【論中學(xué)數(shù)學(xué)中的對稱美及其應(yīng)用研究7000字【論文】】

論中學(xué)數(shù)學(xué)中的對稱美及其應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u129881.前言 1140481.1研究背景 1291131.2研究意義 28472.相關(guān)概念概述 3912.1對稱的概念 3192592.2數(shù)學(xué)美 3238462.3數(shù)學(xué)對稱美的分類 3163223.對稱美在中學(xué)數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式 493513.1平面圖形的對稱美 443813.2空間圖形的對稱美 6308723.3公式與定理的對稱美 71644.對稱美在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 867784.1利用對稱美,猜想問題結(jié)果 8119614.2利用對稱美,產(chǎn)生解題靈感 996404.3利用對稱性,對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化 1032764.4利用對稱美,合理準(zhǔn)確選擇 11246995.結(jié)論 1120085參考文獻(xiàn) 121.前言1.1研究背景數(shù)學(xué)美自古以來就吸引著人們的注意力,古代哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家魯卡拉斯曾經(jīng)說過“有數(shù)學(xué)的地方是美麗的.”數(shù)學(xué)如果能正確表示的話,不僅僅是真實(shí),哈迪在數(shù)學(xué)家的歧視下寫下了數(shù)學(xué)家的建模要像畫家和詩人那樣協(xié)調(diào).美是第一標(biāo)準(zhǔn),不美的數(shù)學(xué)在世界上是不會(huì)有永久位置的.在古希臘,人們在研究數(shù)學(xué)對稱性得到了啟發(fā),例如,泰勒斯能正確測量金字塔的高度,就是應(yīng)用三角形一致的原理,還有測量海上船只之間的距離,我們就運(yùn)用了今天他所研究的比率原則.他還認(rèn)為,“圓的直徑填圓”、“等腰三角形的兩個(gè)角相等”、“兩條直線相交,頂點(diǎn)相等”等.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為圓是最完美的平面圖,球是最完美的立體圖形.并且,基本天體模型由球組成.而且,它構(gòu)成了希臘天文學(xué)的基礎(chǔ).歐幾里德寫的書是人類歷史上最早最豐富的數(shù)學(xué)書,它影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展,有很多關(guān)于對稱性的命題,表明人們在那個(gè)時(shí)候?qū)ΨQ性有了更深刻的理解.例如,歐幾里德的“相等量的相等量”、“相等量的相等量的差”、“相等量的相等量的合計(jì)”,包含了幾個(gè)公理,加上“相等量之和相等量”,周易這本書還描寫了其中包括天文學(xué)等自然科學(xué)的內(nèi)容,是中國哲學(xué)和科學(xué)史上第一部經(jīng)典作品,劉慧在《出入互補(bǔ)》中,就深刻反映了作者對對稱性的研究在九章算術(shù)中關(guān)于剩余問題,還包含對稱性的概念.而楊輝三角是一種典型的直觀對稱圖形,反應(yīng)了二項(xiàng)展開式中系數(shù)間的一種對稱結(jié)構(gòu).這些都是國內(nèi)外對于對稱性的研究,這就是數(shù)學(xué)對稱美的魅力從很久以前就吸引著許多優(yōu)秀數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者的追捧[2].1.2研究意義數(shù)學(xué)中的對稱性是普遍存在的,不僅具有美感,而且具有價(jià)值,對稱更是一種重要的數(shù)學(xué)思想,可以使用數(shù)學(xué)模型和方法、代數(shù)、幾何、方程式、對稱性的概念來解決問題,簡化問題,提高解決問題的效率,例如,解決方程式的方程式,在方程式的兩側(cè)添加數(shù)字或公式方程式還相等.這是對稱概念,對稱是數(shù)學(xué)幾何中最直觀的實(shí)施例,如圓、球、拋物線、雙曲線,所有的對稱性都非常直觀,使用對稱性可以直接得出結(jié)論和結(jié)果.初中生在解決數(shù)學(xué)問題的過程中可以合理使用對稱性,可以幫助學(xué)生解決問題,它可以培養(yǎng)學(xué)生的多種思維,展示數(shù)學(xué)的對稱美,加深學(xué)生對數(shù)學(xué)對稱性方法和應(yīng)用技術(shù)的理解.然后,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和應(yīng)用能力.不僅可以讓學(xué)生快速解決問題,而且可以讓他們體驗(yàn)對稱性之美.學(xué)習(xí)對稱性的思想對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有重要的意義.數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)真理的一種表達(dá).數(shù)學(xué)上的許多重大發(fā)現(xiàn)或突破都得益于數(shù)學(xué)中對稱美的方法[3].在數(shù)學(xué)教育中,一些學(xué)生對概念和定理的理解常常停留在膚淺的水平.在教育中明智地使用概念和定理的對稱性,可以使學(xué)生加深對概念的理解.在感受數(shù)學(xué)對稱之美的同時(shí),了解數(shù)學(xué)的魅力[4].首先,我們應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的興趣.美的教育的影響也是重要的方面.簡單、奇妙、對稱性和統(tǒng)一,數(shù)學(xué)中有豐富的美.因此,在中學(xué)數(shù)學(xué)教育過程中,要充分挖掘數(shù)學(xué)美的因素,并對各種數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生積極影響,教學(xué)生有效的方法.初中數(shù)學(xué)的對稱性之美是一本很好的教科書.因此,應(yīng)該注意對稱性的基本內(nèi)容和對稱性的數(shù)學(xué)思考方法.20世紀(jì)著名的德國數(shù)學(xué)家哈曼?維爾這樣說道.我們可以看到對稱美和思考方法的重要性.但是,我們的“中學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”是學(xué)生必須掌握的教材內(nèi)容,特別是對這種對稱思考方法的應(yīng)用要理解和掌握,平面圖形的對稱變換學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)幾何圖形中一些相對簡單的對稱群,對進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)在研究事物對稱性和其他數(shù)學(xué)對象中有重要作用.2.相關(guān)概念概述2.1對稱的概念“對稱”一詞是從希臘語翻譯而來的,其含義是“和諧”和“美”,其原始含義是“某些項(xiàng)目的安排的統(tǒng)一與和諧”.中國數(shù)學(xué)家段樹夫教授說:“對稱性意味著兩件事是相對的和成比例的,或者相似且相等”.因此,互換兩者似乎并沒有關(guān)系.“美麗與對稱性息息相關(guān)”,德國著名的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家韋爾說.在現(xiàn)實(shí)世界中,形式和內(nèi)容的對稱性廣泛存在于客觀對象中,包括軸向?qū)ΨQ性.空間對稱,周期性,有節(jié)奏,旋律的時(shí)間對稱,例如向心對稱,鏡像對稱等.對稱美是數(shù)學(xué)美的主要表達(dá)方式之一,數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)量與數(shù)量之間關(guān)系中自然對象和諧的最直觀表達(dá),它是具有自動(dòng)轉(zhuǎn)換組作用的組成部分[5].2.2數(shù)學(xué)美美是客觀對象的自然屬性.數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)語言,具有共同的語言、文學(xué)和藝術(shù)美.也就是說,數(shù)學(xué)在內(nèi)容的構(gòu)造和方法,即所謂的數(shù)學(xué)美中有著獨(dú)特的美.2.3數(shù)學(xué)對稱美的分類2.3.1圖形的對稱美圖形的對稱性很直觀,可以給人以美感.中學(xué)數(shù)學(xué)中幾何圖形的對稱性是視覺對稱性的典型美.平面或空間圖形的對稱性,平面圖形的軸對稱性和空間圖形的平面對稱性是很好的例子.例如,圓是中心對稱的,穿過對稱中心的所有線條都是對稱軸.球總是被認(rèn)為是最簡單而美麗的幾何圖形.它是中心對稱的,穿過對稱中心的所有平面都是球的對稱平面.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相信“在所有三維圖形中,最美麗的是一個(gè)球體,而在所有平面圖形中,最美麗的是一個(gè)圓”.用立方體連接4個(gè)適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)以獲得四面體.臉部中央,八面體脊椎和圓錐形部分可以使人擁有強(qiáng)烈而完美對稱的美感[6].2.3.2公式的對稱美公式的對稱性主要表現(xiàn)咋在不同算術(shù)符號(hào)的有效性和操作順序的兼容性.公式的對稱性不像圖表那樣直觀和靈活.例如：,.在這里,和可以互換,公式仍然可以成立2.3.3定理的對稱美數(shù)學(xué)中對稱性的美也可以反映在數(shù)學(xué)中的各種概念和定理之間的對稱性上.與正弦規(guī)則一樣,我們簡要地總結(jié)了三角形邊緣和外接圓的角度和半徑之間的關(guān)系.結(jié)構(gòu)對稱.廣義上,奇數(shù)和偶數(shù)與奇偶校驗(yàn)不同,素?cái)?shù)和復(fù)合數(shù)可以通過對稱關(guān)系與可分解性相區(qū)分.在算術(shù)關(guān)系,和,乘法和平方根,指數(shù)和對數(shù),微分和積分,矩陣和逆矩陣方面,這些倒數(shù)運(yùn)算可以視為“對稱”關(guān)系.特征也可以被認(rèn)為是某種“對稱”,并且更為籠統(tǒng).變換和逆變換,反射和逆反射率也是對稱的.從命題的角度來看,它具有原始定理和逆定理,具有對稱和逆對稱性關(guān)系[7].2.3.4解題方法的對稱美對稱美是人類美學(xué)的一個(gè)共同方向,不僅成為一種深刻的思想,而且成為解決問題的重要探索工具.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中考慮對稱美的要素時(shí),使用對稱美的思想可以啟發(fā)學(xué)生找到合適的問題解決方法[8].3.對稱美在中學(xué)數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)形式3.1平面圖形的對稱美3.1.1軸對稱圖形在平面幾何中,如果平面形狀沿著平面內(nèi)的直線折疊,兩個(gè)部分能夠重疊,則該圖形被稱為軸對稱圖形,該條直線被稱為對稱軸.根據(jù)定義,對稱軸兩側(cè)的圖形的對應(yīng)部分是相同的,關(guān)于對稱軸對稱的任意點(diǎn)也在該圖中[9].圖3-1幾個(gè)軸對稱的平面圖形3.1.2中心對稱圖形中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中對中心對稱圖形的定義.如果旋轉(zhuǎn)圖形與原始圖形一致,則該圖形是中心對稱圖形,并且該點(diǎn)可以被稱為對稱中心.例如,一般的平行四邊形圍繞其中心旋轉(zhuǎn)180°,那么這個(gè)圖形會(huì)與原圖形重合,我們就可以說這個(gè)圖形是一種中心對稱的圖形.像下圖中的橢圓和雙曲線圖形就是一種中心對稱圖形,這兩種圖形的對稱的中心是坐標(biāo)的原點(diǎn).根據(jù)定義,當(dāng)平面在固定點(diǎn)附近旋轉(zhuǎn)180度時(shí),可以這樣理解平面對稱圖形,此時(shí),平面上所有的點(diǎn)都在移動(dòng),圖表的點(diǎn)也在移動(dòng),但他們整體不變[10].因此他們是中心對稱的圖形.圖3-2圓錐曲線3.1.3平移對稱圖形平面內(nèi)的幾何形狀的定義如下：當(dāng)平面圖形沿著一定距離平行于一定方向移動(dòng)時(shí),如果移動(dòng)后的圖形與原始圖保持一致,那么我們就可以說這個(gè)圖形是一種平移的對稱圖形.就像下圖中的正弦函數(shù)圖像以及余弦函數(shù)圖像,他們沿著水平方向按個(gè)單位平移后,他們與原始圖一致,在切線函數(shù)沿著水平方向移動(dòng)個(gè)后,它也與原始圖一致.那么就可以說,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像是軸對稱圖形和中心對稱圖形.圖2.3正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像3.2空間圖形的對稱美3.2.1面對稱圖形在給定平面的反射下,如果一個(gè)圖形經(jīng)過平面的反射后成為自身,那么我們就可以說這種圖形是一種面對稱的圖形,造成反射的平面就是對稱面,這種平面也可以叫做對稱平面.就像下圖中的正四面體、立方體、圓錐、球,他們都屬于面對稱形狀的立方體,有九個(gè)對稱平面的是正方體,即任意兩個(gè)相反的中心和任意邊緣的中點(diǎn)形成的平面,圓錐形和球都有無數(shù)對稱平面,但是圓錐對稱的所有平面都必須通過軸,也就是穿過軸的平面束,而且,球的對稱性的平面是穿過球的中心的任何平面.從定義的角度來看,平面內(nèi)的平面對稱圖形和平面內(nèi)的軸對稱圖形具有一些共同的特征.軸對稱軸由對稱平面代替,沿著固定線的反射由固定平面上的反射代替.平面圖形的軸對稱性是空間圖形對稱性的特殊情況,平面軸對稱圖形可以作為平面軸、角度、等角三角形、正方形、圓、橢圓等空間軸對稱圖形來考慮空間圖形.它們通過對稱軸并且相對于垂直于圖的平面是平面對稱的[11].圖3-4幾個(gè)空間對稱圖形3.2.2旋轉(zhuǎn)對稱圖形空間模型圍繞固定線旋轉(zhuǎn).在旋轉(zhuǎn)后的圖形與原始圖形一致的情況下,我們可以把這種圖形稱為旋轉(zhuǎn)對稱圖形,將該固定線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如像圖3-4中的正四面體圖形,正四面體圖形通過旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)0°、120°、240°后,正四面體圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形還和原來的圖一致,所以正四面體圖形是3次旋轉(zhuǎn)對稱圖形.在圖3-4中,立方體繞連接兩個(gè)相反中心的線旋轉(zhuǎn)270°、180°、和0°立方體圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形還和原來的圖一致,所以立方體圖形是4次旋轉(zhuǎn)對稱圖形.圖3-4的圓錐形和球都是任何旋轉(zhuǎn)的對稱形狀,但圓錐只有一個(gè)旋轉(zhuǎn)軸,而球只有無數(shù)個(gè)旋轉(zhuǎn)軸,即穿過球中心的任何線都可以是旋轉(zhuǎn)軸.換句話說,平面內(nèi)的中心對稱圖形是空間中旋轉(zhuǎn)對稱圖形的特殊情況.根據(jù)定義方法,只要固定中心點(diǎn)在中心對稱圖形的定義中被固定線替換,就成為旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義.子中心對稱圖是經(jīng)由次的旋轉(zhuǎn)后與原始的圖形對稱[12].3.3公式與定理的對稱美3.3.1公式的對稱美公式最常見和最重要的對稱性是字符在單個(gè)公式中的對稱.例如,用于計(jì)算三角形的三個(gè)邊是三角形的圓周的一半的三角形的面積的Helen的公式.三個(gè)字母之中兩個(gè)任何交換,則該公式仍然保持,這表明對應(yīng)于三個(gè)側(cè)面的兩個(gè)相等的三角形是相等的,因此三角形的三個(gè)側(cè)面可以確定三角形的面積,并且該公式的對稱性是不僅可以直接顯示公式的美,而且可以直接顯示數(shù)學(xué)的美.另外,楊輝三角可以直接顯示雙系數(shù)的組合結(jié)構(gòu),反映出數(shù)學(xué)的對稱美.3.3.2定理的對稱美在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中,對稱性是不可缺少的.事實(shí)上,中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)整體上遵循著許多概念和理論的對稱性.從操作的角度來看,加減法、乘法、除法、根、指數(shù)和對數(shù)、微分積分、矩陣、逆矩陣等.因?yàn)檫@些操作是一種對稱性,所以為了知道這些知識(shí)的連接和差異,可以在教師的教授過程中使用對稱性類推推測.在另一個(gè)例子中,從函數(shù)、函數(shù)和反函數(shù)的角度來看也是對稱關(guān)系的一種.因此,學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)概念后,首先要回顧函數(shù)的概念,進(jìn)行比較研究,從命題、真題、假命題、命題和逆命題的角度出發(fā),這些命題的關(guān)系也是對稱的[13].4.對稱美在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用對稱美遍布宇宙.對稱性在日常生活中隨處可見,如白雪、彩蝶、花瓣、宏偉建筑和精致工藝品等.隨著人類社會(huì)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,對稱性的研究在各個(gè)領(lǐng)域都得到普及,對稱性是物質(zhì)世界的基本性質(zhì)之一,對稱性和對稱性的美是數(shù)學(xué)研究的對象之一[14].4.1利用對稱美,猜想問題結(jié)果對稱本身就是一種美.那是自然美最直接的表現(xiàn).數(shù)學(xué)作為量和形的客觀表現(xiàn),必然會(huì)反映出這種美.許多數(shù)學(xué)家常常考慮到數(shù)學(xué)對稱性的美來獲得重要的數(shù)學(xué)結(jié)果.這里有幾個(gè)例子例1已知,且;求函數(shù)最大值.分析：看到這個(gè)問題,很難直接計(jì)算答案.因此,我們首先觀察這些變量之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)條件和函數(shù)的變量與旋轉(zhuǎn)對稱多項(xiàng)式的定義非常一致.然后,可以計(jì)算函數(shù)的值所以下面的預(yù)測,我們需要證明預(yù)測的正確性,但是在考試中,這也是第一種幫助方法,這種方法也減少了這個(gè)問題的難度其證明可以采用我們基本不等式不難證得.直觀主義的思考,直接和突然的思考的意義理解,沒有邏輯性的分析和明確的邏輯性的程序給予問題的回答.直觀主義的思考在解決問題中起著重要的作用.很多數(shù)學(xué)問題都是從數(shù)字和形式的直觀主義感知中得到一些推測,然后實(shí)行邏輯證明[15].例2：給出半徑的圓,找到在圓上刻有最大面積的三角形在解決問題之前,如果能推測出三角形的特性的話,對解決問題很有幫助.如何推測,那就需要美的直覺.我們知道,圓是最美的,是對稱平面圖形,而能填入圓的三角形則必須最接近圓.因此,這個(gè)三角形必須具有最對稱性.三角形中,正角三角形是最對稱的.比起其他三角形有更多的對稱軸.因此,假設(shè)正角三角形可以填充“圓”到比其他三角形最大的范圍設(shè)圓的內(nèi)接三角形的三邊分別為可得為定值,根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),有最大值同樣地,通過使用對稱性的概念,我們還可以得出結(jié)論,圓形上刻有最大面積的邊緣必須是規(guī)則的邊緣,而球上刻有最大體積的四面體必須是正四面體.評價(jià)和分析：從這個(gè)問題中,可以幫助學(xué)生從對稱性推測和指出問題解決的方向.使用對稱美來解決問題,是一種讓學(xué)生自由感覺的教育,它有助于學(xué)生消除思想套的影響,尤其有助于學(xué)生進(jìn)行非邏輯性的思考活動(dòng).教師可以根據(jù)他們的知識(shí)水平,用計(jì)劃好的方法訓(xùn)練從全體開始的學(xué)生[16].4.2利用對稱美,產(chǎn)生解題靈感對于一些數(shù)學(xué)問題,如一些與不等式有關(guān)的類似問題,這些不等式大多遵循對稱性.此時(shí),我們可以從對稱美的角度觀察變量的關(guān)系,常?？梢约ぐl(fā)我們的靈感,我們可以知道解決問題的想法,解決問題例3如果是一個(gè)三角形三邊之長,試證明:分析：首先觀察結(jié)論,發(fā)現(xiàn)任何轉(zhuǎn)置位置的不等式都是不變的,即不等式是左右對稱的,然后向左移動(dòng).因?yàn)閷ΨQ性,我們只需要變換上面這個(gè)式子左邊的一項(xiàng),其余兩項(xiàng)同理,如于是,左邊其余兩項(xiàng)顯然為:又因?yàn)殛P(guān)于對稱,故不妨假設(shè),此時(shí),而,從而原不等式得證.4.3利用對稱性,對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化數(shù)字公式結(jié)構(gòu)的對稱性必須包括解的對稱性.因此,具有相同結(jié)構(gòu)特性的公式處于相同狀態(tài),處理方法相同.從數(shù)學(xué)對稱性的觀點(diǎn)來看,它常常發(fā)揮優(yōu)化問題解決方案、簡化問題解決過程的效果在平面矩形坐標(biāo)系中,光線從點(diǎn)放射,投影到軸上,由軸反射,反射線與圓切線的情況下,得到光線的線性方程.分析:其實(shí)這個(gè)問題有很多解決辦法,但是我們可以找到比較簡單的解決辦法.如果能利用對稱性巧妙地轉(zhuǎn)換這個(gè)問題,這個(gè)問題就可以被轉(zhuǎn)換成相對簡單的問題.也就是說,通過點(diǎn),找到與A的切線線性方程式系如圖4-1所示xxy圖4-1光線的反射在這個(gè)轉(zhuǎn)換后,我們解決這個(gè)問題非常明確,而且計(jì)算量會(huì)減少.此時(shí),因?yàn)榭梢栽O(shè)置直線的方程,所以顯然存在直線的傾斜,并且將其設(shè)置為傾斜.接下來,根據(jù)圓心（2,-2）之間的距離系,直線式等于1的半徑1,我們就可以得到直線方程4.4利用對稱美,合理準(zhǔn)確選擇數(shù)學(xué)問題必須有各種各樣的解決辦法.不同的方法真的可以擴(kuò)展我們的想法.但是,首先,我們必須學(xué)會(huì)選擇最快最適合解決問題的方法.必須丟掉不恰當(dāng)?shù)姆椒?在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,我們應(yīng)該考慮對稱因素,用對稱美來刺激人們的思維,用對稱美去思考如何解決.例5已知△的內(nèi)切圓與外接圓的半徑分比別為和,則和比值等于( ) 分析：從以上四個(gè)選項(xiàng)中,我們可以看出選項(xiàng)是最對稱的.因此,我們可以推測,這個(gè)答案應(yīng)該選擇分析問題的深層.三角形的三個(gè)側(cè)面或角度對總和有相同的效果,兩個(gè)半徑對三角形都是公平的.也就是說,任何邊緣或角度都是同等重要的,因此我們可以說在比例表示中必須有旋轉(zhuǎn)對稱的邊緣或角度.根據(jù)上述例子,可以預(yù)先預(yù)測和證明數(shù)學(xué)問題的結(jié)論,并且預(yù)測的密鑰是使用對稱性的概念和方法.當(dāng)然,人們自古以來就使用對稱來研究問題.中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)對稱性應(yīng)用中,需要進(jìn)一步研究和深化工作.5.結(jié)論本文從對稱性的意義開始,說明了中學(xué)數(shù)學(xué)中對稱性的意義.研究中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)對稱性的應(yīng)用非常重要.首先,從知識(shí)學(xué)習(xí)的觀點(diǎn)出發(fā),主要把握中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中對稱性的表現(xiàn)形式,明確中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)體系整體中對稱性的應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)課本對稱性的研究