11.3.1分布函數(shù)、密度函數(shù)及其性質(zhì)

定義11.3.1

設(shè)X是隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)

F(x)=P{X≤x}

稱為X的分布函數(shù)．顯然，F(xiàn)(x)有以下性質(zhì)：（1）F(x)是一個不減函數(shù)．即對于任意實數(shù)x1、x2

(x1<x2)，有

F(x2)－F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0

（2）0≤F(x)≤1,且下面我們只從幾何上說明上面兩個性質(zhì)．在圖11.3.1中，將區(qū)間端點x沿數(shù)軸無限向左移動(即x→－∞)，則“隨機點X

落在點x左邊”這一事件趨于不可能事件，從而其概率趨于0，即有F(－∞)=0；又若將點x無限向右移動(即x→+∞)，則“隨機點X落在點x左邊”這一事件趨于必然事件，從而其概率趨于1，即有F(+∞)=1．圖11.3.1（3）F(x+0)=F(x)，即F(x)是右連續(xù)的．

定義11.3.2

設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負函數(shù)f(x)，使對任意實數(shù)x，有

則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)為X的概率密度函數(shù)（簡稱密度函數(shù)），并稱X的分布為連續(xù)型分布．(11.3.1)由式(11.3.2)可知，若不計高階無窮小，則有

P{x<X≤x+Δx}≈f(x)Δx

(11.3.3)

這表示X落在小區(qū)間(x,x+Δx］上的概率近似地等于f(x)Δx．圖11.3.2圖11.3.311.3.2幾種常見的連續(xù)型分布

1.均勻分布

定義11.3.3

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為

(11.3.4)則稱X在區(qū)間(a,b)內(nèi)服從均勻分布，其中a、

b為兩個參數(shù)，且a<b，并記為X~U(a,b)．

f(x)的圖形如圖11.3.4所示.圖11.3.4在區(qū)間(a,b)內(nèi)服從均勻分布的隨機變量X具有下述意義

的等可能性，即它落在區(qū)間(a,b)中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的．事實上，對于任一長度l的子區(qū)間(c,c+l),a≤c<c+l≤b,有

由式(11.3.1)得X的分布函數(shù)為

例11.3.2

已知某路公交車每5分鐘一趟，設(shè)X表示乘客在某車站的候車時間，求乘客候車時間不超過3分鐘的概率。

解顯然，連續(xù)型隨機變量X在［0,5］內(nèi)服從均勻分布，故

2.指數(shù)分布

定義11.3.4

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為(11.3.5)圖11.3.5中畫出了λ=3，λ=1，λ=1/2時f(x)的圖形．圖11.3.5

3.正態(tài)分布

定義11.3.5

設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為(11.3.7)其中μ、

σ(σ>0)為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布或高斯分布，記為X~N(μ,σ2)．

f(x)的圖形如圖11.3.6所示，正態(tài)分布的兩個參數(shù)μ和σ分別稱為位置參數(shù)和刻度參數(shù).μ決定曲線的對稱位置，σ決定曲線的陡緩和寬窄形態(tài)．圖11.3.6給出了固定μ值，σ分別為0.5、1.0、1.5時的正態(tài)概率密度曲線．圖11.3.6由式（11.3.7）得X的分布函數(shù)為（見圖11.3.7）(11.3.8)特別地，當μ=0,σ=1時，稱X服從標準正態(tài)分布（見圖11.3.8），記為X~N(0,1)．其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別用φ(x)、

Φ(x)表示，即有易知(11.3.9)(11.3.10)(11.3.11)圖11.3.7圖11.3.8

例11.3.3

設(shè)X