三角函數(shù)求w問題的一類必備解法

高中數(shù)學(xué)研修室三角函數(shù)求w問題的一類必備解法一．基本原理在三角函數(shù)圖象與性質(zhì)中，對(duì)整個(gè)圖象的性質(zhì)影響是最大的！畢竟，可以改變函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值個(gè)數(shù)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)等.因此，對(duì)的取值范圍的考察就是高考的熱門考點(diǎn)之一，這部分考題呈現(xiàn)出綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的邏輯推理，直觀想象素養(yǎng)要求較高，比如2016年一卷12題，2019年一卷11題，三卷12題等，2022年甲卷11題等.所以，對(duì)的取值范圍的系統(tǒng)研究有助于學(xué)生進(jìn)一步突破三角壓軸！特別地，在這類問題中，尤以下面這類題目出現(xiàn)頻率最高，即定區(qū)間上知，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍.具體說來，在這類問題中，我認(rèn)為最好的處理方法就是換元，通過換元將對(duì)圖象的影響轉(zhuǎn)化為對(duì)的某個(gè)動(dòng)區(qū)間的影響，這樣做的好處就是圖象定下來了，是我們最熟悉的正弦函數(shù)，處理起來更加直觀.下面我們來看一些例子.1.正弦函數(shù)的性質(zhì).(1).定義域:.(2).值域:.(3).周期性:周期函數(shù)，周期是,最小正周期為.(4).奇偶性:奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.(5).單調(diào)性:增區(qū)間：減區(qū)間：(6).對(duì)稱性:對(duì)稱軸：，對(duì)稱中心：2.余弦函數(shù)的性質(zhì).(1).定義域:.(2).值域:(3).周期性:周期函數(shù)，周期是，最小正周期為.(4).奇偶性:偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱.(5).單調(diào)性:減區(qū)間：增區(qū)間：(6).對(duì)稱性:對(duì)稱軸：，對(duì)稱中心：4.正弦型函數(shù)的性質(zhì).(1).定義域:.(2).值域:(3).周期性:周期函數(shù)，周期是.(4).奇偶性:當(dāng)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)為偶函數(shù).(5).單調(diào)性:當(dāng)時(shí)：令，求解增區(qū)間.令，求解減區(qū)間.當(dāng)時(shí)：注意單調(diào)區(qū)間的轉(zhuǎn)化.(6).對(duì)稱性:對(duì)稱軸：令，求解對(duì)稱軸方程，對(duì)稱軸處取最值.對(duì)稱中心：令，求解對(duì)稱中心坐標(biāo).5.余弦型函數(shù)的性質(zhì).(1).定義域:.(2).值域:(3).周期性:周期函數(shù)，周期是.(4).奇偶性:當(dāng)時(shí)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)為奇函數(shù).(5).單調(diào)性:當(dāng)時(shí)：令，求解減區(qū)間.令，求解增區(qū)間.當(dāng)時(shí)：注意單調(diào)區(qū)間的轉(zhuǎn)化.(6).對(duì)稱性:對(duì)稱軸：令，求解對(duì)稱軸方程，對(duì)稱軸處取最值.對(duì)稱中心：令，求解對(duì)稱中心坐標(biāo).二.典例分析知求的問題中，我認(rèn)為最好的處理方法就是換元，通過換元將對(duì)圖象的影響轉(zhuǎn)化為對(duì)的某個(gè)動(dòng)區(qū)間的影響，這樣做的好處就是圖象定下來了，是我們最熟悉的正弦函數(shù)，處理起來更加直觀.下面我們來看一些例子.1.已知單調(diào)性求.例1.已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍.分析：（1）最大的增，減區(qū)間占半周期可求的范圍；（2）是最大減區(qū)間的子區(qū)間.解析：，由于，故欲使得在區(qū)間遞減，只需使得在遞減，即可解得.2.已知最值求.例2．函數(shù)，當(dāng)上恰好取得5個(gè)最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C3.已知對(duì)稱軸求.例3.已知函數(shù)的圖象在上有且僅有兩條對(duì)稱軸，求的取值范圍.變式：圖象在上有且僅有兩條對(duì)稱軸，求的取值范圍.4.已知零點(diǎn)求.例4．已知其中,若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn),則的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D5.求綜合問題例5．（2019全國(guó)3卷）設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：①在（）有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)②在（）有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D解析：當(dāng)時(shí)，，∵在有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，∴，∴，故④正確，由，知時(shí)，令時(shí)取得極大值，①正確；極小值點(diǎn)不確定，可能是2個(gè)也可能是3個(gè)，②不正確；因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當(dāng)時(shí)，，若在單調(diào)遞增，則，即，∵，故③正確．故選D三．習(xí)題演練1．設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在區(qū)間上至少有2個(gè)零點(diǎn)，至多有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【詳解】令，則，令，則，則問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上至少有兩個(gè)，至少有三個(gè)t，使得，求的取值范圍.作出和的圖像，觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可知使得的最短區(qū)間長(zhǎng)度為2π，最長(zhǎng)長(zhǎng)度為，由題意列不等式的：，解得：.故選：B2．已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】由得，而當(dāng)，時(shí)，，又，函數(shù)在內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，于是得，解得，所以的取值范圍是.故選：D3．已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在內(nèi)有且僅有三條對(duì)稱軸，則有，解得，故選：B.4．已知函數(shù)，若在上無零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】由題意得，得，由，得，因?yàn)樵谏蠠o零點(diǎn)，所以（），解得（），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，無解，因?yàn)?，所以或，所以的取值范圍是，故選：B5.（2022年全國(guó)甲卷）已知區(qū)間在上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A． B． C． D．【詳解】設(shè)，則，有兩個(gè)零點(diǎn)可得，即。又因?yàn)橛腥齻€(gè)極值點(diǎn)，，所以，所以，綜上得，即選C．6．（多選題）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，總能得到的圖象B．若，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍為C．若在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則D．若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則【詳解】由題可得對(duì)于A，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度為，故不一定能得到的圖象，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，則，，所以，B正確；對(duì)C，由可得，由在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)可得，C正確；對(duì)于D，，則，因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以，，且即，解得，，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.7．定義在上的函數(shù)