高中數(shù)學(xué)必修五2.4等比數(shù)列(一)

2．4等比數(shù)列〔一〕主備人：高秀娟副備人：魏本忠課前小練數(shù)列等差數(shù)列定義同一常數(shù)通項(xiàng)公式性質(zhì)

an+1-an=dd叫公差

an=a1+(n-1)d

an=am+(n-m)d如果一碗面由256根面條組成,請問需要拉面師傅拉幾次才能得到?我國古代學(xué)者提出：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！奔匆怀唛L的木棒，每日取其一半，永遠(yuǎn)也取不完，這樣每天剩下的局部都是前一天的一半。如果把“一尺之棰”看成單位“1”，那么得到的數(shù)列是如果每一輪每一臺電腦都感染20臺電腦，那么在不重復(fù)的情況下，這種病毒每一輪感染的電腦數(shù)構(gòu)成的數(shù)列是：1，20，202，203，…，20n-1，…拉面時(shí)前9次拉伸成的面條根數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列:

這些數(shù)列有什么共同特點(diǎn)?從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)。1,2,4,8,16,32,64,128,2561,2,4,8,16,32,64,128,256名稱等差數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),

這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用q表示.如果一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，用d表示1.等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示?；蚱鋽?shù)學(xué)表達(dá)式：1、判斷以下數(shù)列是否為等比數(shù)列。假設(shè)是，那么公比是多少，假設(shè)不是，請說明理由：(1)

16，8，4，2，1，…；(2)

5，-25，125，-625，…；

(4)

2，2，2，2，2，…；(3)1，0，1，0，1，…；是，公比是0.5是，公比是-5

不是是，公比是1(5)x=0時(shí)，不是；否那么，是.公比為x注意【預(yù)習(xí)自測】（1）即等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不為0；（2）即等比數(shù)列的公比不為0；（3）為非零常值數(shù)列；

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

法一：遞推法〔不完全歸納法〕……由此歸納等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：等比數(shù)列等差數(shù)列……由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：類比累乘法……共n–1項(xiàng)×〕等比數(shù)列法二：迭加法……+）等差數(shù)列類比2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：

3.性質(zhì)：可得可得等差數(shù)列等比數(shù)列類比4、等比中項(xiàng)如果在a,b中插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a,b的等比中項(xiàng).如果G是a與b的等比中項(xiàng),那么,即

G2=ab,因此,【預(yù)習(xí)自測】【課內(nèi)探究】〔展示〕

解：〔1〕〔2〕〔3〕例2、某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年剩留的這種物質(zhì)是原來的84％.這種物質(zhì)的半衰期為多長(精確到1年)?〔放射性物質(zhì)衰變到原來的一半所需時(shí)間稱為這種物質(zhì)的半衰期〕解：設(shè)這種物質(zhì)質(zhì)量是1，答：這種物質(zhì)的半衰期約為4年.小結(jié)數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義同一常數(shù)通項(xiàng)公式性質(zhì)

an+1-an=dd叫公差

an=a1+(n-1)d

an=am+(n-m)d你還知道等差數(shù)列有什么性質(zhì)嗎?你能類比寫出等比數(shù)列的性質(zhì)嗎?q叫公比

an=a1qn-1

an=amqn-m【反響檢測】D4、某地為了保持水土資源實(shí)行退耕還林，如果2013年退耕8萬公頃，以后每年比一年增加10%，那么2018年需退耕多少萬公頃？〔結(jié)果保存到個(gè)位〕解：答：2018年需退耕約13萬公頃.解：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可得：q=10,a1=-30解：n=1a1=21=2n=2a2=22=4可得：q=2nAn+Ba=（等差）nA×Bna=（等比）例3：由下列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求首項(xiàng)與公比（1）an=2n(2)an=3×10n

思考:你能判斷它們的增減性嗎?猜一猜給你一張足夠大的紙，假設(shè)其厚度為0.1毫米，那么當(dāng)你把這張紙對折了51次的時(shí)候，所到達(dá)的厚度有多少？

猜一猜：把一張紙折疊51次，得到的大約是地球與太陽之間的距離！圖〔１〕是一個(gè)邊長為１的正三角形，將每邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖〔２〕，如此繼續(xù)下去，得圖〔３〕……試求第ｎ個(gè)圖形的邊數(shù),邊長和周長．應(yīng)用拓展思考按照此題作法形成的圖形也稱為雪花曲線．可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ｎ增大時(shí)，這個(gè)圖形的邊長越來越小，但周長卻越來越大，你還能發(fā)現(xiàn)這個(gè)圖形其他有趣的性質(zhì)嗎？

要計(jì)算第ｎ個(gè)圖形的周長，只需計(jì)算第ｎ個(gè)圖形的邊數(shù)．第１個(gè)圖形的邊數(shù)為３，因?yàn)閺牡冢矀€(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊數(shù)均為上一個(gè)圖形邊數(shù)的４倍，所以，第ｎ個(gè)圖形的邊數(shù)為３×４ｎ－１．因此，解：設(shè)第ｎ個(gè)圖形的邊長為ａｎ．由題意知，