北京市石景山區(qū)2022屆高三年級上冊數(shù)學期末考試試卷

北京市石景山區(qū)2022屆高三上學期數(shù)學期末考試試卷

閱卷人

-------------------、單選題（共10題；共20分）

得分

1.（2分）設集合4={%|-2<%<4},B={2,3,4,5},則AClB=（）

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4）

2.（2分）已知i為虛數(shù)單位，若（2+i）z=i,則復數(shù)z在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2分）設函數(shù)/（久）=/一專，則/（無）（）

A.是奇函數(shù)，且在（0,+oo）單調遞增

B.是奇函數(shù)，且在（0,+8）單調遞減

C.是偶函數(shù)，且在（0,+8）單調遞增

D.是偶函數(shù)，且在（0,+8）單調遞減

4.（2分）將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行，則2本數(shù)學書相鄰的概率為

（）

A-IB-JC'ID'I

5.（2分）記Sn為等差數(shù)列{每}的前n項和，若S2=3,S4=18,則56=（）

A.36B.45C.63D.75

6.（2分）某高校調查了200名學生每周的自習時間（單位：小時），其中自習時間的范圍是[17.5,

30],并制成了頻率分布直方圖，如圖所示,樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5,20）,[20,22.5）,[22.5,25）,

[25,27.5）,[27.5,30].根據(jù)頻率分布直方圖，這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人

數(shù)是（）

A.56B.60C.120D.140

7.（2分）若a>b>l,0VcV1,貝！I（）

bacc

A.c<cB.logca>log*C.a<bD.logac>logdc

8.（2分）在口48。中，若2bcosB=QCOSC+ccosA,則8=（)

A-1B-5c-?D.3

9.（2分）設｛刀｝是首項為-1的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n_1+a2n>

0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.（2分）如圖，正方體ABC。一4遇傳1。1的棱長為1,線段當小上有兩個動點E,F,_H.￡F=

給出下列三個結論：

①AC1BE@）X力EF的面積與4BEF的面積相等③三棱錐4-BEF的體積為定值其中，所有正確

結論的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

閱卷入

二、填空題（共5題；共6分）

得分

11.（1分）已知向量2=（2,5）,方=（九4）,若可"，貝以=.

’2"T,%<1

12.（1分）設函數(shù)/（%）=｛1，則使得f（x）W2成立的x的取值范圍是.

%>1

13.（1分）若點P（cos6,sin。）關于X軸的對稱點為Q（COS（0+E）,sin（6+切，則。的一個取值

為.

14.（1分）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個半徑為r的小圓在一個半徑為4r的大圓

內部，小圓沿著大圓的圓周滾動，小圓的圓周上任一點形成的軌跡即為星形線.如圖，已知r=l,起

始位置時大圓與小圓的交點為4。點為％軸正半軸上的點)，滾動過程中4點形成的軌跡記為星形線

C.有如下結論：

①曲線C上任意兩點間距離的最大值為8；

②曲線O：|x|+|y|=4的周長大于曲線C的周長；

③曲線C與圓好+產=4有且僅有4個公共點.

其中正確的序號為.

15.(2分)雙曲線Q《_%=1的焦點坐標為,漸近線方程為.

閱卷入

三、解答題(共6題；共75分)

得分

16.(10分)已知函數(shù)g(x)=sin(x-^),/i(x)=cosx,從條件①/(x)=g(x)?/i(x)、條件

②/(%)=9(x)+h(x)這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

(1)(5分)f(x)的最小正周期；

(2)(5分)/(%)在區(qū)間［0,芻上的最小值.

17.(15分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，^DAB=/-ADC=側面PAD為

直角三角形，Z.PAD=CD1平面PAD.

AB

（1）（5分）求證：CD〃平面P/B；

（2）（5分）求證：PA1平面ABCD;

（3）（5分）若ZB=3,PD=4,CD=AD=2,判斷在線段PD上是否存在一點M,使得直線

AM與平面PBC所成角的大小為今

18.（10分）某校組織“創(chuàng)建文明城區(qū)”知識競賽，有4B兩類問題，每位參加比賽的學生先在兩類問

題中選擇一類，然后從所選類別的問題中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則比賽結束；若回答

正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，比賽結束乂類問題回答正確

得10分，否則得。分；B類問題回答正確得30分，否則得0分.已知小明同學能正確回答4類中的每

一個問題的概率均為0.8,能正確回答B(yǎng)類中的每一個問題的概率均為0.5,且能正確回答問題的概率

與回答次序無關.

（1）（5分）若小明先回答4類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；

（2）（5分）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.（10分）己知橢圓C：+l（a>>0）,0為坐標原點，右焦點坐標為尸（魚，0）,橢圓C

的離心率為當.

（1）（5分）求橢圓C的方程；

（2）（5分）橢圓C在y軸上的兩個頂點為4B,點P滿足度?抑=0,直線PF交橢圓于M,N兩

點，且|MN|=V5,求此時乙OPF的大小.

20.（15分）已知函數(shù)/（久）=衛(wèi)巖二1

（1）（5分）求曲線y=/（%）在點（0,-1）處的切線方程；

（2）（5分）當a>0時，求/（%）的單調區(qū)間；

（3）（5分）求證：當aW—1時,/（%）>—e.

21.（15分）記實數(shù)a,匕中的較大者為max｛a,b）,例如max｛l,2｝=2,max｛l,1｝=1,對于無

窮數(shù)列｛an｝，記”=max｛a2i，a2^｝（/cG/V*）,若對于任意的/c€N*,均有"+1<%，則稱數(shù)列

｛用｝為“趨勢遞減數(shù)列”.

3）（5分）已知數(shù)列｛須｝，｛3｝的通項公式分別為斯=-2冗+1,%=（_3"，判斷數(shù)列｛冊｝，

出”｝是否為“趨勢遞減數(shù)列“，并說明理由；

（2）（5分）已知首項為1公比為q的等比數(shù)列｛%｝是“趨勢遞減數(shù)列”，求q的取值范圍;

(3)(5分)若數(shù)列｛dn｝滿足由，d2為正實數(shù),且1+2=1%+1-dnl，求證:｛dn｝為“趨勢遞減數(shù)

列”的充要條件為｛dn｝的項中沒有0.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】由題設有4nB=｛2,3｝，

故答案為：B.

【分析】由交集的定義，即可得出答案。

2.【答案】A

【解析】【解答】因為(2+i)z=i,

所以2=e=(2[急])=]+/

所以復數(shù)z在復平面內對應的點位于第一象限，

故答案為：A

【分析】首先由復數(shù)代數(shù)形式的運算性質，整理再結合復數(shù)代數(shù)形式的幾何意義，即可得出答案。

3.【答案】A

【解析】【解答】因為函數(shù)/3)=--或定義域為｛小40｝，其關于原點對稱，而/(-%)=

-/(x)，

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

又因為函數(shù)y=%3在(0,+8)上單調遞增，在(-00,0)上單調遞增，

而y=~3-x~3在(。,+8)上單調遞減，在(一8,0)上單調遞減，

所以函數(shù)-妥在(0,+8)上單調遞增，在(-00,0)上單調遞增.

故答案為：A.

【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域為｛x｝x*0],利用定義可得出函數(shù)/(%)為奇函

數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調性法則，即可解出.

4.【答案】D

【解析】【解答】解析：兩本不同的數(shù)學書用ai,a2表示，語文書用b表示.

則所有的排列方式有(ai,a2,b),(ai,b,a2),(a2,a”b),⑶，b,a。,(b,a”a2),(b,a2,a。共

6種.

其中兩本數(shù)學書相鄰的情況有4種，故所求概率為*

63

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意首先由排列組合以及計數(shù)原理，求出總的事件個數(shù)再由題意求出基本事件的個

數(shù)，再把數(shù)值代入到概率的個數(shù)計算出結果即可。

5.【答案】B

【解析】【解答】因為S”為等差數(shù)列｛冊｝的前n項和，

所以S2,S4-S2,S6-S4成等差數(shù)列,即3,15,56—18成等差數(shù)列，

所以3+(S6-18)=30,解得S6=45,

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意由等差數(shù)列的前n項和公式以及等差數(shù)列的項的性質，代入數(shù)值計算出結果即

可。

6.【答案】D

【解析】【解答】這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為：(0.16+0.08+0.04)x

2.5=0.7

因此這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是200x0,7=140人.

故答案為：D.

【分析】由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，代入到頻率公式，計算出結果即可。

7.【答案】D

【解析】【解答】對于A,當0<C<l時，y=c*單調遞減，所以由a>b可得ca<a,A不符合題

思；

對于B,當OVcVl時，y=logc%單調遞減，所以由a>b可得log。。Vlog)，B不符合題意；

對于C,當0VCV1時，y=才在(0,+8)單調遞增，由Q>b>l可得片>",C不符合題意；

對于D,當0vc<l時，y=logc%單調遞減，所以由Q>b>1可得log。。<log*V0，

1I

則!3限>原力即logaC>log》c,D符合題意?

故答案為：D.

【分析】由基函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及代數(shù)式的單調性，對選項逐一判斷即可得出答案。

8.【答案】C

【解析】【解答】因為2bcosB=acosC4-ccosA,

由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,

1TT

由于0<B<7i,即sinB芋0,所以cosB=2，得8=可，

故答案為：C.

【分析】首先由正弦定理和兩角和的正弦公式整理化簡，即可得出cosB的取值，結合角的取值范圍

即可求出角B的大小。

9.【答案】B

【解析】【解答】數(shù)列但"是首項為-1的等比數(shù)列，公比為q

則a2n-i+a2n=~q2n~2-<?2n-1=_q2n-2（i+q）

當q<0時1+q的值正負均可以出現(xiàn)，不能判定符號，即不能推出a2n-i+a2n>0

當a2n-i+a2n>0即一q2n-2（i+q）>。時，可以得到q<-1,則q<0成立.

則“q<0”是“對任意的正整數(shù)n,a2n_i+a2n>0”的必要不充分條件，B符合題意.

故答案為：B

【分析】首先由等比數(shù)列的通項公式整理化簡已知的遞推公式，由此即可得出q的取值范圍，再結

合充分和必要條件的定義即可得出答案。

10.【答案】C

【解析】【解答】對于①：連接BD,

因為四邊形4BCD是正方形，所以ACJ.BD,因為1面ABC。，ACc^ABCD,所以

因為=所以4C_1_面8。。181，因為BEu面所以4C1BE,故①正確；

對于②：連接4久和AB1，則△AB1%是邊長為魚的等邊三角形，所以點A到邊BWi的距離為夜.

cos30°=華，所以點4到邊EF的距離為華，所以△4EF的面積為鼻鼻華=第，因為BB「面

LLZZZo

AIBICIDI,EFu面A1B1C1D”可得B/_LEF,

所以ABEF的面積為1=所以A4E尸的面積與ABEF的面積不相等，故②不正確；

LL4,

對于③：因為AC1面BDDiBi，所以點A到面BDDiBi的距離為引。二學，所以三棱錐A-BEF的體

積為/SABEFX挈=￥=崇，所以三棱錐A-BE尸的體積為定值，故③正確；

故答案為：C.

【分析】由正方體的幾何性質以及線面垂直的性質定理和判定定理即可得出線線垂直，由此判斷出

①正確；由三角形的幾何形狀結合點到直線的距離公式以及三角形的面積公式，代入數(shù)值計算出結

果由此判斷出②不正確；首先由線面垂直的性質定理即可得出點到平面的距離，然后由邊的大小代

入計算出體積的大小，由此判斷出③正確；從而得出答案。

11.【答案】I

【解析】【解答】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：2x4-;1x5=0,

解方程可得：2=|.

故答案為:|

【分析】根據(jù)題意由共線向量的坐標公式，代入數(shù)值計算出結果即可。

12.【答案】(-8,4]

【解析】【解答】當》<1時，由/(x)W2,得2尸1工2,所以X-1W1,又因為4<1,所以X<1；

1

當x21時，由/(%)W2,得久2g2，所以％W4,又因為％21,所以1W%W4.

所以滿足/(%)W2成立的％的取值范圍為(-oo,4].

故答案為：(-00,4].

【分析】根據(jù)題意由指數(shù)函數(shù)和寤函數(shù)的單調性，即可求出使得不等式/(%)<2成立的x的取值范

圍。

13.【答案】一瑩(答案不唯一)

【解析】【解答】因為點尸(cos6,sin。)關于%軸的對稱點為Q(cos(。+電，sin(8+與))，

TT1

cos(0+亍)=cosO5cos。+丁sin。=0

兀,即七J所以sin(6+^)=0,

{sin(0+^)=-sin01|sinO+竽cos。=0

rrTT

所以。+z=kit,k￡Z,即。=—工+kn,kE.Z.

oo

故答案為：一看(答案不唯一).

【分析】首先由點對稱的性質即可求出點的坐標，然后由兩角和的正弦公式即可求出結果，然后由

正弦函數(shù)的圖象結合整體思想，即可求出。=-著+kTr,keZ,對k賦值計算出結果即可。

14.【答案】①③

【解析】【解答】由已知可知小圓與大圓是內切的關系，設小圓的圓心為(q，y0),

2z9

則小圓的圓心軌跡為以(0,0)為圓心，半徑為3的圓，BPx0+yo=

設星形線C任意點(x,y),貝濡，8為參數(shù),其中—3WX。，y0<3

可知星形線C任意點(久，y),滿足-4<%<4,-4<y<4

對于①，星形線C上左右兩個端點(4,0)，(-4,0)或上下兩個端點(0,-4).(0,4)的距離最遠,

等于8,故①正確；

對于②，曲線D：|比|+|y|=4為過點4(4,0)，B(0,4).C(-4,0).D(0,一4)的正方形，

而星形線與坐標軸的交點也是這四個點，由兩點之間線段最短，可知曲線D：|x|+|y|=4的周長小

于曲線C的周長，故②錯誤；

4

(—3々工72

x=±-2—&

對于③，星形線與直線y=x的交點為,即(迎，V2),(-V2,-V2)

,372-_

(y=±—+2

它們到原點的距離為J(遮,+(遮’=2與圓/+產=4的半徑相等,

所以曲線C與圓相切，即有且僅有4個公共點，故③正確;

故答案為：①③

【分析】根據(jù)題意由圓與圓的位置關系整理化簡即可得出小圓的圓心軌跡，然后由圓的參數(shù)方程結

合已知條件即可求出x與y的取值范圍；由星形線的定義即可判斷出①正確；結合曲線C的幾何性

質即可判斷出②錯誤；聯(lián)立直線與曲線的方程，即可求出交點的坐標，再由兩點間的距離公式計算

出圓的半徑，結合已知條件即可判斷出兩圓的位置關系，由此即可得出曲線C與圓相切，從而③正

確；由此得出答案。

15.【答案】(±4,0);y—+V3x

【解析】【解答】因為次=4,b2=12,所以c?=解+M=16>

又因為雙曲線的焦點在工軸上，

所以雙曲線C：芻—%=1的焦點坐標為(±4,0),漸近線方程為y=±2%=±gx,即〉=

412Q

故答案為：(±4,0)；y=+V3x.

【分析】根據(jù)題意由雙曲線的方程，計算出c的取值結合雙曲線的簡單性即可得出答案。

16.【答案】⑴解:選條件①:f(x)=g(x)■/i(x)；

7T731/31,

/(%)=sin(x—召)cos%=(-^-sinx—2cos%)cosx=-2-sinxcosx—^cos%

V3111+cos2x

二-x2sin2x-2x

2

7311

sin2x--3-COS2X—

~444

=1sin(2x-1)-1，

所以/(%)的最小正周期是兀.

選條件②：/(%)=g(x)+h(x).

711

/(%)=sin(x-g)+cosx=sinx—2cos%)+cosx

731

-2-sinx4--2cosx

=sin(x+石)，

所以/(%)最小正周期是27T.

(2)解：選條件①：/(x)=g(X),h(x)<

因為0<x<5,

1

-

2

所以一2片sin(2x-%)一/§,

當2%—看=一看即x=0時，/㈤有最小值一宗

選條件②:f(x)=g(x)+/i(x).

因為0<x<^,

所以靜+衿，

所以拉in(x+看)《1,

當x+9建，即久=0時，f(x)有最小值

【解析】【分析】(1)選條件①：根據(jù)題意首先整理化簡函數(shù)的解析式，然后由二倍角公式以及兩

角和的正弦公式，整理即可求出函數(shù)的解析式，結合正弦函數(shù)的周期公式計算出結果即可。選條件

②：由兩角和的正弦公式整理化簡即可得出函數(shù)的解析式，然后由正弦函數(shù)的周期公式計算出結

果即可。

(2)選條件①：由已知條件即可得出角的取值范圍，然后由正弦函數(shù)的單調性即可求出函數(shù)的最

值。選條件②：由x的取值范圍即可求出x+5的取值范圍，然后由正弦函數(shù)的單調性即可求出函

數(shù)的最值。

17?【答案】⑴證明：因為四棱錐P—4BC0中，^DAB=^ADC=J,

所以AB〃CD,

因為48u平面PAB,CD<￡平面PAB*

所以CD〃平面PAB.

(2)證明：因為CD1個沏P/W,PAu平面PAD,所以CCJ_PA,

又因為所以ADJ.P4

因為C。，ADu平面ABCD，CDnAD=D,

所以PA1平面ABCD.

(3)解：存在，當M為線段PD中點時，理由如下：

由(2)可知，因為PA_L平面ABCD，ABc平面ABCD,

所以AB1PA,

又AO1PA,AB1AD,

如圖以點4為坐標原點，分別以AB,AD,AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系A—xyz,

則4(0,0,0),8(3,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2遍).

設平面PBC的法向量為記=(%,y,z),

由舊題=0得「+2y=0,

場?PB=0l3x-2V3z=0.

令z=6，所以記=(2,1,V3).

設麗=廊(0式/1W1),

則M(0,2-2X,2圖)，

所以祠=(0,2-2九2V3A),

直線AM與平面PBC所成角為。,

所以sin。=\cos(AM,n)\=-=^=I4/1+2

25/2-J16A2-8A+4T，

解得4=；，符合題意,

所以當M為線段PD中點時，直線4M與平面PBC所成角的大小為今

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由已知條件即可得出線線平行，然后由線面平行的判定定理即可得證出

結論。

(2)由已知條件即可得出線線垂直，然后由角點的大小也可得出線線垂直，再由線面垂直的判定定理

即可得證出結論。

(3)由(2)的結論即可得出線線垂直，由此建立空間直角坐標系，求出點以及向量的坐標，結合數(shù)量積

的坐標公式即可求出平面PBC的法向量，然后由共線向量的性質結合線面角與向量夾角之間的關

系，把數(shù)值代入到數(shù)量積的夾角公式，計算出夾角的正弦值，由此即可對應的4的值，從而即可得出

答案。

18.【答案】(1)解：由題可知，X的所有可能取值為0,10,40.

P(X=0)=1-0.8=0.2；P(X=10)=0.8x(1-0.5)=0.4；P(X=40)=0.8x0.5=0.4.

所以X的分布列為

X01040

p0.20.40.4

(2)解：由⑴知，若小明先回答A問題，則E(X)=0X0.2+10x0.4+40義0.4=20.

若小明先回答B(yǎng)問題，記丫為小明的累計得分，則丫的所有可能取值為0,30,40.

P(y=0)=1_0.5=0,5；P(Y=30)=0.5x(1-0.8)=0.1；P(X=40)=0.5x0.8=0.4,

所以E(Y)=0x0.5+30x0.1+40x0.4=19.

因為19<20,所以小明應選擇先回答4類問題.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意即可得出X的取值，再由概率的公式求出對應的X的概率由此得到X

的分布列。

(2)由(1)的結論結合數(shù)學期望公式計算出結果即可，同理根據(jù)題意即可得出Y的取值，再由概率的公

式求出對應的Y的概率，結合數(shù)學期望公式計算出答案，然后進行比較由此即可得出結論。

19.【答案】(1)解：因為右焦點為尸(或，0),所以c=/,

因為離心率e=￡=坐，所以。=遮，廬=a?—=3—2=1,

a3

2

所以橢圓C的方程為多+y2”

(2)解：當直線PF垂直于x軸時，|MN|=竽清百(舍).

當直線PF不垂直于x軸時，設直線PF的方程為y=k(x-V2),

(y=k(x—V2)，

由｛r2整理得(1+3左2)%2一6企々2%+6攵2-3=0,

(3+/=1，

設M(%i，%),N(%2，丫2)，由題意A>0恒成立,

6m-3

所以%1+冷=)翅％

1+3公2=1+3/'

2

利用弦長公式知|MN|=V14-k\x1—x2\=+k2a—%+%)2-4/％2

jx琮=E^^3解得.L

所以直線PF的方程為y=±(x-V2).

因為A,B為橢圓C在y軸上的兩個頂點，不妨設4(0,1),B(0,-1),

因為方■前=0，設P(m,n),

所以(m,n—1)■(m,n+1)=0)即

即點P在以原點為圓心，半徑為1的圓上

,\42\限|,

因為原點到直線PF的距離d="7=5=々=1，

y/l+k2J7l+.(±1)

所以直線P尸與圓Hi?+n2-1相切，

所以NOPF=90°.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由橢圓的簡單性質即可求出焦點的坐標以及c的取值，然后由離心率公

式以及橢圓里a、b、c的關系，計算出a的值由此即可得出橢圓的方程。

(2)根據(jù)題意對斜率分情況討論，然后由斜截式設出直線的方程再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y等

到關于x的一元二次方程結合韋達定理即可得到關于k的兩根之和與兩根之積的代數(shù)式，再把結果

代入到弦長公式，整理化簡計算出k的取值，由此即可得出直線的方程，再由向量的坐標公式以及

點到直線的距離公式結合直線與圓的位置關系，把點的坐標代入計算出結果即可。

20.【答案】(1)解：/(久)=(一產2+尸1)［絲)，=+2_(2與5+2=

(ex)e

(ax-l)(x-2)

，

因為外0)=2,/(0)=-1,

所以曲線y=/(x)在點(0,一1)處的切線方程為y=2%-1.

(2)解：由(1)知：/(%)=(取-%-2),(X€R),

因為a>0,令/(久)=0,所以*=，或%=2,

當0<a<凱寸，1>2,

則x,/(x),/(%)的變化情況如下表：

(—8,2)2111

X口五)a(五，+8)

/(X)+0—0+

/(X)7極大值極小值7

當。=加，1=2,則/(久)20恒成立，f(x)在R內恒增；

當a>；時，0<]<2，則x,/(%),/(%)的變化情況如下表:

111

X2(2,+8)

(-8,-)a(屋2)

/(X)+0—0+

/(X)7極大值極小值7

綜上，當0<a<：時，單調遞增區(qū)間是(一8,2)和。，+00),單調遞減區(qū)間是(2,3；

當a=*時，單調遞增區(qū)間是r-oo,+8),無單調遞減區(qū)間；

當a>；時，單調遞增區(qū)間是(—8,》和(2,+8),單調遞減是《，2).

(3)證明：當aS—1時，令/(x)=0,得4=;或x=2,易知：e[_L。)，

則x,/(%),/(%)的變化情況如下表：

111

X2(2,4-oo)

(-8,-)a(屋2)

/(X)—0+0—

/㈤極小值7極大值

111_1

所以當久=-時，/(%)取得極小值f(?)=—T=-。。，

aea

111i

由于aW—1,則萬e[—L0).--e(0,1]，e~aG(1,e]'—e~ae[-e,1)，

所以由極小值定義及/(x)的單調性可知：當x<2時，/(%)>-e,

接下來，研究/(%)在久>2的變化情況，

因為e">0恒成立，設g(%)=—a/+%—1,(%>2/a<-1),

對稱軸x=/<0，J=1-4a>0,拋物線開口向上，g⑵=l-4a>0,

所以由二次函數(shù)的性質可知：當x>2時，g(x)>g(2)>0恒成立，

所以/(%)>0在％>2時恒成立.

綜上所述：當a<-1時，/(x)>-e.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意首先對函數(shù)求導，再把點的坐標代入到導函數(shù)的解析式，計算出直線的

斜率，結合點斜式求出切線的方程即可。

(2)由(1)的結論，結合題意即可得出導函數(shù)的正負，結合極值的定義即可得出函數(shù)的單調性以及單調

區(qū)間。

(3)根據(jù)題意對a分情況討論，由此即可得出導函數(shù)的正負，由導函數(shù)的性質即可得出函數(shù)的單調

性，由函數(shù)的單調性結合極值的定義即可得出函數(shù)的單調性，然后由二次函數(shù)的圖象和性質即可得

出使不等式成立的a的取值范圍。

21.【答案】⑴解:數(shù)列｛4｝是“趨勢遞減數(shù)列”.

由通項公式知：公差為-2,故｛。工是單調遞減數(shù)列，

...”=max｛a2k-i，a2k｝=a2k^,且"+i<"，故數(shù)列5｝是“趨勢遞減數(shù)列

數(shù)列｛%｝是“趨勢遞減數(shù)列”?

由2k—1為奇數(shù)，2k為偶數(shù)，則b2k>0>bzk-i，

：.<pk=max[b2k-i>b2k]=b2k,且畋+i<”,故數(shù)列｛%｝是“趨勢遞減數(shù)列

(2)解：當q>l時,數(shù)列｛%｝為單調遞增數(shù)列，此時max?1,c2k｝=c2k，且c2k+2>c2k不滿足

題意；

當q=l時，數(shù)列｛0｝為常數(shù)列，不滿足題意；

當0<q<l時，數(shù)列｛cn｝為單調遞減數(shù)列，此時max｛c2k-l,c2k｝=c2k-l,且c2k+l<c2kT,滿足題

忌；

當一IvqvO時,此時max｛c2kT,c2k｝=c2k,且c2k+2<c2k,滿足題意；

當q<-l時，此時max｛c2k-l,c2k｝=c2k,且c2k+2>c2k,不滿足題意；

綜上，q的取值范圍為(T,0匯(0,1).

(3)解：先證必要性：

假設存在正整數(shù)m(mN3)使得dm=|dm-1-dm-21=0,令dm-l=dm-2=a.

因為dl,d2為正實數(shù)，且dn+2=|dn+l-dn|,

.,.dn>0,故吟0,則數(shù)列{dn}從dn-2開始以后的各項為a,a,0,a,a,0口,

當2kTNm-2時,max{d2k-l,d2k}=a,max{d2k+l,d2k+2}=a與{dn}為“趨勢遞減數(shù)列”矛盾,故假

設不成立，{dn}的項中沒有0.

再證明充分性：

dn+2=|dn+l-dn|得：dn+2<max{dn+l,dn},

由{dn}的項中沒有0,故對于任意正整數(shù)n,dn/0,

二d2k+3知，即d2k+1Rd2k+2.

當d2k+l>d2k+2時，max{d2k+l,d2k+2}=d2k+l<max{d2k-l,d2k},

當d2k+l<d2k+2時，max{d2k+l,d2k+2}=d2k+2<max{d2kT,d2k},

；.{dn}為“趨勢遞減數(shù)列”.

綜上：{dn}為“趨勢遞減數(shù)列”的充要條件為{dn}的項中沒有0.

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由等差數(shù)列的通項公式即可得出數(shù)列{&J的單調性，結合已知條件對n

分情況討論，由此即可得出數(shù)列{%}的單調性，從而即可得證出結論。

(2)由已知條件對q分情況討論，結合數(shù)列的單調性，即可得出數(shù)列項之間的關系，結合等比數(shù)列的

通項公式即可得出q的取值范圍。

(3)利用假設法結合等差數(shù)列的通項公式以及定義，由已知條件即可得出dn+2<max{dn+i，dn},然

后對k分情況討論，結合題意即可得出數(shù)列{d3的單調性，再結合充分和必要條件的定義即可即可

得證出結論。

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：101分

客觀題（占比）20.0(19.8%)

分值分布

主觀題（占比）81.0(80.2%)

客觀題（占比）10(47.6%)

題量分布

主觀題（占比）11(52.4%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題5(23.8%)6.0(5.9%)

解答題6(28.6%)75.0(74.3%)

單選題10(47.6%)20.0(19.8%)

3、試卷難度結構分析

序號難易度占比

1普通(42.9%)

2容易(52.4%)

3困難(4.8%)

4、試卷知識點分析

序號知識點（認知水平）分值（占比）對應題號

1直線與平面垂直的性質2.0(2.0%)10

2頻率分布直方圖2.0(2.0%)6

3橢圓的簡單性質10.0(9.9%)19

4復數(shù)代數(shù)形式的混合運算2.0(2.0%)2

5等比數(shù)列的通項公式2.0(2.0%)9

6等差數(shù)列的通項公式2.0(2.0%)5

7直線與圓錐曲線的綜合問題10.0(9.9%)19

8函數(shù)奇偶性的判斷2.0(2.0%)3

9排列、組合及簡單計數(shù)問題2.0(2.0%)4

10兩角和與差的正弦公式3.0(3.0%)8,13

11雙曲線的簡單性質2.0(2.0%)15

12正弦定理2.0(2.0%)8

13利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程15.0(14.9%)20

14點到直線的距離公式13.0(12.9%)10,14,19

15判斷（數(shù)列）的變化趨勢15.0(14