高數(shù)-泰勒公式

主講教師:王升瑞高等數(shù)學(xué)第十七講1二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式第八節(jié)一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應(yīng)用—應(yīng)用用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)理論分析近似計(jì)算泰勒(Taylor)公式第二章2特點(diǎn):一、泰勒公式的建立以直代曲在微分應(yīng)用中近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計(jì)誤差?x的一次多項(xiàng)式假設(shè)是非多項(xiàng)式函數(shù)，問是否可用一個n次多項(xiàng)式來近似表示3由誤差即為一次多項(xiàng)式＋的高階無窮小試問是否成立？即是否求出特例：4即為拋物線與更為接近問類似方法可得右邊的多項(xiàng)式在0的附近可以無限的接近于如何用高次多項(xiàng)式來近似表示已給函數(shù)，并給出誤差公式呢?51.求

n

次近似多項(xiàng)式要求:故令那么62.余項(xiàng)估計(jì)令(稱為余項(xiàng)),那么有78公式①稱為的n

階泰勒公式.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng).泰勒中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時,有①其中②那么當(dāng)9公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項(xiàng).在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時,泰勒公式可寫為注意到③④*可以證明:④式成立10特例:(1)當(dāng)n=0

時,泰勒公式變?yōu)?2)當(dāng)n=1

時,泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理可見誤差11稱為麥克勞林〔Maclaurin〕公式.那么有在泰勒公式中假設(shè)取那么有誤差估計(jì)式假設(shè)在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式12二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式其中13其中1442246420246泰勒多項(xiàng)式逼近1542246420246泰勒多項(xiàng)式逼近16五、小結(jié)17五、小結(jié)18五、小結(jié)19五、小結(jié)2021222324252627282930313233343536類似可得其中37其中38其中類似可得391.利用泰勒公式求極限例1計(jì)算解:原式三、泰勒公式的應(yīng)用40例2求解：用函數(shù)的麥克勞林展開式求此極限41解:由于用洛必塔法那么不方便!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),例3.求42例4

設(shè)求解432.利用泰勒公式證明不等式例4.證明證:44例5

設(shè)當(dāng)，有證明在時，至少有一個實(shí)根。在處展開成一階泰勒公式因此，根據(jù)連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)而此使得的一個實(shí)根。證明將定理可知，至少存在一點(diǎn)為2.利用泰勒公式證明方程根的存在性45內(nèi)容小結(jié)1.泰勒公式其中余項(xiàng)當(dāng)時為麥克勞林公式.462.常用函數(shù)的麥克勞林公式

(P139~P140)3.泰勒公式的應(yīng)用(1)近似計(jì)算(3)其他應(yīng)用求極限,證明不等式等.(2)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù),47作業(yè)P1411〔2〕;3；4;5;6；748泰勒

(1685–1731)英國數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最優(yōu)秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《線性透視論》(1719)他在1712年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式.他是有限差分理論的奠基人.49麥克勞林(1698–1746)英國數(shù)學(xué)家,著作有:《流數(shù)論》(1742)《有機(jī)幾何學(xué)》(1720)《代數(shù)論》(1742)在第一本著作中給出了后人以他的名字命名的麥克勞林級數(shù).504、設(shè)，且，證明證明由極限式得利用泰勒公式有從而516.設(shè)函數(shù)在上三階可導(dǎo),且設(shè)使證:因因因此試證存在利用二階泰勒公式,得527.設(shè)函數(shù)在