數(shù)學-專題48 與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問題（原版）

專題48與圓有關(guān)的等腰三角形的存在性問題【題型演練】一、解答題1．如圖1，在中，和是兩條弦，且，垂足為點，連接，過作于，交于點G；(1)求證：；(2)如圖2，連接、，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，交于點，連接、、，若，，，求的長．2．如圖，是的直徑，點C是上一點，與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線與的延長線相交于點P，G是的內(nèi)心，連接并延長，交于E，交于點F，連接．(1)求證：平分；(2)連接，判斷的形狀，并說明理由；(3)若，，求線段的長．3．（1）課本再現(xiàn)：如圖1，是的兩條切線，切點分別為A，B．則圖中的與，與有什么關(guān)系？請說明理由，

（2）知識應(yīng)用：如圖，分別與相切于點A、B、C，且，連接，延長交于點M，交于點E，過點M作交于N．①求證：是的切線：②當cm，cm時，求的半徑及圖中陰影部分的面積．4．已知是圓O的內(nèi)接三角形，高線的延長線交圓O于點E，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，過O作，求證：；(3)如圖3，若是直徑，點G、H在弧上，，延長交延長線于點P，連接，若，求線段的長．5．如圖1，在銳角中，，圓為的外接圓．(1)求證：平分．(2)如圖2，點在弧上，分別與，交于點，，且．①求證：；②若，，求圓的半徑．

③如圖3，連結(jié)并延長交于，交于，若，求的值．6．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，是等腰直角三角形，點A，點B在x軸上（點A在點B的左側(cè)），點C在y軸的正半軸上，點D在直線BC上運動，連結(jié)AD與y軸交于點E，連結(jié)BE．(1)當點D從點C運動到點B（C，B兩點除外）時，求證：．(2)如圖2，過B，D，E三點作⊙H與y軸的另一個交點為G，延長EH交⊙H于點F，連結(jié)GF，DG，BF．求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，若，點D在運動過程中，中是否有一個角等于，如果存在，求出此時點E的坐標；如果不存在，請說明理由．7．如圖1，在中，為弦，為直徑，且，垂足為E，P為優(yōu)弧ACB上的動點（不與端點重合），連接PD．(1)求證：；(2)在線段上有一點I，連接．且平分，求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，若，的半徑為2，過點D作的切線交的延長線于點F；當時，求的長．8．已知上兩個定點A、B和兩個動點C、D，與交于點E．

(1)如圖1，求證；(2)如圖2，若連接，延長交于點F，連接，，，求點O到弦的距離．9．如圖，為的直徑，C為上一點，D為延長線上一點，．(1)求證：為的切線；(2)若的半徑為5，，求和的長．(3)在（2）的條件下，線段分別交于點E，F(xiàn)且，求的長．10．已知如圖1，在中，弦于點，，，．是的中點．(1)求的長；(2)求的長；(3)如圖2，若，連接交于點，試說明的度數(shù)是否會發(fā)生變化，若不變請求出的度數(shù)，并說明理由．11．如圖，是的直徑，點在上，且滿足，，的度數(shù)之比為，連接線段．

(1)求的度數(shù)；(2)求的值；(3)設(shè)，點為直徑下方半圓上的一個動點，連，點在自向運動過程中，的度數(shù)分別與，，的度數(shù)相等時，求出相應(yīng)線段的長．12．如圖，內(nèi)接于，，點為劣弧上動點，延長AD，BC交于點E，作交于，連結(jié)．(1)如圖①，當點為的中點時，求證：；(2)如圖②，若，，請用含有的代數(shù)式表示；(3)在（2）的條件下，若，①求證：；②求的值．13．四邊形內(nèi)接于，為直徑，E在的延長線上，且與相切．平分．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑14．已知為的外接圓，．(1)如圖1，聯(lián)結(jié)交于點，過作的垂線交延長線于點．①求證：平分；②設(shè)，請用含的代數(shù)式表示；(2)如圖2，若，為上的一點，且點位于兩側(cè)，作關(guān)于對稱的圖形，連接，試猜想三者之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．15．如圖1，在中，，是上一點（不與點，重合），過點作于點，連接并延長交的外接圓于點，連接，，．

(1)求證：．(2)若，求證：．(3)如圖2，，．①若，求的長．②求的最大值．16．如圖1，已知等腰內(nèi)接于，，，是上的一個動點，連接

并延長，點在射線上，且．(1)如圖2，若是的直徑．①求的半徑長；②求的長；(2)在點的運動過程中，當與的一條邊平行時，求的長．17．如圖1，為的外接圓，半徑為6，，，點為優(yōu)弧上異于的一動點，連接．(1)求證：平分；(2)如圖2，平分，且與交于．花花同學認為：無論點運動到哪里，始終有；都都同學認為：的長會隨著點運動而變化．你贊同誰的觀點，請說明理由；(3)求的最大值．18．在平面直角坐標系中，的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)于的限距點的定義如下：若為直線與的一個交點，滿足，則稱為點P關(guān)于的限距點，如圖1為點P及其關(guān)于的限距點的示意圖．

(1)當?shù)陌霃綖闀r．①分別判斷點，，關(guān)于的限距點是否存在？若存在，求其坐標；②如圖2，點D的坐標為，DE，DF分別切于點E，F(xiàn)，點P在的邊上．若點P關(guān)