集合、集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算（重難點(diǎn)突破）學(xué)生用-秋季高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版）

專題01集合、集合間的關(guān)系、集合的運(yùn)算一、考情分析考點(diǎn)梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三個(gè)特征：①．確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了．②．互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.③．無序性：即集合中的元素?zé)o順序,可以任意排列、調(diào)換。⑵.元素與集合的關(guān)系有且只有兩種：屬于（用符號“”表示）和不屬于（用符號“”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三種：列舉法、Venn圖、描述法．(4).常見的數(shù)集及其表示符號名稱自然數(shù)集(非負(fù)整數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集表示符號N或ZQR

集合間的基本關(guān)系性質(zhì)符號表示空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集相等集合A與集合B所有元素相同A=B子集集合A中的任何一個(gè)元素均是集合B中的元素真子集集合A中的任何一個(gè)元素均是集合B中的元素,且B中至少有一個(gè)元素在A中沒有集合之間的基本運(yùn)算符號表示集合表示并集交集補(bǔ)集【名師提醒】1．若有限集A中有n個(gè)元素,則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集的個(gè)數(shù)為2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．奇數(shù)集：.4.數(shù)集運(yùn)算的封閉性,高考多次考查,基礎(chǔ)知識如下:若從某個(gè)非空數(shù)集中任選兩個(gè)元素(同一元素可重復(fù)選出),選出的這兩個(gè)元素通過某種(或幾種)運(yùn)算后的得數(shù)仍是該數(shù)集中的元素,那么,就說該集合對于這種(或幾種)運(yùn)算是封閉的.自然數(shù)集N對加法運(yùn)算是封閉的;整數(shù)集Z對加、減、乘法運(yùn)算是封閉的.有理數(shù)集、復(fù)數(shù)集對四則運(yùn)算是封閉的.對加、減、乘運(yùn)算封閉的數(shù)集叫數(shù)環(huán),有限數(shù)集{0}就是一個(gè)數(shù)環(huán),叫零環(huán).設(shè)F是由一些數(shù)所構(gòu)成的集合,其中包含0和1,如果對F中的任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0),仍是F中的數(shù),即運(yùn)算封閉,則稱F為數(shù)域.5.德?摩根定律：①并集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的交集，即；②交集的補(bǔ)集等于補(bǔ)集的并集，即．三、題型突破考點(diǎn)1集合的概念及其表示歸納總結(jié)：與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略(1)確定集合的元素是什么，即集合是（數(shù)軸）數(shù)集、（平面直角坐標(biāo)系）點(diǎn)集還是其他類型的集合．(2)看這些元素滿足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)，要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性．例1．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）下列對象能構(gòu)成集合的是A．高一年級全體較胖的學(xué)生 B．C．全體很大的自然數(shù) D．平面內(nèi)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)【變式訓(xùn)練1-1】．（2020·全國高一課時(shí)練習(xí)）下列各組對象中能構(gòu)成集合的是（）A．充分接近的實(shí)數(shù)的全體 B．?dāng)?shù)學(xué)成績比較好的同學(xué)C．小于20的所有自然數(shù) D．未來世界的高科技產(chǎn)品例2．（1）（2020·全國高一單元測試）集合中的不能取的值的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5（2）．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知集合只有一個(gè)元素，則的取值集合為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練2-1】．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知，，若集合，則的（）A． B． C． D．

例3．（1）（2021·全國高一課前預(yù)習(xí)）用列舉法表示下列集合：（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；（2）方程x2＝2x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；（3）直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；（4）由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．（2）．（2020·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）用描述法表示下列集合：（1）拋物線y＝x2﹣2x+2的點(diǎn)組成的集合；（2）使有意義的實(shí)數(shù)x的集合．【變式訓(xùn)練3-1】．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）下列研究對象能否構(gòu)成一個(gè)集合？如果能，采用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎舅?）小于的自然數(shù)；（2）某班所有個(gè)子高的同學(xué)；（3）不等式的整數(shù)解．

考點(diǎn)2元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.(3)常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N＋ZQR歸納總結(jié)：(1)判斷集合間的關(guān)系，要注意先對集合進(jìn)行化簡，再進(jìn)行判斷，并且在描述關(guān)系時(shí)，要盡量精確．(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系(要注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．例4．（1）（2021·全國高一單元測試）已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A．9 B．8 C．5 D．4（2）．（2021·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）集合，用列舉法可以表示為（）A． B．C． D．（3）．（2019·鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高一月考）給出下列關(guān)系，其中正確的個(gè)數(shù)為（）①；②；③；④A．1 B．0 C．2 D．3【變式訓(xùn)練4-1】．（2020·上海高一專題練習(xí)）定義集合運(yùn)算:.設(shè),,則集合的所有元素之和為（）A．0 B．2 C．3 D．6

【變式訓(xùn)練4-2】．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，若，則中所有元素之和為（）A．3 B．1 C． D．【變式訓(xùn)練4-3】．（2021·全國）給出下列個(gè)關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．例5．（2021·江蘇高一單元測試）已知由實(shí)數(shù)組成的集合，，又滿足:若，則．（1）設(shè)中含有3個(gè)元素，且求A；（2）能否是僅含一個(gè)元素的單元素集，試說明理由；（3）中含元素個(gè)數(shù)一定是個(gè)嗎？若是，給出證明，若不是，說明理由．

考點(diǎn)3集合間的基本關(guān)系1.集合A中含有n個(gè)元素，則有(1)A的子集的個(gè)數(shù)有2n個(gè)．(2)A的非空子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(3)A的真子集的個(gè)數(shù)有2n－1個(gè)．(4)A的非空真子集的個(gè)數(shù)有2n－2個(gè)．2.空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時(shí)，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．例6．（1）（2021·全國高一專題練習(xí)）集合的非空真子集共有（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)（2）．（2021·全國高一專題練習(xí)）如果集合，，則（）A． B． C． D．（3）．（2021·全國高一期中）集合的子集個(gè)數(shù)為（）A．2 B．4 C．8 D．16【變式訓(xùn)練6-1】．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知全集，那么正確表示集合和的關(guān)系的韋恩圖是（）A． B．C． D．

【變式訓(xùn)練6-2】．（2020·西安市第八十三中學(xué)高一月考）集合，，之間的關(guān)系是（）A． B．C． D．例7．（1）（2021·全國高一專題練習(xí)）已知集合，集合.若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）A． B． C． D．（2）．（2021·全國高一單元測試）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________．考點(diǎn)4集合的基本運(yùn)算1.由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫A與B的并集，記作A∪B；符號表示為A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性質(zhì)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?A∪B.3.對于兩個(gè)給定的集合A、B，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫A與B的交集，記作A∩B。符號為A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。4.交集的性質(zhì)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B?A.5、對于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補(bǔ)集，記作?UA。符號語言：?UA＝{x|x∈U，且x?A}。歸納總結(jié)：集合基本運(yùn)算的求解規(guī)律(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運(yùn)算，常借用Venn圖求解．(2)集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù)，常借助數(shù)軸求解，但是要注意端點(diǎn)值能否取到的情況．(3)根據(jù)集合運(yùn)算求參數(shù)，先把符號語言譯成文字語言，然后靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解．例8．（2020·江西省興國縣第三中學(xué)）設(shè)集合，．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式訓(xùn)練8-1】．（2021·全國高一課前預(yù)習(xí)）已知集合，，則________.【變式訓(xùn)練8-2】．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)全集，集合，那么＝________.【變式訓(xùn)練8-3】．（2021·廣東佛山市·高二期末）設(shè)全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A． B． C． D．

考點(diǎn)5根據(jù)集合的性質(zhì)求參數(shù)的范圍例9．（2020·江蘇揚(yáng)州市·儀征市第二中學(xué)高一月考）已知集合．（1）若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例10．（2020·廣東東莞一中高一月考）設(shè)集合，，（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

四、課堂定時(shí)訓(xùn)練（30分鐘）1．（2020·全國高一單元測試）下列各組對象中不能形成集合的是（）A．連江中全體老師 B．優(yōu)秀藝術(shù)家C．目前獲得諾貝爾獎(jiǎng)的公民 D．高中英語的必修課本2．（2020·長沙市·湖南師大附中高二開學(xué)考試）已知集合，且，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．33．（2021·全國）集合，用列舉法可以表示為（）A． B． C． D．4．（2021·江蘇高一課時(shí)練習(xí)）已知集合，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．5．（2020·西安市第八十三中學(xué)高一月考）滿足的集合有（）A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．16個(gè)6．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知集合，則集合的子集的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．57．（2021·江蘇高三一模）若集合，，則（）A． B． C． D．8．（2021·全國高一單元測試）已知，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（2021·江蘇高一單元測試）若集合中