初中九年級數(shù)學課件-弧、弦、圓心角

弧、弦、圓心角（1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。（2）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧。（3）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。以舊引新活動1現(xiàn)象一：一塊圓形的蛋糕，糕點師只要過圓心點在互相垂直的兩個方向上切兩刀，不管糕點師站在哪里，分成的四塊一定是均等的。

這個現(xiàn)象跟圓的哪個性質(zhì)有關(guān)？探究一：圓的中心對稱性想一想：這些現(xiàn)象說明了什么？說明對折后能夠完全重合，只要是過圓心的直線，分成的兩部分均對稱，說明圓是軸對稱圖形，對稱軸是過圓心的任一條直線。以舊引新活動1現(xiàn)象二：機械式鬧鐘上鐘時，每次只要轉(zhuǎn)動發(fā)條上的鐘鈕180°時，看上去跟沒轉(zhuǎn)動以前是一個樣的。這個現(xiàn)象跟圓的哪個性質(zhì)有關(guān)？探究一：圓的中心對稱性想一想：這些現(xiàn)象說明了什么？說明鐘鈕左右兩端轉(zhuǎn)動180°后完全重合，兩端均在以軸心為圓心的圓上運動，說明圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。歸納概括活動1結(jié)論：1.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。2.圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。探究一：圓的中心對稱性想一想：由以上現(xiàn)象，概括圓的對稱性。大膽操作探究新知識活動1探究二：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系1.按下面的步驟做一做：（1）在兩張透明紙上，作兩個半徑相等的⊙O和⊙O′，沿圓周分別將兩圓剪下；（2）在⊙O和⊙O′上分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′，如圖1所示，圓心固定。重點、難點知識★▲圖1注意：在畫∠AOB與∠A′O′B′時，要使OB相對于OA的方向與O′B′相對于O′A′的方向一致，否則當OA與OA′重合時，OB與O′B′不能重合。大膽操作探究新知識活動1探究二：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系（3）將其中的一個圓旋轉(zhuǎn)一個角度。使得OA與O′A′重合。重點、難點知識★▲通過上面的做一做，你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？同學們互相交流一下，說一說你的理由。活動1探究二：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系重點、難點知識★▲圖1由已知條件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由兩圓的半徑相等，

可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋轉(zhuǎn)法可知

。大膽操作探究新知識圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。集思廣益證明新知活動2探究二：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系重點、難點知識★▲根據(jù)對上述定理的理解，你能證明下列命題是正確的嗎？（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)（劣）弧相等。反思過程，發(fā)現(xiàn)定理?；顒?探究二：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系重點、難點知識★▲定理“在同圓和等圓中，

相等的圓心角所對的弧相等，

所對的弦也相等”中，

可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？如圖，雖然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，

。反思過程，發(fā)現(xiàn)定理?；顒?探究二：圓心角、弧、弦之間的關(guān)系重點、難點知識★▲思考：（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優(yōu)（劣）弧相等中的條件“在同圓和等圓中”是否能夠去掉？弦、圓心角、弧三量關(guān)系：在同圓或者等圓中，圓心角，弧，弦有一個量相等，那么其他的量也對應相等。舊題新解活動1探究三：圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理的應用【思路點撥】對開放性逆向思維的題目，首先應依題意抓住問題適合的依據(jù)定理，再由定理和題設補充條件。例1.如圖，的直徑CD與弦AB交于點M，添加條件

（寫出一個即可），就可得到M是AB的中點。練習：如上圖，CD是的直徑，AB是弦，CD⊥AB于M，則可得出AM=MB，等多個結(jié)論，請你按現(xiàn)有圖形給出其他兩個結(jié)論。集思廣益求解角度活動2探究三：圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理的應用例2.如圖，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求證∠AOB=∠AOC=∠BOC?！舅悸伏c撥】由，有AB=AC，可得△ABC是等邊三角形，故AB=AC=BC，所以得∠AOB=∠AOC=∠BOC。證明：∵∴AB=AC，△ABC是等腰三角形。又∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=CA?！唷螦OB=∠AOC=∠BOC。集思廣益求解角度活動2探究三：圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理的應用練習：如圖，AB是⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度數(shù)?！舅悸伏c撥】求圓心角度數(shù)，可先求出該圓心角度數(shù)所對弧的度數(shù)。解：由BC＝CD＝DA可以得到這三條弦所對的圓心角相等，連接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，∵AB是直徑，∴∠BOD＝×180°＝120°大膽探索，證明線段相等與弧度相等?；顒?探究三：圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理的應用例3.如圖，AB，CD是⊙O的弦，M、N分別為AB、CD的中點且∠AMN=∠CNM，求證：AB=CD?！舅悸伏c撥】由中點想到垂徑定理，由等角對等邊定理可以得到線段與角度的相等關(guān)系，可以為證明全等三角形創(chuàng)造條件。大膽探索，證明線段相等與弧度相等?；顒?探究三：圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理的應用證明：∵M、N為AB，CD中點，∴OM⊥AB，ON⊥CD?！摺螦MN=∠CNM，∴∠OMN=∠ONM?！郞M=ON。

連接OB、OD，則OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND?！郆M=DN，∴AB=CD。大膽探索，證明線段相等與弧度相等?；顒?探究三：圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理的應用【思路點撥】由圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理可以得到線段與角度的相等關(guān)系，可以為證明全等三角形創(chuàng)造條件。練習：如圖，AB是⊙O的直徑，P、Q是AB上兩點，

且AP=BQ，C、D是⊙O上兩點，且，分別延長CP、DQ，交⊙O于M、N，求證：CP=DQ。大膽探索，證明線段相等與弧度相等?；顒?探究三：圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理的應用證明：連接AC，BD，CO，DO，∵，∴AC=BD，∠COA=∠DOB

∵AP=BQ，∴△ACP≌△BDQ，∴CP=DQ。（1）圓心角概念：頂點在圓心的角叫圓心角。（2）圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形。（3）在同