北京市石景山區(qū)2022屆高三年級(jí)上冊數(shù)學(xué)期末考試試卷

北京市石景山區(qū)2022屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

閱卷人

-------------------、單選題（共10題；共20分）

得分

1.（2分）設(shè)集合4={%|-2<%<4},B={2,3,4,5},則AClB=（）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4）

2.（2分）已知i為虛數(shù)單位，若（2+i）z=i,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（2分）設(shè)函數(shù)/（久）=/一專，則/（無）（）

A.是奇函數(shù)，且在（0,+oo）單調(diào)遞增

B.是奇函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞增

D.是偶函數(shù)，且在（0,+8）單調(diào)遞減

4.（2分）將2本不同的數(shù)學(xué)書和1本語文書在書架上隨機(jī)排成一行，則2本數(shù)學(xué)書相鄰的概率為

（）

A-IB-JC'ID'I

5.（2分）記Sn為等差數(shù)列{每}的前n項(xiàng)和，若S2=3,S4=18,則56=（）

A.36B.45C.63D.75

6.（2分）某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17.5,

30],并制成了頻率分布直方圖，如圖所示,樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,

[25,27.5）,[27.5,30].根據(jù)頻率分布直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人

數(shù)是（）

A.56B.60C.120D.140

7.（2分）若a>b>l,0VcV1,貝！I（）

bacc

A.c<cB.logca>log*C.a<bD.logac>logdc

8.（2分）在口48。中，若2bcosB=QCOSC+ccosA,則8=（)

A-1B-5c-?D.3

9.（2分）設(shè)｛刀｝是首項(xiàng)為-1的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n_1+a2n>

0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.（2分）如圖，正方體ABC。一4遇傳1。1的棱長為1,線段當(dāng)小上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E,F,_H.￡F=

給出下列三個(gè)結(jié)論：

①AC1BE@）X力EF的面積與4BEF的面積相等③三棱錐4-BEF的體積為定值其中，所有正確

結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

閱卷入

二、填空題（共5題；共6分）

得分

11.（1分）已知向量2=（2,5）,方=（九4）,若可"，貝以=.

’2"T,%<1

12.（1分）設(shè)函數(shù)/（%）=｛1，則使得f（x）W2成立的x的取值范圍是.

%>1

13.（1分）若點(diǎn)P（cos6,sin。）關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q（COS（0+E）,sin（6+切，則。的一個(gè)取值

為.

14.（1分）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個(gè)半徑為r的小圓在一個(gè)半徑為4r的大圓

內(nèi)部，小圓沿著大圓的圓周滾動(dòng)，小圓的圓周上任一點(diǎn)形成的軌跡即為星形線.如圖，已知r=l,起

始位置時(shí)大圓與小圓的交點(diǎn)為4。點(diǎn)為％軸正半軸上的點(diǎn))，滾動(dòng)過程中4點(diǎn)形成的軌跡記為星形線

C.有如下結(jié)論：

①曲線C上任意兩點(diǎn)間距離的最大值為8；

②曲線O：|x|+|y|=4的周長大于曲線C的周長；

③曲線C與圓好+產(chǎn)=4有且僅有4個(gè)公共點(diǎn).

其中正確的序號(hào)為.

15.(2分)雙曲線Q《_%=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,漸近線方程為.

閱卷入

三、解答題(共6題；共75分)

得分

16.(10分)已知函數(shù)g(x)=sin(x-^),/i(x)=cosx,從條件①/(x)=g(x)?/i(x)、條件

②/(%)=9(x)+h(x)這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：

(1)(5分)f(x)的最小正周期；

(2)(5分)/(%)在區(qū)間［0,芻上的最小值.

17.(15分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，^DAB=/-ADC=側(cè)面PAD為

直角三角形，Z.PAD=CD1平面PAD.

AB

（1）（5分）求證：CD〃平面P/B；

（2）（5分）求證：PA1平面ABCD;

（3）（5分）若ZB=3,PD=4,CD=AD=2,判斷在線段PD上是否存在一點(diǎn)M,使得直線

AM與平面PBC所成角的大小為今

18.（10分）某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識(shí)競賽，有4B兩類問題，每位參加比賽的學(xué)生先在兩類問

題中選擇一類，然后從所選類別的問題中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則比賽結(jié)束；若回答

正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，比賽結(jié)束乂類問題回答正確

得10分，否則得。分；B類問題回答正確得30分，否則得0分.已知小明同學(xué)能正確回答4類中的每

一個(gè)問題的概率均為0.8,能正確回答B(yǎng)類中的每一個(gè)問題的概率均為0.5,且能正確回答問題的概率

與回答次序無關(guān).

（1）（5分）若小明先回答4類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）（5分）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.（10分）己知橢圓C：+l（a>>0）,0為坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（魚，0）,橢圓C

的離心率為當(dāng).

（1）（5分）求橢圓C的方程；

（2）（5分）橢圓C在y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為4B,點(diǎn)P滿足度?抑=0,直線PF交橢圓于M,N兩

點(diǎn)，且|MN|=V5,求此時(shí)乙OPF的大小.

20.（15分）已知函數(shù)/（久）=衛(wèi)巖二1

（1）（5分）求曲線y=/（%）在點(diǎn)（0,-1）處的切線方程；

（2）（5分）當(dāng)a>0時(shí)，求/（%）的單調(diào)區(qū)間；

（3）（5分）求證：當(dāng)aW—1時(shí),/（%）>—e.

21.（15分）記實(shí)數(shù)a,匕中的較大者為max｛a,b）,例如max｛l,2｝=2,max｛l,1｝=1,對(duì)于無

窮數(shù)列｛an｝，記”=max｛a2i，a2^｝（/cG/V*）,若對(duì)于任意的/c€N*,均有"+1<%，則稱數(shù)列

｛用｝為“趨勢遞減數(shù)列”.

3）（5分）已知數(shù)列｛須｝，｛3｝的通項(xiàng)公式分別為斯=-2冗+1,%=（_3"，判斷數(shù)列｛冊｝，

出”｝是否為“趨勢遞減數(shù)列“，并說明理由；

（2）（5分）已知首項(xiàng)為1公比為q的等比數(shù)列｛%｝是“趨勢遞減數(shù)列”，求q的取值范圍;

(3)(5分)若數(shù)列｛dn｝滿足由，d2為正實(shí)數(shù),且1+2=1%+1-dnl，求證:｛dn｝為“趨勢遞減數(shù)

列”的充要條件為｛dn｝的項(xiàng)中沒有0.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】由題設(shè)有4nB=｛2,3｝，

故答案為：B.

【分析】由交集的定義，即可得出答案。

2.【答案】A

【解析】【解答】因?yàn)?2+i)z=i,

所以2=e=(2[急])=]+/

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

故答案為：A

【分析】首先由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算性質(zhì)，整理再結(jié)合復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義，即可得出答案。

3.【答案】A

【解析】【解答】因?yàn)楹瘮?shù)/3)=--或定義域?yàn)椋?0｝，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而/(-%)=

-/(x)，

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

又因?yàn)楹瘮?shù)y=%3在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-00,0)上單調(diào)遞增，

而y=~3-x~3在(。,+8)上單調(diào)遞減，在(一8,0)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)-妥在(0,+8)上單調(diào)遞增，在(-00,0)上單調(diào)遞增.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸｝x*0],利用定義可得出函數(shù)/(%)為奇函

數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出.

4.【答案】D

【解析】【解答】解析：兩本不同的數(shù)學(xué)書用ai,a2表示，語文書用b表示.

則所有的排列方式有(ai,a2,b),(ai,b,a2),(a2,a”b),⑶，b,a。,(b,a”a2),(b,a2,a。共

6種.

其中兩本數(shù)學(xué)書相鄰的情況有4種，故所求概率為*

63

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意首先由排列組合以及計(jì)數(shù)原理，求出總的事件個(gè)數(shù)再由題意求出基本事件的個(gè)

數(shù)，再把數(shù)值代入到概率的個(gè)數(shù)計(jì)算出結(jié)果即可。

5.【答案】B

【解析】【解答】因?yàn)镾”為等差數(shù)列｛冊｝的前n項(xiàng)和，

所以S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,即3,15,56—18成等差數(shù)列，

所以3+(S6-18)=30,解得S6=45,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列的項(xiàng)的性質(zhì)，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即

可。

6.【答案】D

【解析】【解答】這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為：(0.16+0.08+0.04)x

2.5=0.7

因此這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是200x0,7=140人.

故答案為：D.

【分析】由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，代入到頻率公式，計(jì)算出結(jié)果即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】對(duì)于A,當(dāng)0<C<l時(shí)，y=c*單調(diào)遞減，所以由a>b可得ca<a,A不符合題

思；

對(duì)于B,當(dāng)OVcVl時(shí)，y=logc%單調(diào)遞減，所以由a>b可得log。。Vlog)，B不符合題意；

對(duì)于C,當(dāng)0VCV1時(shí)，y=才在(0,+8)單調(diào)遞增，由Q>b>l可得片>",C不符合題意；

對(duì)于D,當(dāng)0vc<l時(shí)，y=logc%單調(diào)遞減，所以由Q>b>1可得log。。<log*V0，

1I

則!3限>原力即logaC>log》c,D符合題意?

故答案為：D.

【分析】由基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及代數(shù)式的單調(diào)性，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可得出答案。

8.【答案】C

【解析】【解答】因?yàn)?bcosB=acosC4-ccosA,

由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,

1TT

由于0<B<7i,即sinB芋0,所以cosB=2，得8=可，

故答案為：C.

【分析】首先由正弦定理和兩角和的正弦公式整理化簡，即可得出cosB的取值，結(jié)合角的取值范圍

即可求出角B的大小。

9.【答案】B

【解析】【解答】數(shù)列但"是首項(xiàng)為-1的等比數(shù)列，公比為q

則a2n-i+a2n=~q2n~2-<?2n-1=_q2n-2（i+q）

當(dāng)q<0時(shí)1+q的值正負(fù)均可以出現(xiàn)，不能判定符號(hào)，即不能推出a2n-i+a2n>0

當(dāng)a2n-i+a2n>0即一q2n-2（i+q）>。時(shí)，可以得到q<-1,則q<0成立.

則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n_i+a2n>0”的必要不充分條件，B符合題意.

故答案為：B

【分析】首先由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式整理化簡已知的遞推公式，由此即可得出q的取值范圍，再結(jié)

合充分和必要條件的定義即可得出答案。

10.【答案】C

【解析】【解答】對(duì)于①：連接BD,

因?yàn)樗倪呅?BCD是正方形，所以ACJ.BD,因?yàn)?面ABC。，ACc^ABCD,所以

因?yàn)?所以4C_1_面8。。181，因?yàn)锽Eu面所以4C1BE,故①正確；

對(duì)于②：連接4久和AB1，則△AB1%是邊長為魚的等邊三角形，所以點(diǎn)A到邊BWi的距離為夜.

cos30°=華，所以點(diǎn)4到邊EF的距離為華，所以△4EF的面積為鼻鼻華=第，因?yàn)锽B「面

LLZZZo

AIBICIDI,EFu面A1B1C1D”可得B/_LEF,

所以ABEF的面積為1=所以A4E尸的面積與ABEF的面積不相等，故②不正確；

LL4,

對(duì)于③：因?yàn)锳C1面BDDiBi，所以點(diǎn)A到面BDDiBi的距離為引。二學(xué)，所以三棱錐A-BEF的體

積為/SABEFX挈=￥=崇，所以三棱錐A-BE尸的體積為定值，故③正確；

故答案為：C.

【分析】由正方體的幾何性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理即可得出線線垂直，由此判斷出

①正確；由三角形的幾何形狀結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形的面積公式，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)

果由此判斷出②不正確；首先由線面垂直的性質(zhì)定理即可得出點(diǎn)到平面的距離，然后由邊的大小代

入計(jì)算出體積的大小，由此判斷出③正確；從而得出答案。

11.【答案】I

【解析】【解答】由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-;1x5=0,

解方程可得：2=|.

故答案為:|

【分析】根據(jù)題意由共線向量的坐標(biāo)公式，代入數(shù)值計(jì)算出結(jié)果即可。

12.【答案】(-8,4]

【解析】【解答】當(dāng)》<1時(shí)，由/(x)W2,得2尸1工2,所以X-1W1,又因?yàn)?<1,所以X<1；

1

當(dāng)x21時(shí)，由/(%)W2,得久2g2，所以％W4,又因?yàn)椋?1,所以1W%W4.

所以滿足/(%)W2成立的％的取值范圍為(-oo,4].

故答案為：(-00,4].

【分析】根據(jù)題意由指數(shù)函數(shù)和寤函數(shù)的單調(diào)性，即可求出使得不等式/(%)<2成立的x的取值范

圍。

13.【答案】一瑩(答案不唯一)

【解析】【解答】因?yàn)辄c(diǎn)尸(cos6,sin。)關(guān)于%軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q(cos(。+電，sin(8+與))，

TT1

cos(0+亍)=cosO5cos。+丁sin。=0

兀,即七J所以sin(6+^)=0,

{sin(0+^)=-sin01|sinO+竽cos。=0

rrTT

所以。+z=kit,k￡Z,即。=—工+kn,kE.Z.

oo

故答案為：一看(答案不唯一).

【分析】首先由點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由兩角和的正弦公式即可求出結(jié)果，然后由

正弦函數(shù)的圖象結(jié)合整體思想，即可求出。=-著+kTr,keZ,對(duì)k賦值計(jì)算出結(jié)果即可。

14.【答案】①③

【解析】【解答】由已知可知小圓與大圓是內(nèi)切的關(guān)系，設(shè)小圓的圓心為(q，y0),

2z9

則小圓的圓心軌跡為以(0,0)為圓心，半徑為3的圓，BPx0+yo=

設(shè)星形線C任意點(diǎn)(x,y),貝濡，8為參數(shù),其中—3WX。，y0<3

可知星形線C任意點(diǎn)(久，y),滿足-4<%<4,-4<y<4

對(duì)于①，星形線C上左右兩個(gè)端點(diǎn)(4,0)，(-4,0)或上下兩個(gè)端點(diǎn)(0,-4).(0,4)的距離最遠(yuǎn),

等于8,故①正確；

對(duì)于②，曲線D：|比|+|y|=4為過點(diǎn)4(4,0)，B(0,4).C(-4,0).D(0,一4)的正方形，

而星形線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是這四個(gè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)之間線段最短，可知曲線D：|x|+|y|=4的周長小

于曲線C的周長，故②錯(cuò)誤；

4

(—3々工72

x=±-2—&

對(duì)于③，星形線與直線y=x的交點(diǎn)為,即(迎，V2),(-V2,-V2)

,372-_

(y=±—+2

它們到原點(diǎn)的距離為J(遮,+(遮’=2與圓/+產(chǎn)=4的半徑相等,

所以曲線C與圓相切，即有且僅有4個(gè)公共點(diǎn)，故③正確;

故答案為：①③

【分析】根據(jù)題意由圓與圓的位置關(guān)系整理化簡即可得出小圓的圓心軌跡，然后由圓的參數(shù)方程結(jié)

合已知條件即可求出x與y的取值范圍；由星形線的定義即可判斷出①正確；結(jié)合曲線C的幾何性

質(zhì)即可判斷出②錯(cuò)誤；聯(lián)立直線與曲線的方程，即可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算

出圓的半徑，結(jié)合已知條件即可判斷出兩圓的位置關(guān)系，由此即可得出曲線C與圓相切，從而③正

確；由此得出答案。

15.【答案】(±4,0);y—+V3x

【解析】【解答】因?yàn)榇?4,b2=12,所以c?=解+M=16>

又因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在工軸上，

所以雙曲線C：芻—%=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±4,0),漸近線方程為y=±2%=±gx,即〉=

412Q

故答案為：(±4,0)；y=+V3x.

【分析】根據(jù)題意由雙曲線的方程，計(jì)算出c的取值結(jié)合雙曲線的簡單性即可得出答案。

16.【答案】⑴解:選條件①:f(x)=g(x)■/i(x)；

7T731/31,

/(%)=sin(x—召)cos%=(-^-sinx—2cos%)cosx=-2-sinxcosx—^cos%

V3111+cos2x

二-x2sin2x-2x

2

7311

sin2x--3-COS2X—

~444

=1sin(2x-1)-1，

所以/(%)的最小正周期是兀.

選條件②：/(%)=g(x)+h(x).

711

/(%)=sin(x-g)+cosx=sinx—2cos%)+cosx

731

-2-sinx4--2cosx

=sin(x+石)，

所以/(%)最小正周期是27T.

(2)解：選條件①：/(x)=g(X),h(x)<

因?yàn)?<x<5,

1

-

2

所以一2片sin(2x-%)一/§,

當(dāng)2%—看=一看即x=0時(shí)，/㈤有最小值一宗

選條件②:f(x)=g(x)+/i(x).

因?yàn)?<x<^,

所以靜+衿，

所以拉in(x+看)《1,

當(dāng)x+9建，即久=0時(shí)，f(x)有最小值

【解析】【分析】(1)選條件①：根據(jù)題意首先整理化簡函數(shù)的解析式，然后由二倍角公式以及兩

角和的正弦公式，整理即可求出函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算出結(jié)果即可。選條件

②：由兩角和的正弦公式整理化簡即可得出函數(shù)的解析式，然后由正弦函數(shù)的周期公式計(jì)算出結(jié)

果即可。

(2)選條件①：由已知條件即可得出角的取值范圍，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)的最

值。選條件②：由x的取值范圍即可求出x+5的取值范圍，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函

數(shù)的最值。

17?【答案】⑴證明：因?yàn)樗睦忮FP—4BC0中，^DAB=^ADC=J,

所以AB〃CD,

因?yàn)?8u平面PAB,CD<￡平面PAB*

所以CD〃平面PAB.

(2)證明：因?yàn)镃D1個(gè)沏P/W,PAu平面PAD,所以CCJ_PA,

又因?yàn)樗訟DJ.P4

因?yàn)镃。，ADu平面ABCD，CDnAD=D,

所以PA1平面ABCD.

(3)解：存在，當(dāng)M為線段PD中點(diǎn)時(shí)，理由如下：

由(2)可知，因?yàn)镻A_L平面ABCD，ABc平面ABCD,

所以AB1PA,

又AO1PA,AB1AD,

如圖以點(diǎn)4為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB,AD,AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz,

則4(0,0,0),8(3,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2遍).

設(shè)平面PBC的法向量為記=(%,y,z),

由舊題=0得「+2y=0,

場?PB=0l3x-2V3z=0.

令z=6，所以記=(2,1,V3).

設(shè)麗=廊(0式/1W1),

則M(0,2-2X,2圖)，

所以祠=(0,2-2九2V3A),

直線AM與平面PBC所成角為。,

所以sin。=\cos(AM,n)\=-=^=I4/1+2

25/2-J16A2-8A+4T，

解得4=；，符合題意,

所以當(dāng)M為線段PD中點(diǎn)時(shí)，直線4M與平面PBC所成角的大小為今

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件即可得出線線平行，然后由線面平行的判定定理即可得證出

結(jié)論。

(2)由已知條件即可得出線線垂直，然后由角點(diǎn)的大小也可得出線線垂直，再由線面垂直的判定定理

即可得證出結(jié)論。

(3)由(2)的結(jié)論即可得出線線垂直，由此建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)以及向量的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積

的坐標(biāo)公式即可求出平面PBC的法向量，然后由共線向量的性質(zhì)結(jié)合線面角與向量夾角之間的關(guān)

系，把數(shù)值代入到數(shù)量積的夾角公式，計(jì)算出夾角的正弦值，由此即可對(duì)應(yīng)的4的值，從而即可得出

答案。

18.【答案】(1)解：由題可知，X的所有可能取值為0,10,40.

P(X=0)=1-0.8=0.2；P(X=10)=0.8x(1-0.5)=0.4；P(X=40)=0.8x0.5=0.4.

所以X的分布列為

X01040

p0.20.40.4

(2)解：由⑴知，若小明先回答A問題，則E(X)=0X0.2+10x0.4+40義0.4=20.

若小明先回答B(yǎng)問題，記丫為小明的累計(jì)得分，則丫的所有可能取值為0,30,40.

P(y=0)=1_0.5=0,5；P(Y=30)=0.5x(1-0.8)=0.1；P(X=40)=0.5x0.8=0.4,

所以E(Y)=0x0.5+30x0.1+40x0.4=19.

因?yàn)?9<20,所以小明應(yīng)選擇先回答4類問題.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意即可得出X的取值，再由概率的公式求出對(duì)應(yīng)的X的概率由此得到X

的分布列。

(2)由(1)的結(jié)論結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出結(jié)果即可，同理根據(jù)題意即可得出Y的取值，再由概率的公

式求出對(duì)應(yīng)的Y的概率，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出答案，然后進(jìn)行比較由此即可得出結(jié)論。

19.【答案】(1)解：因?yàn)橛医裹c(diǎn)為尸(或，0),所以c=/,

因?yàn)殡x心率e=￡=坐，所以。=遮，廬=a?—=3—2=1,

a3

2

所以橢圓C的方程為多+y2”

(2)解：當(dāng)直線PF垂直于x軸時(shí)，|MN|=竽清百(舍).

當(dāng)直線PF不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線PF的方程為y=k(x-V2),

(y=k(x—V2)，

由｛r2整理得(1+3左2)%2一6企々2%+6攵2-3=0,

(3+/=1，

設(shè)M(%i，%),N(%2，丫2)，由題意A>0恒成立,

6m-3

所以%1+冷=)翅％

1+3公2=1+3/'

2

利用弦長公式知|MN|=V14-k\x1—x2\=+k2a—%+%)2-4/％2

jx琮=E^^3解得.L

所以直線PF的方程為y=±(x-V2).

因?yàn)锳,B為橢圓C在y軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，不妨設(shè)4(0,1),B(0,-1),

因?yàn)榉健銮?0，設(shè)P(m,n),

所以(m,n—1)■(m,n+1)=0)即

即點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上

,\42\限|,

因?yàn)樵c(diǎn)到直線PF的距離d="7=5=々=1，

y/l+k2J7l+.(±1)

所以直線P尸與圓Hi?+n2-1相切，

所以NOPF=90°.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由橢圓的簡單性質(zhì)即可求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)以及c的取值，然后由離心率公

式以及橢圓里a、b、c的關(guān)系，計(jì)算出a的值由此即可得出橢圓的方程。

(2)根據(jù)題意對(duì)斜率分情況討論，然后由斜截式設(shè)出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等

到關(guān)于x的一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理即可得到關(guān)于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，再把結(jié)果

代入到弦長公式，整理化簡計(jì)算出k的取值，由此即可得出直線的方程，再由向量的坐標(biāo)公式以及

點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入計(jì)算出結(jié)果即可。

20.【答案】(1)解：/(久)=(一產(chǎn)2+尸1)［絲)，=+2_(2與5+2=

(ex)e

(ax-l)(x-2)

，

因?yàn)橥?)=2,/(0)=-1,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,一1)處的切線方程為y=2%-1.

(2)解：由(1)知：/(%)=(取-%-2),(X€R),

因?yàn)閍>0,令/(久)=0,所以*=，或%=2,

當(dāng)0<a<凱寸，1>2,

則x,/(x),/(%)的變化情況如下表：

(—8,2)2111

X口五)a(五，+8)

/(X)+0—0+

/(X)7極大值極小值7

當(dāng)。=加，1=2,則/(久)20恒成立，f(x)在R內(nèi)恒增；

當(dāng)a>；時(shí)，0<]<2，則x,/(%),/(%)的變化情況如下表:

111

X2(2,+8)

(-8,-)a(屋2)

/(X)+0—0+

/(X)7極大值極小值7

綜上，當(dāng)0<a<：時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,2)和。，+00),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,3；

當(dāng)a=*時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是r-oo,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>；時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間是(—8,》和(2,+8),單調(diào)遞減是《，2).

(3)證明：當(dāng)aS—1時(shí)，令/(x)=0,得4=;或x=2,易知：e[_L。)，

則x,/(%),/(%)的變化情況如下表：

111

X2(2,4-oo)

(-8,-)a(屋2)

/(X)—0+0—

/㈤極小值7極大值

111_1

所以當(dāng)久=-時(shí)，/(%)取得極小值f(?)=—T=-。。，

aea

111i

由于aW—1,則萬e[—L0).--e(0,1]，e~aG(1,e]'—e~ae[-e,1)，

所以由極小值定義及/(x)的單調(diào)性可知：當(dāng)x<2時(shí)，/(%)>-e,

接下來，研究/(%)在久>2的變化情況，

因?yàn)閑">0恒成立，設(shè)g(%)=—a/+%—1,(%>2/a<-1),

對(duì)稱軸x=/<0，J=1-4a>0,拋物線開口向上，g⑵=l-4a>0,

所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x>2時(shí)，g(x)>g(2)>0恒成立，

所以/(%)>0在％>2時(shí)恒成立.

綜上所述：當(dāng)a<-1時(shí)，/(x)>-e.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到導(dǎo)函數(shù)的解析式，計(jì)算出直線的

斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式求出切線的方程即可。

(2)由(1)的結(jié)論，結(jié)合題意即可得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，結(jié)合極值的定義即可得出函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)

區(qū)間。

(3)根據(jù)題意對(duì)a分情況討論，由此即可得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù)的單調(diào)

性，由函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合極值的定義即可得出函數(shù)的單調(diào)性，然后由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得

出使不等式成立的a的取值范圍。

21.【答案】⑴解:數(shù)列｛4｝是“趨勢遞減數(shù)列”.

由通項(xiàng)公式知：公差為-2,故｛。工是單調(diào)遞減數(shù)列，

...”=max｛a2k-i，a2k｝=a2k^,且"+i<"，故數(shù)列5｝是“趨勢遞減數(shù)列

數(shù)列｛%｝是“趨勢遞減數(shù)列”?

由2k—1為奇數(shù)，2k為偶數(shù)，則b2k>0>bzk-i，

：.<pk=max[b2k-i>b2k]=b2k,且畋+i<”,故數(shù)列｛%｝是“趨勢遞減數(shù)列

(2)解：當(dāng)q>l時(shí),數(shù)列｛%｝為單調(diào)遞增數(shù)列，此時(shí)max?1,c2k｝=c2k，且c2k+2>c2k不滿足

題意；

當(dāng)q=l時(shí)，數(shù)列｛0｝為常數(shù)列，不滿足題意；

當(dāng)0<q<l時(shí)，數(shù)列｛cn｝為單調(diào)遞減數(shù)列，此時(shí)max｛c2k-l,c2k｝=c2k-l,且c2k+l<c2kT,滿足題

忌；

當(dāng)一IvqvO時(shí),此時(shí)max｛c2kT,c2k｝=c2k,且c2k+2<c2k,滿足題意；

當(dāng)q<-l時(shí)，此時(shí)max｛c2k-l,c2k｝=c2k,且c2k+2>c2k,不滿足題意；

綜上，q的取值范圍為(T,0匯(0,1).

(3)解：先證必要性：

假設(shè)存在正整數(shù)m(mN3)使得dm=|dm-1-dm-21=0,令dm-l=dm-2=a.

因?yàn)閐l,d2為正實(shí)數(shù)，且dn+2=|dn+l-dn|,

.,.dn>0,故吟0,則數(shù)列{dn}從dn-2開始以后的各項(xiàng)為a,a,0,a,a,0口,

當(dāng)2kTNm-2時(shí),max{d2k-l,d2k}=a,max{d2k+l,d2k+2}=a與{dn}為“趨勢遞減數(shù)列”矛盾,故假

設(shè)不成立，{dn}的項(xiàng)中沒有0.

再證明充分性：

dn+2=|dn+l-dn|得：dn+2<max{dn+l,dn},

由{dn}的項(xiàng)中沒有0,故對(duì)于任意正整數(shù)n,dn/0,

二d2k+3知，即d2k+1Rd2k+2.

當(dāng)d2k+l>d2k+2時(shí)，max{d2k+l,d2k+2}=d2k+l<max{d2k-l,d2k},

當(dāng)d2k+l<d2k+2時(shí)，max{d2k+l,d2k+2}=d2k+2<max{d2kT,d2k},

；.{dn}為“趨勢遞減數(shù)列”.

綜上：{dn}為“趨勢遞減數(shù)列”的充要條件為{dn}的項(xiàng)中沒有0.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出數(shù)列{&J的單調(diào)性，結(jié)合已知條件對(duì)n

分情況討論，由此即可得出數(shù)列{%}的單調(diào)性，從而即可得證出結(jié)論。

(2)由已知條件對(duì)q分情況討論，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可得出數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的

通項(xiàng)公式即可得出q的取值范圍。

(3)利用假設(shè)法結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及定義，由已知條件即可得出dn+2<max{dn+i，dn},然

后對(duì)k分情況討論，結(jié)合題意即可得出數(shù)列{d3的單調(diào)性，再結(jié)合充分和必要條件的定義即可即可

得證出結(jié)論。

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：101分

客觀題（占比）20.0(19.8%)

分值分布

主觀題（占比）81.0(80.2%)

客觀題（占比）10(47.6%)

題量分布

主觀題（占比）11(52.4%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題5(23.8%)6.0(5.9%)

解答題6(28.6%)75.0(74.3%)

單選題10(47.6%)20.0(19.8%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號(hào)難易度占比

1普通(42.9%)

2容易(52.4%)

3困難(4.8%)

4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析

序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)

1直線與平面垂直的性質(zhì)2.0(2.0%)10

2頻率分布直方圖2.0(2.0%)6

3橢圓的簡單性質(zhì)10.0(9.9%)19

4復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算2.0(2.0%)2

5等比數(shù)列的通項(xiàng)公式2.0(2.0%)9

6等差數(shù)列的通項(xiàng)公式2.0(2.0%)5

7直線與圓錐曲線的綜合問題10.0(9.9%)19

8函數(shù)奇偶性的判斷2.0(2.0%)3

9排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題2.0(2.0%)4

10兩角和與差的正弦公式3.0(3.0%)8,13

11雙曲線的簡單性質(zhì)2.0(2.0%)15

12正弦定理2.0(2.0%)8

13利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程15.0(14.9%)20

14點(diǎn)到直線的距離公式13.0(12.9%)10,14,19

15判斷（數(shù)列）的變化趨勢15.0(14