高考模擬創(chuàng)新試題分類匯編(數(shù)學(xué))

高考模擬創(chuàng)新試題分類匯編（數(shù)學(xué)）

研究高考，最終需要落實(shí)到試題的研究上，而試題研究一般為兩個(gè)方向，一是研究近

幾年的高考題，二是研究針對相應(yīng)高考的模擬試題，前者是前奏與方向指導(dǎo)，而后者是綜合

了前者的具體體現(xiàn)，其中的優(yōu)秀試題更是如此。

基于此點(diǎn)，筆者收錄了2005年60套全國各地的模擬試題，再加上2004年9月到2005

年4月底期刊中的零碎試題共計(jì)2400道，對其進(jìn)行了篩選與歸類。在此過程中，筆者認(rèn)識(shí)

到，優(yōu)秀試題一般有三個(gè)先決條件：一是以能力立意，表現(xiàn)為很難單獨(dú)地判斷考查的是什么

知識(shí)，而是在邊緣知識(shí)上命題，是對數(shù)個(gè)知識(shí)的“串門”綜合；二是蘊(yùn)涵了一定的數(shù)學(xué)思想，

不是簡單的知識(shí)累計(jì)，這些常常通過學(xué)生易犯的典型錯(cuò)誤或一題多解來體現(xiàn)；三是源于教材

而又高于教材，其中的“高”不是無休止地向“廣”或“深”（俗稱“深挖洞”，這是區(qū)分高

考與競賽題的重要標(biāo)志）單方面開拓，而是更加突出“新”意（主要是結(jié)構(gòu)形式新或背景緊

跟時(shí)代）、“平”意（主要是平常生活中常見、常用及知識(shí)上不超綱）。這三個(gè)條件中，創(chuàng)新

是試題的核心，這也正應(yīng)了“知識(shí)有綱、能力無綱”的“遵循教學(xué)大綱又不拘泥于大綱”的

近年一再提倡的高考政策，所以以創(chuàng)新為基準(zhǔn)對試題進(jìn)行了說明與分類匯編。

一，集合簡易邏輯與不等式（復(fù)數(shù)）

考綱要求及分析

1，集合與簡易邏輯：理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念.了解空集和全集的意

義.了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義.掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會(huì)用它們正確表示一些簡

單的集合.理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義.理解四種命題及其相互關(guān)系.掌握充分

條件、必要條件及充要條件的意義.

集合是大學(xué)當(dāng)中第一遇到的內(nèi)容，也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此，中學(xué)階段集合上的能力

更重要的是作為一種思想的滲透。而集合的思想方法又主要體現(xiàn)為：一是理論上的思想滲透

（這不是高考命題的范疇），二是集合與其他知識(shí)如簡易邏輯的類比性滲透（這也難于化到

高考命題的范圍），三是集合本身內(nèi)含了博大精深的思想，而這又是高中階段能解決又能反

應(yīng)能力的地方，具體又表現(xiàn)為三點(diǎn):⑴集合表示方法間的轉(zhuǎn)化蘊(yùn)涵了數(shù)學(xué)解題的原則性思想:

列舉法

個(gè)具體化，、

文字描述法<熟刎屬性描述法闞化>符號表示法;⑵有限集合兀素個(gè)數(shù)確定的

J直觀化

圖示法

容斥原理（該部分在教材中處于閱讀內(nèi)容，它可以用初中及小學(xué)的解方程法加以解決，也可

以用高中的容斥原理）；⑶集合的運(yùn)算更多情況下是自定義的；⑷集合與方程或不等式同解

性聯(lián)系（這一部分通常以其他知識(shí)的面貌出現(xiàn)，如：“求…的解集”等等）。

充要條件的題一般有三種類型：一，傳統(tǒng)的判斷形：“判斷A是B的……條件”，它常

常以選擇題的形式出現(xiàn)；二是“證明A的……條件是B”的證明型；三是“找出A的……

條件，并證明”的開放型。后二者在高考中很少見到。

2,不等式：理解不等式的性質(zhì)及其證明掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)

不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡單的應(yīng)用.掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單

的不等式.掌握簡單不等式的解法.理解不等式|aHb|W|a+"W|a|+M。

從考題上而言，能力的反應(yīng)變化為，在解法上由原來的等價(jià)轉(zhuǎn)化（穿根法）更推進(jìn)一步，

出現(xiàn)了可以用圖象法并結(jié)合其他知識(shí)的解題這一原來認(rèn)為是特殊技巧的解法的試題，以此來

體現(xiàn)創(chuàng)新能力。

3,復(fù)數(shù)：這是限于理科的內(nèi)容，考試要求為：了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示

和幾何意義.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除

法運(yùn)算.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想.

該部分降低要求，重心自然也放在基本的代數(shù)運(yùn)算上。

將這幾部分結(jié)合在一起，是因?yàn)榧现械氖吕３Ｊ峭ㄟ^不等式解集來體現(xiàn)，試題中也

最容易體現(xiàn)此點(diǎn)；而復(fù)數(shù)也可以看作是由于數(shù)集的推廣得到的。

二，例題簡析

例1，不等式e"*5x2-2的解集為.（《數(shù)理天地》2005年第4期P18）

分析：將不等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)的有理不等式組，為此需要去掉絕對值符號，而

lnx>O=x>l,此時(shí)同理得出lnx<0時(shí)情況，注意x>0的隱含條件。

解：原不等式等價(jià)于①|(zhì)或②|、，①的解為l<x<2;②的解為

x>x~-2—x>x—2

O〈x<l.總之，填（0,2）

說明：該題綜合了對數(shù)的運(yùn)算、不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化及分類討論的數(shù)學(xué)思想，知識(shí)上不

超綱，充分體現(xiàn)了運(yùn)算與思維能力.

例2,如圖，某藥店有一架不準(zhǔn)確的天平（其兩臂不等）和一個(gè)10克的祛碼。一名患

者想要20克中藥，售貨員將硅碼放在左盤中，將藥物放在右盤中，待平衡后交給患者；然

后又將藥物放在左盤中，將技碼放在右盤中，待平衡后再交給患者。設(shè)患者實(shí)際購買藥物為

m克，則m20克（填><=）（石家莊質(zhì)檢題）

解：設(shè)兩臂長分別為b,a,（b>a）,第一次、第二次稱得的藥物分別為x,y克，貝小

10b=xa,yb=10a,從而m=x+y=l^+W￡》2叵亞=20,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)他=弛.當(dāng)且僅當(dāng)

abNabab

a=bVa^b...m>20克填〉

說明：該題容易看不懂題意，憑感覺“藥店不吃虧”而錯(cuò)填<;這與考綱中考查理性思

維相對應(yīng)。

例3,某商場對商品進(jìn)行兩次提價(jià)，現(xiàn)提出四種提價(jià)方案，提價(jià)幅度較大的一種是（）

A,先提價(jià)p%,后提價(jià)q%B,先提價(jià)q%,后提價(jià)p%

C,分兩次提價(jià)，幺%D,分兩次提價(jià)J，'％（以上pWq）（吉林質(zhì)檢）

解：設(shè)原價(jià)為1,則A、B提價(jià)后都為（l+p%）（l+q%）,A、B都不當(dāng)選；方案C提價(jià)后為

（1+告幺％尸，方案D提價(jià)后為（1+產(chǎn)尹%）2,只要比較J?丁與P±1的大小。這

p2+q2》正&由于p#q,所以JI-2+q2"

J22V22

2

說明：不等式》■反應(yīng)了平方和與和的大小關(guān)系，是教材中的一個(gè)習(xí)

2

題，用它可以解決許多問題，該題給我們的啟示是，“應(yīng)將之視作一個(gè)基本不等式對待”。

例4,任意兩正整數(shù)m、n之間定義某種運(yùn)算十，m十!)=僅+"("與響奇偶)，則集合

(與"異奇偶)

M={(a,b)|a十b=36,a、bGN+}中元素的個(gè)數(shù)是(金良.《考試》2004(11)P25)

解：a、b同奇偶時(shí),有35個(gè)：a、b異奇偶時(shí),有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、

(36,1)6個(gè),共計(jì)41個(gè)。填41。

說明：定義運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)到一定程度的抽象產(chǎn)物，它給我們的啟示是：集合間的運(yùn)

算并非僅教材上提及的幾個(gè)簡單運(yùn)算，多數(shù)情況下是自定義的。

［試題匯編］

—>單項(xiàng)選擇題

1,已知M={y|y=x?},N={y|x'+y2=2},貝！]MriN=()

A、{(1,1),(-1,1)}B、{1}C、[0,1]D、[0,應(yīng)](湖南示范)

2,(理)設(shè)復(fù)數(shù)z=—+(l+i)2,則(1+z)，展開式的第五項(xiàng)是()

1+/

A,-21B,35C,-21iD,-35i(金榜園模擬3)

(文)不等式1x122*的解集是()

x

A,(-8,o)B,[V2,+oo)C,(-8,o)U[V2,+oo)D,[-V2,0)u[V2,+oo)

(武漢4月調(diào)研)

3,函數(shù)y=f(x)是圓心在原點(diǎn)的單位圓的兩段圓弧(如圖),則不等式f(x)<f(-x)+x

第3題圖

的解集為()

2"\[^,2y2,\/5

A,{x,-----<x<0或----<xWl}B,{x|TWx〈一§或5

55

2,\/-532y/~5D,{x卜孚<x〈半且xWO}

C,{x|-l^x<-----或----<x^l)

55

（浙江路橋中學(xué).《中學(xué)教研》.2005（4）P47）

4,集合P={集4,9,16,……}，若adP,beP,有aObep,則運(yùn)算O可能是O

A,加法B,減法C,除法D,乘法（燕園沖刺三）

5,設(shè)x、y、a、bdR,且x2+y2=4,a2+b2=l4ijS=ax+by的最值情況是（）

A,最大值為5/2,無最小值B,最大值為2,最小值為-2

C,最大值為5/2,最小值為-5/2D,以上都不對（燕園沖刺二）

6（文）小區(qū)收取冬季供暖費(fèi)，根據(jù)規(guī)定，住戶可以可以從以下方案中任選其一：方案

一，按使用面積繳納，4元/米二方案二，按建筑面積繳納，3元/米）李明家的使用面積

是60米2,如果他家選擇方案二繳納費(fèi)用較少，那么他家的建筑血枳最大不超過（）米2

A,70B,80C,90D,100（燕園沖刺三）

（理）某商店某種貨物的進(jìn)價(jià)下降了8%,但銷售價(jià)不變，于是這種貨物的銷售利潤率

（銷售價(jià)-進(jìn)價(jià)Xi。。%）由原來的r%增加到（r+10）%,則1=（）

進(jìn)價(jià)

A,12B,15C,20D,25（名校聯(lián)考）

7,a<b,d<cJL（c-a）（c-b）<0,（d-a）（d-b）>0,則a、b>c、d的大小關(guān)系是（）

A,d<a<c<bB,a<c<b<dC,a<d<b<cD,a〈d〈cvb（黃岡練習(xí)）

8,函數(shù)f（x）=lg（ax-bx）（a>l>b>0）,貝I」f（x）>0的解集為（1,+8）的充要條件是（）

A,a=b+1B,a<b+1C,a>b+1D,b=a+1（黃岡模擬）

9,設(shè)集合I={1,2,3},A￡L若把集合MUA=I的集合M叫做集合A的配集，貝I」A={1,

2}的配集有（）個(gè)A,1B,2c,3D,4（黃愛民，胡彬《中學(xué)生學(xué)習(xí)報(bào)》2005

模擬一）

10（文）設(shè)a〕WazWasbWb?<b3為兩組實(shí)數(shù)，54臼為bibb的任一排列,設(shè)

P=ab+a2b2+a3b3,Q=aib?+a2b2+a3b|,R=a0+a2c2+a3c3則必有（）

A,PWQ<RB,R<PWQC,PWRWQD,QWR<P（唐山一模）

（理）設(shè)2a是第二象限的角，則復(fù)數(shù)（tana+i）（l+icota）對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面內(nèi)的第（）

象限

A.—B.二C.三D.四（唐山二模）

11，有一個(gè)面積為1米2,形狀為直角三角形的框架，有下列四種長度的鋼管供應(yīng)用，

其中最合理（夠用且最省）的是（）米A,4.7B,4.8C,4.9D,5（石家莊二模）

12,（文）設(shè)全集。=R,集合M={x|五=42_2,xeR},N={x|Jx+1W2,

xeR}則（C°M）nN等于（）A.{2}B.{x|-l<x<3}C.{*|x<2,或2Vx

<3}D.{x|-14x<2或2<x43}（北京四中模三）

(理)不等式組“一1>“，有解，則實(shí)數(shù)a的滿足的取值范圍集合是()

[x-4<2a

A.(-1,3)B.(-3,1)C.(-8,i)U(3,+8)D.(-8,-3)U(1.+°°)

(天星教育)

二，填空題

13,(文)不等式J7>ax+—的解集為(4,b),則a.b=(胡明顯.《考試》2005

2

(4)P20)

(理)已知三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c,滿足1+1/=^(n>2),則三角

形ABC一定是__________三角形(按角分類)(全國聯(lián)考)

14(文)已知集合P={(x,y)\y=m},。={(x,y)\y=ax+\,a>0,a#l},如

果Pl?。有且只有一個(gè)元素，那么實(shí)數(shù)小的取值范圍是.(北京四中模二)

(理)定義在[-1,1]上的奇函數(shù)f(x)單調(diào)增，且f(-l尸-1,若f(x)Wt2-2at+l對一切x及a

W[-1,1]恒成立，則t的取值集合是(北京海淀)

15,設(shè)含有集合A={1,2,4,8,16}中三個(gè)元素的集合A的所有子集記為B“B?,B3，…,B”(其

中nGN*),又將Bk(k=l,2.....n)的元素之和記為ak1則=_____(江蘇常州模擬)

16,下列4個(gè)命題：①命題“若Q則P”與命題“若非P則非Q”互為逆否命題；②

“am2Vbm2”是“a<b”的必要不充分條件;③“矩形的兩條對角線相等”的否命題為假;

④命題“0仁{1,2}}或4e{1,2}"為真命題。其中真命題的序號是是：

(江西吉安二模)

三，解答題

22

17,設(shè)命題P：關(guān)于x的不等式誓>1->0且2#1)的解集為收|—6<28；命題5

y=lg(axJx+a)的定義域?yàn)镽。如果P或Q為真，P且Q為假，求a的取值范圍

(根據(jù)吉林質(zhì)檢與邯鄲一模改編)

18,(文)定義在D上的函數(shù)y=f(x)對于xi,xzGD,有|f(xMf(xz)|<l,則稱y=f(x)是漂亮

函數(shù)，否則稱非漂亮函數(shù)。問f(x)=x3-x+a(xe[-l,l])是否為漂亮函數(shù)，是證明之，否則說

明理由。(安振平.《數(shù)學(xué)大世界》.2005(4)P9)

71

(理)設(shè)f(x)=ax?+bx+c,若f(l)=在，那么是否存在a,b,c,使得不等式X、上Wf(x)

22

3

W2x?+2x+—對一切實(shí)數(shù)x都成立，存在求出f(x)解析式，不存在說明理由(周友良.《高

2

中數(shù)理化》2005年(1))

19,從甲到乙的運(yùn)煤鐵路專線，車速由原來的100km/h提高到150km/h,相鄰兩列火車

的車距(車頭與前一列車尾的距離)由原來的9倍車長提高到現(xiàn)在的11倍車長，則此次提

速運(yùn)煤效率(單位時(shí)間內(nèi)的運(yùn)輸量)提高了多少？(辛民.《數(shù)學(xué)通訊》2004(13)P21)

20,⑴已知a、b是正常數(shù)，aWb,x,ye(0,+8),求證：—+—指出等號

xyx+y

291

成立的條件；⑵利用⑴的結(jié)果，求函數(shù)f(x尸一+—丁(x￡(0,—))的最小值，并求出相應(yīng)的

x1-2x2

x的值。(《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005(3)P25)

21(文)某公司生產(chǎn)的品牌服裝年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件，需另投入1.9

10x-—x3(0<x<10)

萬元，設(shè)R(x)(單位：萬元)為銷售收入，根據(jù)市場調(diào)查，R(x)=30八，

其中x是年產(chǎn)量(單位：千件)⑴寫出利潤W與年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式

⑵年產(chǎn)量為多少時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中獲利最大？(唐山二模)

(理)某城南2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量

的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相等.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬

輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？(北京四中專題講座)

22,(文)⑴關(guān)于x的不等式2xJ<2""在整數(shù)集內(nèi)僅有解{I},求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)a取⑴中的最小值時(shí)，函數(shù)/(%)=log3(ox+b)圖象過點(diǎn)A(2,1)記*=3""),neN*,

是否存在正數(shù)%使得(1+')(1+」-)…(l+-!-)N女"用對一切”eN*均成立，若存

在，求出％的最大值，若不存在，請說明理由(北京四中模二與石家莊一模合編)

(理)對于函數(shù)f(x),如果存在xGR,使f(x)=x成立，稱x為f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，已知

f(x)=ax°+(b+l)x+bT(aWO)。⑴若對bGR,f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的范圍;

⑵在⑴條件下，若y=f(x)圖象上兩點(diǎn)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B關(guān)

于直線y=kx+a2-4a+4對稱，求b的最小值(成都診斷)

函數(shù)與數(shù)列

一，考綱要求及分析：

1,函數(shù)：對于函數(shù)的概念，考綱要求是：了解映射的概念，理解函數(shù)的概念，對其考查，

主要在于函數(shù)的三要素：定義域、值域與最值、對應(yīng)法則(解析式)匕函數(shù)的定義域，其

實(shí)多數(shù)是解不等式(組)；解析式則常見的方法有代換法、拼湊法、待定系數(shù)法、解方程組

法，比較適宜理解層次的能力考查；單調(diào)性、值域與最值往往與基本不等式應(yīng)用、求導(dǎo)數(shù)結(jié)

合在一起，其中單調(diào)性還可以用圖象觀察法加以解決。2005年考綱又再度將奇偶性由三角

部分調(diào)回函數(shù)部分為理解層次,這也恢復(fù)以前奇偶性以般函數(shù)為背景而不是僅僅限于三角

函數(shù)。對于反函數(shù)，考綱要求，了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求

一些簡單函數(shù)的反函數(shù)，這里反函數(shù)存在的條件容易當(dāng)成邊緣知識(shí)加以考查。指數(shù)函數(shù)與對

數(shù)函數(shù)考綱要求：理解分?jǐn)?shù)指數(shù)基、對數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)累、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，它們?nèi)菀滓苑匠袒虿坏仁叫问絹眢w現(xiàn)一定的創(chuàng)新。

2,數(shù)列：考綱對數(shù)列要求多年一致：理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的通項(xiàng)公式意義，了

解遞推數(shù)列是給出數(shù)列的?種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前兒項(xiàng)；理解等差、等比

數(shù)列的概念，掌握等差、等比數(shù)列的同項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)際問題。

多年命題也重在解決簡單問題上，但對簡單問題還存在認(rèn)識(shí)上的差異：由于受大學(xué)的影響，

此處常常是超越考綱。

從知識(shí)上說，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；從題上而言，函數(shù)與數(shù)列常常結(jié)合在一起，以函

數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想形式出現(xiàn)，也是近年?？疾凰サ囊粋€(gè)熱點(diǎn)。

二，例題簡析

例1,學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每周一有A、B兩種菜譜可供選擇(每人限

選一種)，調(diào)查表明：凡周?選A菜譜的人，下周一會(huì)有20%的人改選B菜譜，而選B菜譜的

人，下周一有30%的人改選A菜譜。試問，無論原來選A菜譜的人有多少，隨著時(shí)間的推移，

選A菜譜的人將趨近于多少人？(陶曉靜.《數(shù)學(xué)通訊》2004(21)P12)

解：設(shè)A0,B”為第n周選A、B菜譜的人數(shù)，A,=a,則

4343,、1

A"尸一An+Bn=—An+(1000-An)=~An+300

5105102

11a

［方法一］設(shè)An「a=-(A?-a)HPA?,i=-A?+—/.a=600,

222

這樣｛A「600｝構(gòu)成以1為公比的等比數(shù)列，A「600=(a-600)(J)，

22

.\A?=600+(a-600)(-)"'1limA產(chǎn)600,...隨著時(shí)間的推移，選A菜譜的人將趨近600人

2M->00

則limA?.i=-lim人計(jì)300即2=工a+300,a=600,隨著時(shí)

［方法二］設(shè)limAn=a

〃一>822

間的推移，選A菜譜的人將趨近600人。

說明：該題以數(shù)列極限應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，這在中學(xué)試題中并不常見，但在大學(xué)基礎(chǔ)課

中是最常見的一類題型。其解法上用到一個(gè)默認(rèn)的結(jié)論：一個(gè)數(shù)列含有極限，則極限必須唯

例2,已知集合L=｛(x,y)|y=2x+l｝,點(diǎn)P?(an,bn)GL,Pi為L中元素與直線y=l的交點(diǎn),

數(shù)列｛aj是公差為1的等差數(shù)列。⑴求數(shù)列瓜｝、｛1的通項(xiàng)公式;⑵若CF7(n》

n\P,Pn\

d為奇數(shù))

2),求數(shù)列｛c.｝的所有項(xiàng)和(即前n項(xiàng)和的極限)；⑶設(shè)f(n)=1工/E必、是否存在正

也(〃為偶數(shù))

整數(shù)n,使f(n+ll)=2f(n)成立，若存在，求出n的值，若不存在，說明理由(張學(xué)文.《數(shù)學(xué)

通訊》2004(21)P31)

解：(l)Pi(O,1),a?=ai+(n-l)l=n-l,b?=2a?+l=2n-l

22

(2)IPiP,,|=J(an-a,)+(bn-bt)=75(n-1),c?=——-——二，｛c“｝的前n項(xiàng)和

(n-l)nn-1n

S?=(l--)+(---)+……+('-，)=l-LfO(nf8).?.?｝的所有項(xiàng)和為I

223n—\nn

(3)n為奇數(shù)時(shí)，n+11為偶數(shù),f(n+ll)=2f(n)=28+11)-1=2(11-1)無解;11為偶數(shù)時(shí)

f(n+ll)=2f(n)=n+10=2(2rrl),n=4.總之，存在n=4滿足條件。

說明：該題將數(shù)列與函數(shù)結(jié)合在一起，⑴、⑵只要掌握基本結(jié)論、運(yùn)算的先后次序，就

可以解出，體現(xiàn)了運(yùn)算中的有序思想；⑶開放設(shè)問，解答過程中也體現(xiàn)了分類整合的數(shù)學(xué)思

想。

例3,過點(diǎn)P(l,0)作曲線c:y=x"xe(0,+8),keN*,Z>l)的切線切點(diǎn)為設(shè)。

點(diǎn)在x軸上的投影是點(diǎn)P”又過點(diǎn)Pi作曲線c的切線切點(diǎn)為Q2,設(shè)?在x軸上的投影是m…，

依此下去，得到一系列點(diǎn)Q>,Q”…，Q“，…，設(shè)點(diǎn)Q”的橫坐標(biāo)為a?(1)求證：

%=(A)"，“6N*；(2)求證：%N1+”:(3)求證：y^—<k2-k(注：

"k-\"k-\gq

丑％=%+%+—+%)(湖南示范，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005(4)P43)

解：(1)y'=kxk-',若切點(diǎn)是Q“(a”a.k),則切線方程是y—吊=履片。-%)

當(dāng)n=l時(shí)，切線過點(diǎn)P(1,0)即0—%*=總/(1一《)，得q=—匕；當(dāng)n〉l時(shí)，切線過

點(diǎn)P,I(%T，0);即0-d=履丁?I_《,)得一%=￡,所以數(shù)列｛〃,,｝是首項(xiàng)為上

?！耙?攵-1K-1

⑶設(shè)s“=J-+2+…+土1！+2_則"1.5“=-1+2+...+巴11+/-兩式相減,

a?_.a?k%a-,a?a114.,

k-1-1I1n

得(1—)xS〃=—+—+???+-----------<+------1-,??+----,

說明：該題結(jié)合了解析幾何、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、不等式等諸多知識(shí)，綜合性較強(qiáng)；解答時(shí)需

要較強(qiáng)的思維能力與堅(jiān)持不懈的精神，而將數(shù)列與導(dǎo)數(shù)結(jié)合一起是一種創(chuàng)新。

例4,定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)f(x),滿足f(x+2)=f(x),且f(x)在［-3,-2］上單調(diào)減,

又a、B是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，則()

A,f(sina)>f(sinB)B,f(cosa)<f(cosB)

C,f(sina)>f(cosB)D,f(sina)<f(cosB)(金榜園三模)

解：由已知，f(x)的周期為2,且在［-3,-2］上單調(diào)減，根據(jù)此點(diǎn)可以作出圖象大致如

下:

f(x)在［0,1］上t,只要比較自變量

的大?。篴、B是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角二a+B>n/2,的大a>”/2-B，sina>sin("

/2-B)=cosB,于是f(sina)>f(cosB),選C.

說明：該題雖小，但綜合了三角、函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，解法上也用到了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合的

思想。

［試題匯編］

、單項(xiàng)選擇題

4

1,函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+—,且當(dāng)xW[-3,T]時(shí),nWf(x)<m,則

x

m-n的最小值為()A,1/3B,2/3C,1D,4/3(鄭州質(zhì)檢)

2,設(shè)f(x)=|log3x|,若f(x)>f(」7),則x的取值范圍是(

2

2772727

A,(0,-)U(1,-)B,(―,+8)C,(0,-)U(-,+~)D,一,一)(湖南示范)

7227272

3,(文)已知f(x)=x'l,則lim"2+3x)―/(2):()

18X

A,4B,12C,36D,39(邯鄲一模)

—1m/??-1

(理)m,n是正整數(shù)，則lim-----=()A,0B,1C,—D,絲，(文譜一模)

Xfix"-1nn—1

4,直角梯形ABCD中，P從B點(diǎn)出發(fā)，由B-C-D-A沿邊緣運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距

離是x,4ABP的面積為f(x),圖象如圖，則AABC的面積為()

A

9-----------c

04914

A,10B,16C,18D,32(高慧明《中學(xué)生數(shù)理化》2005(3)P28)

5,平移拋物線x2=-3y,使其頂點(diǎn)總在拋物線x2=y上，這樣得到的拋物線所經(jīng)過的區(qū)域?yàn)?/p>

()A,xOy平面B,ywgx?C,y>-^x2D,yW-gx?(同一套題一模)

6,某大樓有20層，有19人在第一層上了電梯，他們分別要去第2層到20層，每層

一人，而電梯只允許停?次，可只使一人滿意，其余18人都要上樓或下樓。假設(shè)乘客每向

下走一層不滿意度為1,每向上走一層不滿意度為2。所有人不滿意之和為S,為使S最小,

電梯應(yīng)停在第()層。

A,15B,14C,13D,12（燕園沖刺）

I_2__2

7（文）函數(shù)f（x尸""-x（O〈a〈b）的圖象關(guān)于（）對稱

\x+b\-h

A,x軸B,y軸C,原點(diǎn)D,直線y=x

/2__2

（理）函數(shù)Rx尸一1~X——（Ovavbvc）的圖象關(guān)于（）對稱

IX+&I+IX—C|

A,x軸B,y軸C,原點(diǎn)D,直線y=x（石家莊二模）

8,設(shè)a>l,對于實(shí)數(shù)x,y滿足:|xHogaL=。,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象為（）

（石家莊一模）

9（文）已知函數(shù)f（x）=log2x的反函數(shù)為「（x）,若J（a）「（b尸4,則a+b=（）

1

A,-B,1C,2D,4

2

22

（II）已知函數(shù)f（x）=Iog2x的反函數(shù)為『（x）,若J（a）fI（b）=4,則a+b的最小值為（）

A,-B,1C,2D,4（江西吉安二模）

2

10,設(shè)產(chǎn)f（x）是一次函數(shù)，出0尸1,且41）,出4）,瑁3）成等比數(shù)列，則￡/（2口=（）

y

A,n（2n+3）B,n（n+4）C,2n（2n+3）D,2n（2n+4）（石家莊一模）

11,a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比數(shù)列，公比為q,則q+q'q'3）

A,1B,2C,3D,4（〈中國考試.2005高考?？的６?/p>

12（文）數(shù)列｛aj前n項(xiàng)和為Sn=3n-2n2,當(dāng)n22時(shí)，下列不等式成立的是（）

A,nai>Sn>nanB,Sn>na!>nanC,nan>Sn>na[D,Sn>nan>nai（北京東城練習(xí)一）

（理）有一條生產(chǎn)流水線，由于改進(jìn)了設(shè)備，預(yù)計(jì)第一年產(chǎn)量增長率為150%,以后每

年的增長率是前一年的一半；同時(shí)，由于設(shè)備不斷老化，每年將損失年產(chǎn)量的10%。則年

產(chǎn)量最高的是改進(jìn)設(shè)備后的第（）年。A,1B,3C,4D,5（名校聯(lián)考）

二，填空題

13（文）某銀行在某段時(shí)間內(nèi)，規(guī)定存款按單利計(jì)算，且整存整取的年利率如下:

存期1年2年3年5年

年利率（%）2.252.42.732.88

某人在該段時(shí)間存入10000元，存期兩年，利息稅為所得利息的5%。則到期的本利和為

兀。（按石家莊質(zhì)檢改編）

+1

（理）lim（--------+an+b）=3,貝ija+b=______________（湖南示范）

"isn+1

14,設(shè)f(x)=|x|x+bx+c,給出下列命題中，所有正確的命題序號是

①b=0,c>0時(shí)，f(x尸0僅有一個(gè)根：②c=0時(shí)，y=f(x)為奇函數(shù)：③產(chǎn)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)

對稱；④線x)=0至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。(燕園沖刺二)

15(文)在等比數(shù)列忸3中，a7a“=6,a4+ai4=5,則刨=(黃岡模擬)

a\o

(理)已知數(shù)列同｝各項(xiàng)為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sm有Sn=3(an+l)(an+2),若a2,a*a9成等比數(shù)

6

列，貝伊廣(邯鄲一模)

16,已知f(x)=aX(xGR),部分對應(yīng)值如表所示

X-202

f(x)0.69411.44

，則不等式f'(|x-l|)<0的解集是(湖北八校)

三，解答題

17,如圖，周長為16米的籬笆借助一個(gè)墻角圍成一個(gè)矩形ABCD,在矩形內(nèi)的一點(diǎn)P

處是?棵樹，樹距離兩墻分別為a、4米(0<a<12);若將此數(shù)圍進(jìn)去，又使圍成的面積最大，

如何圍法，并求最大面積。(理國起.《數(shù)學(xué)通訊》2004(13))

18(文)已知xWR+,F(x)是R+上的減函數(shù),且耳x尸xF(x)

⑴對任意X1,X2GR+,求證:f(X|)>X|F(Xi+X2),f(X2)>X2F(Xi+X2),并判斷f(X))+f(X2)>f(Xi+X2)

是否為F(x)在正實(shí)數(shù)集上遞減的必要條件：⑵將⑴中的結(jié)論推廣到任意有限個(gè)，寫出一個(gè)結(jié)

論，不必證明(鄭州質(zhì)檢)

(理)已知函數(shù)f(x尸e”(cosx+sinx),將滿足f(x尸0的所有正數(shù)x從小到大排成一個(gè)數(shù)列

tsk

入｝；⑴證明：數(shù)列入｝等比；⑵記S”為數(shù)列｛Xnf(XJ｝的前n項(xiàng)和，求S=lim且一的值(陳

東明.《試題與研究》2005(14)P17-18)

19,已知f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上恒不為0的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)x,y,f(x)f(y尸f(x+y),當(dāng)x>0

時(shí)，有0<f(x)<f(l),⑴求f(O)的值,并證明f(x)恒正；⑵求證f(x)在實(shí)數(shù)集上單調(diào)減；⑶設(shè)

a|=l/3,an=f(n)(n為正整數(shù))，S”為數(shù)列佃｝的前n項(xiàng)和.(文)求Sn(理)求集合

｛附)郎2b……,f(Sn),……,fUimSJ｝的最小元素m與最大元素M(邯鄲二模)

H—>00

n

20(文)已知數(shù)列an=(-l),n=l,2,3,……⑴數(shù)列｛aQ的前n項(xiàng)和為A2數(shù)列｛A。｝的前n項(xiàng)

和為Sn,求證：2Sn+n=An⑵設(shè)bf(1為月,數(shù)列佃｝、｛也溫的前n項(xiàng)和分別為Bn,Cm若Cn

比Bn大42,求n(唐山二模)

(理)已知￡=(2乂-2"9-2垃/=(?1,1),點(diǎn)列心壯)在曲線E:產(chǎn)Z?丹上，而點(diǎn)ah)在

S

y=logax(a>0且aWl)的圖象上(n￡N*)⑴記Sn為㈤｝的前n項(xiàng)和，當(dāng)a=3時(shí)，求limY■的

3V

值；⑵是否存在正整數(shù)M,使得當(dāng)n>M時(shí)，a/l恒成立？證明你的結(jié)論。（吉安二模）

21（文）商學(xué)院為推進(jìn)后勤社會(huì)化改革，與桃園新區(qū)商定：由該區(qū)向建設(shè)銀行貸款500

萬元在桃園新區(qū)為學(xué)院建一棟可容納一千人的學(xué)生公寓，工程于2002年初動(dòng)工，年底竣工

并交付使用，公寓管理處采用收費(fèi)還貸建行償貸款形式（年利率5%,按復(fù)利計(jì)算），公寓

所收費(fèi)用除去物業(yè)管理費(fèi)和水電費(fèi)18萬元.其余部分全部在年底還建行貸款.（1）若公寓

收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)定為每生每年800元，問到哪一年可償還建行全部貸款；（2）若公寓管理處要在

2010年底把貸款全部還清，則每生每年的最低收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是多少元（精確到元）.（參考數(shù)據(jù):

Igl.7343=0.2391,lgl.05=0.0212,1.058=1.4774）

（理）某地區(qū)發(fā)生流行性病毒傳染，居住在該地的居民必須服用一朝藥物預(yù)防，規(guī)定每

人每天早晚8時(shí)各服一片。現(xiàn)知該藥片每片含藥量為220毫克，若人的腎臟每12小時(shí)從體

內(nèi)濾出這種藥物的60除在體內(nèi)殘留量超過386毫克，就將產(chǎn)生負(fù)作用。⑴某人匕午8時(shí)第

一次服藥，問到第二天上午8時(shí)，這種藥物在體內(nèi)還殘留多少？⑵長期服用這種藥的人會(huì)不

會(huì)產(chǎn)生負(fù)作用？（《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005（4）P42）

22（文）如圖，一個(gè)粒子在區(qū)域｛（x,y）|x20,y》0｝上運(yùn)動(dòng)，在第一秒內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到

B1（O,1）點(diǎn)，接著按圖中箭頭所示方向在x軸、y軸及其平行方向上運(yùn)動(dòng)，且每秒運(yùn)動(dòng)一個(gè)單

B5

B4

B3J

B21

1AlA2A3A4A5A6

位長度。I

⑴設(shè)粒子從原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A0、Bn、Cn時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別為a0、bn>Cn,試寫出三者的通

項(xiàng)公式;⑵求粒子從原點(diǎn)到點(diǎn)P（16,44）時(shí)所需要的時(shí)間;⑶粒子從原點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過2004

秒后，它所處的位置（《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2005（4）P42）

（理）設(shè)A（x1,y）,B（X2,y2）是函數(shù)f（x）=—1+log?」X一圖象上任意兩點(diǎn)，且

21-x

（3+而），點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為g⑴求證M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值;⑵若S.=￡/（2）,n

2

GN*,且n22,求S”;⑶已知a"=、（”=DnGN*,T"為數(shù)列｛aj的前n項(xiàng)和，若TW

----------;----------（"22）

入（Sm+l）對一切nGN*都成立，求人的取值范圍（濰坊模擬）

向量與三角

一，考綱要求及分析

1.平面向量：理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。掌握向

量的加法和減法。掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。了解平面向量的基

本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。掌握平面向量的數(shù)量積及

其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂

直的條件。掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練

運(yùn)用。掌握平移公式。試題一般設(shè)計(jì)思路是理解為容易題，掌握為中等題，熟練應(yīng)用為綜合

題，而向量綜合又集中于距離、定比分點(diǎn)向量的坐標(biāo)運(yùn)算處，創(chuàng)新也主要體現(xiàn)在它與三角、

解析幾何的進(jìn)一步綜合性的加強(qiáng)上。

2,三角部分：理解任意角的概念、弧度的意義.能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。掌握

任意角的正弦、余弦、正切的定義.了解余切、正割、余割的定義。掌握同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系式.掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。了解周期函數(shù)與最小正周期的意義。掌握兩角和與

兩角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。能正確運(yùn)用三角公

式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明。了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)

的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)產(chǎn)Asin(3x+0)的簡圖，理解

A,3,0的物理意義。掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形。此處試

題的創(chuàng)新主要體現(xiàn)為以下幾點(diǎn)：一是由于多年慣性的作用，仍然在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)上

下大力氣，這種創(chuàng)新實(shí)質(zhì)還是將三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)視作掌握層次加以對待，小題中出現(xiàn)

尚可，大題中出現(xiàn)不貼切；二是原來以三角求值為重心轉(zhuǎn)化到以化簡為重心，這一轉(zhuǎn)換實(shí)質(zhì)

是將求值看作?種特殊的化簡對待，是i種認(rèn)識(shí)思想理念的轉(zhuǎn)變，理應(yīng)給予肯定；三是將平

移綜合在一起，既堅(jiān)持了傳統(tǒng)意義上的左、右、上、下平移敘述，也可以以向量的面貌出現(xiàn),

也是很貼切的處理方式。

例1，將函數(shù)y=J(cos3x-sin3x)的圖象沿向量a=(h,O)平移，可以得到y(tǒng)=-sin3x的

2

圖象，其中h=()A,Jt/4B,-n/4C,Ji/12D,-n/12(《高中數(shù)理化》

2005(2)P3)

解［方法一］將y=-sin3x沿-a=(-h,0)平移得y=-sin3(x+h)=-sin3xcos3h-cos3xsin3h

sin3h-....27r

J23h=-—+2kn,h=—kn-一(k￡Z),k=O時(shí),h=--.選D

72431212

cos3h=---

2

[方法二]y=---(cos3x-sin3x)=-sin(3x-C)=-sin[3(x-2),沿a二(-￡,0)平移可得

241212

y=-sin3x,選D.

說明：該題的兩種解法體現(xiàn)了正向、逆向兩種思維順序的變化，以此來體現(xiàn)思維能力；

平移又是學(xué)生最容易犯錯(cuò)誤的地方，一般的點(diǎn)(x,y)沿向量(h,k)平移后得到(x+h,y+k),而曲

線f(x,y)=0沿向量(h,k)平移后得到曲線f(x-h,y-k)=0,向量(x,y)沿向量(h,k)平移后得到

向量仍然為(x,y),這些規(guī)律可以用“點(diǎn)相同，線相反，向量平移永不變”一句話加以總結(jié)，

這里沿向量(h,k)平移也可以敘述為沿x軸、y軸平移h、k個(gè)單位，h、k為正表示向右、上

平移，為負(fù)表示向左、下平移。

例2,二次函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x,f(l-x)=f(1+x)成立，設(shè)a=(sinx,2),b=(2sinx,')

2

,c=(cos2x,1),d=(l,2),當(dāng)xW［0,n］時(shí),解關(guān)于x的不等式f(a.b)>f(c.d)(毛仕理.《數(shù)理

天地》.2005(4).P19)

解：山已知f(x)關(guān)于x=l對稱，而a.b=2sir?x+l=2-cos2xN1,c.d=cos2x+221,

f(a.b)>f(c.d),當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，f(x)在x21上單調(diào)增，a.b>c.d,cos2x<0,VxG

rr3乃解集為「o,7卜

[0,｝：RJ3.(當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí),

44

例3,設(shè)兩個(gè)向量ei、e2,滿足|e1|=2,e2|=1,ei>6的夾角為60°,若向量2tei+7te2

與向量ei+te?的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)［的取值范圍（邯鄲一模）

解：由已知得（2te1+7te2）.（ei+te2）=2te/+（2t2+7）eie2