集合、集合間的關(guān)系、集合的運算（重難點突破）（教師用）-秋季高一數(shù)學上學期講義（人教A版）

專題01集合、集合間的關(guān)系、集合的運算一、考情分析考點梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三個特征：①．確定性：給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了．②．互異性：一個集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復出現(xiàn)的.③．無序性：即集合中的元素無順序,可以任意排列、調(diào)換。⑵.元素與集合的關(guān)系有且只有兩種：屬于（用符號“”表示）和不屬于（用符號“”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三種：列舉法、Venn圖、描述法．(4).常見的數(shù)集及其表示符號名稱自然數(shù)集(非負整數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集表示符號N或ZQR

集合間的基本關(guān)系性質(zhì)符號表示空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集相等集合A與集合B所有元素相同A=B子集集合A中的任何一個元素均是集合B中的元素真子集集合A中的任何一個元素均是集合B中的元素,且B中至少有一個元素在A中沒有集合之間的基本運算符號表示集合表示并集交集補集【名師提醒】1．若有限集A中有n個元素,則集合A的子集個數(shù)為2n,真子集的個數(shù)為2n－1.2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.3．奇數(shù)集：.4.數(shù)集運算的封閉性,高考多次考查,基礎知識如下:若從某個非空數(shù)集中任選兩個元素(同一元素可重復選出),選出的這兩個元素通過某種(或幾種)運算后的得數(shù)仍是該數(shù)集中的元素,那么,就說該集合對于這種(或幾種)運算是封閉的.自然數(shù)集N對加法運算是封閉的;整數(shù)集Z對加、減、乘法運算是封閉的.有理數(shù)集、復數(shù)集對四則運算是封閉的.對加、減、乘運算封閉的數(shù)集叫數(shù)環(huán),有限數(shù)集{0}就是一個數(shù)環(huán),叫零環(huán).設F是由一些數(shù)所構(gòu)成的集合,其中包含0和1,如果對F中的任意兩個數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為0),仍是F中的數(shù),即運算封閉,則稱F為數(shù)域.5.德?摩根定律：①并集的補集等于補集的交集，即；②交集的補集等于補集的并集，即．三、題型突破考點1集合的概念及其表示歸納總結(jié)：與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略(1)確定集合的元素是什么，即集合是（數(shù)軸）數(shù)集、（平面直角坐標系）點集還是其他類型的集合．(2)看這些元素滿足什么限制條件．(3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性．例1．（2020·全國高一課時練習）下列對象能構(gòu)成集合的是A．高一年級全體較胖的學生 B．C．全體很大的自然數(shù) D．平面內(nèi)到三個頂點距離相等的所有點【答案】D【分析】根據(jù)集合的互異性、確定性原則判斷即可.【詳解】對于，高一年級較胖的學生，因為較胖學生不確定，所以不滿足集合元素的確定性，故錯誤；對于,由于如,不滿足集合元素的互異性，故錯誤；對于，全體很大的自然數(shù)，因為很大的自然數(shù)不確定，所以不滿足集合元素的確定性，故獵誤；對于，平面內(nèi)到三個頂點距離相等的所有點，可知這個點就是外接圓的圓心，滿足集合的定義，正確，故選D.【點睛】本題主要考查集合的性質(zhì)，屬于基礎題.集合的主要性質(zhì)有：（1）無序性；（2）互異性；（3）確定性.【變式訓練1-1】．（2020·全國高一課時練習）下列各組對象中能構(gòu)成集合的是（）A．充分接近的實數(shù)的全體 B．數(shù)學成績比較好的同學C．小于20的所有自然數(shù) D．未來世界的高科技產(chǎn)品【答案】C【分析】根據(jù)集合中元素的確定性，即可得解.【詳解】選項A、B、D中集合的元素均不滿足確定性，只有C中的元素是確定的，滿足集合的定義，故選：C.【點睛】本題考查了集合中元素的特征，考查了集合中元素的確定性，是概念題，屬于基礎題.例2．（1）（2020·全國高一單元測試）集合中的不能取的值的個數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)集合元素的互異性，得到不等式組，可以求出不能取的值，就可以確定不能取值的個數(shù).【詳解】由題意可知：且且，故集合中的不能取的值的個數(shù)是3個，故本題選B.【點睛】本題考查了集合元素的互異性，正確求出不等式的解集是解題的關(guān)鍵.（2）．（2021·全國高一專題練習）已知集合只有一個元素，則的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】對參數(shù)分類討論，結(jié)合判別式法得到結(jié)果.【詳解】解：①當時，，此時滿足條件；②當時，中只有一個元素的話，，解得，綜上，的取值集合為，．故選：D．【變式訓練2-1】．（2021·全國高一專題練習）已知，，若集合，則的（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合相等，結(jié)合元素的互異性求解.【詳解】易知，∵，∴，即，∴.∴，解得或.當時，集合為，不符合集合中元素的互異性，故舍去；當時，集合為}.∴，.∴.故選：C例3．（1）（2021·全國高一課前預習）用列舉法表示下列集合：（1）不大于10的非負偶數(shù)組成的集合；（2）方程x2＝2x的所有實數(shù)解組成的集合；（3）直線y＝2x＋1與y軸的交點所組成的集合；（4）由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．【答案】（1）{0，2，4，6，8，10}；（2）{0，2}；（3）{(0，1)}；（4）{1，2，3，…}．【分析】根據(jù)題意求得集合的元素，然后用列舉法表示集合.【詳解】解（1）因為不大于10是指小于或等于10，非負是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負偶數(shù)集是{0，2，4，6，8，10}．（2）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解組成的集合為{0，2}．（3）將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點是(0，1)，故交點組成的集合是{(0，1)}．（4）正整數(shù)有1，2，3，…，所求集合為{1，2，3，…}．（2）．（2020·江蘇高一課時練習）用描述法表示下列集合：（1）拋物線y＝x2﹣2x+2的點組成的集合；（2）使有意義的實數(shù)x的集合．【答案】（1）；（2）．【分析】根據(jù)描述法的表示方法可得答案.【詳解】（1）拋物線y＝x2﹣2x+2的點組成的集合：（2）使有意義的實數(shù)x的集合：【變式訓練3-1】．（2021·全國高一課時練習）下列研究對象能否構(gòu)成一個集合？如果能，采用適當?shù)姆绞奖硎舅?）小于的自然數(shù)；（2）某班所有個子高的同學；（3）不等式的整數(shù)解．【答案】（1）能，集合為；（2）不能，理由見解析；（3）能，集合為.【分析】（1）根據(jù)集合元素的確定性、互異性進行判斷即可，并表示出相應的集合；（2）根據(jù)集合元素的確定性進行判斷即可；（3）根據(jù)集合元素的確定性、互異性進行判斷即可，并表示出相應的集合.【詳解】（1）小于的自然數(shù)為、、、、，元素確定，所以能構(gòu)成集合，且集合為；（2）個子高的標準不確定，所以集合元素無法確定，所以不能構(gòu)成集合；（3）由得，因為為整數(shù)，集合元素確定，但集合元素個數(shù)為無限個，所以用描述法表示為.考點2元素與集合的關(guān)系(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.(3)常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR歸納總結(jié)：(1)判斷集合間的關(guān)系，要注意先對集合進行化簡，再進行判斷，并且在描述關(guān)系時，要盡量精確．(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系(要注意區(qū)間端點的取舍)，進而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．例4．（1）（2021·全國高一單元測試）已知集合，則中元素的個數(shù)為（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點個數(shù).【詳解】當時，；當時，；當時，；所以共有9個，故選：A.【點睛】本題考查集合與元素關(guān)系，點與圓位置關(guān)系，考查學生對概念理解與識別.（2）．（2021·江蘇高一課時練習）集合，用列舉法可以表示為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】據(jù)題意可得是6的約數(shù)，然后逐一檢驗的各個取值是否是正自然數(shù)，從而確定的各個可能的取值，進而得到的各個可能的取值,即可得出的列舉法表示.【詳解】∵是6的約數(shù)，，,得,得,得,得,得,與已知矛盾，故；,得；,得,與已知矛盾，故得.故的值只能是，對應的值依次為即.故選：.【點睛】本題考查集合的描述法與列舉法的轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)的整除性得到的可能的取值，根據(jù)的條件進一步確認的可能取值，進一步得到集合的元素.（3）．（2019·鎮(zhèn)江市實驗高級中學高一月考）給出下列關(guān)系，其中正確的個數(shù)為（）①；②；③；④A．1 B．0 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，逐一分析①②③④，即可得答案.【詳解】對于①：0為自然數(shù)，所以，故①正確；對于②：為無理數(shù)，所以，故②錯誤；對于③：含有元素0，不是空集，故③錯誤；對于④：R為實數(shù)集，所以④正確；故選：C【變式訓練4-1】．（2020·上海高一專題練習）定義集合運算:.設,,則集合的所有元素之和為（）A．0 B．2 C．3 D．6【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)題意，結(jié)合題目的新運算法則，可得集合A*B中的元素可能的情況；再由集合元素的互異性，可得集合A*B，進而可得答案解：根據(jù)題意，設A={1，2}，B={0，2}，則集合A*B中的元素可能為：0、2、0、4，又由集合元素的互異性，則A*B={0，2，4}，其所有元素之和為6；故選D．考點：元素的互異點評：解題時，注意結(jié)合集合元素的互異性，對所得集合的元素的分析，對其進行取舍【變式訓練4-2】．（2021·全國高一課時練習）已知集合，若，則中所有元素之和為（）A．3 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，依次令中的三個元素分別等于1，根據(jù)集合中元素的互異性作出取舍，求得結(jié)果.【詳解】若，則，矛盾；若，則，矛盾，故，解得（舍）或，故，元素之和為，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)集合的問題，在解題的過程中，關(guān)鍵是用好集合中元素的互異性對參數(shù)的值進行取舍.【變式訓練4-3】．（2021·全國）給出下列個關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥，其中正確命題的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用元素與集合的關(guān)系可判斷①②③④⑤⑥的正誤.【詳解】、、、分別表示實數(shù)集、有理數(shù)集、自然數(shù)集、整數(shù)集，所以，，，，，，，因此，①正確，②③④⑤⑥不正確，故選：A．例5．（2021·江蘇高一單元測試）已知由實數(shù)組成的集合，，又滿足:若，則．（1）設中含有3個元素，且求A；（2）能否是僅含一個元素的單元素集，試說明理由；（3）中含元素個數(shù)一定是個嗎？若是，給出證明，若不是，說明理由．【答案】（1）；（2）不存在這樣的，理由見解析；（3）是，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意得，，，故；（2）假設集合是單元數(shù)集合，則，根據(jù)矛盾即可得答案；（3）根據(jù)已知條件證明，，是集合的元素即可.【詳解】解：（1）因為若，則，，所以，，，所以.（2）假設集合是僅含一個元素的單元素集合，則，即：，由于，故該方程無解，所以不能是僅含一個元素的單元素集.（3）因為，，則，則，所以，故該集合有三個元素，下證，，互不相等即可.假設，則，該方程無解，故，不相等，假設，則，該方程無解，故，不相等，假設，則，該方程無解，故，不相等.所以集合中含元素個數(shù)一定是個.【點睛】本題考查集合與元素的關(guān)系，其中第三問解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知證明，，互不相等且屬于集合即可.考查運算求解能力與邏輯推理能力，是中檔題.考點3集合間的基本關(guān)系1.集合A中含有n個元素，則有(1)A的子集的個數(shù)有2n個．(2)A的非空子集的個數(shù)有2n－1個．(3)A的真子集的個數(shù)有2n－1個．(4)A的非空真子集的個數(shù)有2n－2個．2.空集是任何集合的子集，因此在解A?B(B≠?)的含參數(shù)的問題時，要注意討論A＝?和A≠?兩種情況，前者常被忽視，造成思考問題不全面．例6．（1）（2021·全國高一專題練習）集合的非空真子集共有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】B【分析】按照子集元素個數(shù)1個，2個的順序列舉計數(shù).【詳解】解：集合的非空真子集有：，，，，，共6個.故選：B.（2）．（2021·全國高一專題練習）如果集合，，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到集合的元素是除以4余2的自然數(shù)，集合的元素是除以4余2的整數(shù)，結(jié)合集合的包含關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意，集合，即集合S的元素是除以4余2的自然數(shù)，又由，即集合S的元素是除以4余2的整數(shù)，所以.故選：A.（3）．（2021·全國高一期中）集合的子集個數(shù)為（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【分析】先化簡集合，得到集合元素的個數(shù)n，再由子集的個數(shù)為求解.【詳解】，的子集的個數(shù)為.故選：D.【變式訓練6-1】．（2021·全國高一課時練習）已知全集，那么正確表示集合和的關(guān)系的韋恩圖是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)之間的關(guān)系進行判斷即可.【詳解】因為，所以?.故選：B.【變式訓練6-2】．（2020·西安市第八十三中學高一月考）集合，，之間的關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別求出集合、、的元素，再根據(jù)集合包含關(guān)系和相等關(guān)系的定義即可求解.【詳解】因為，所以，所以集合中的元素是的整數(shù)倍加這樣的數(shù)，，所以集合中的元素是的整數(shù)倍加這樣的數(shù)，因為，所以是偶數(shù)，所以集合中的元素是的偶數(shù)倍加這樣的數(shù)，所以，故選：D.例7．（1）（2021·全國高一專題練習）已知集合，集合.若，則實數(shù)的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得或，解方程即可求解.【詳解】因為，所以或因為無解，所以不成立，由得，所以實數(shù)的取值集合為.故選：C.（2）．（2021·全國高一單元測試）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是____________．【答案】【分析】分情況討論：當或，根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】當時，有，則；當時，若，如圖，則解得．綜上，的取值范圍為．故答案為：考點4集合的基本運算1.由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫A與B的并集，記作A∪B；符號表示為A∪B＝{x|x∈A或x∈B}2．并集的性質(zhì)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪?＝A，A?A∪B.3.對于兩個給定的集合A、B，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫A與B的交集，記作A∩B。符號為A∩B＝{x|x∈A且x∈B}。4.交集的性質(zhì)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B?A.5、對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA。符號語言：?UA＝{x|x∈U，且x?A}。歸納總結(jié)：集合基本運算的求解規(guī)律(1)離散型數(shù)集或抽象集合間的運算，常借用Venn圖求解．(2)集合中的元素若是連續(xù)的實數(shù)，常借助數(shù)軸求解，但是要注意端點值能否取到的情況．(3)根據(jù)集合運算求參數(shù)，先把符號語言譯成文字語言，然后靈活應用數(shù)形結(jié)合求解．例8．（2020·江西省興國縣第三中學）設集合，．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）本題首先可通過求解得出，然后通過得出或，最后通過檢驗即可得出結(jié)果；（2）本題首先可通過得出，然后分為、中有一個元素、中有兩個元素三種情況進行計算，通過判別式以及檢驗即可得出結(jié)果.【詳解】（1），即，解得或，，因為，所以，解得或，若，，或，，滿足題意；若，，或，，滿足題意，故或.（2）因為，所以，若，則，解得；若中有一個元素，則，解得，此時，解得，，不滿足題意；若中有兩個元素，則，，無解，不滿足題意，綜上所述，的取值范圍為.【變式訓練8-1】．（2021·全國高一課前預習）已知集合，，則________.【答案】【分析】利用并集的定義可得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故答案為：.【變式訓練8-2】．（2021·全國高一課時練習）設全集，集合，那么＝________.【答案】【分析】根據(jù)全集，先求出集合與的補集，再求交集即可得答案.【詳解】解：因為全集，集合，所以，所以，故答案為：.【變式訓練8-3】．（2021·廣東佛山市·高二期末）設全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】圖中陰影部分表示的集合為，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：全集，集合，，所以圖中陰影部分表示的集合為：．故選：．考點5根據(jù)集合的性質(zhì)求參數(shù)的范圍例9．（2020·江蘇揚州市·儀征市第二中學高一月考）已知集合．（1）若，，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若，，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）[3，4]；（2）（﹣∞，3].【分析】（1）先判斷出，由，列不等式即可解得實數(shù)m的取值范圍；（2）對B是否為?進行分類討論，解出實數(shù)m的取值范圍．【詳解】集合，（1）∵A?B，，∴∴解得3≤m≤4，∴實數(shù)m的取值范圍為[3，4]；（2）∵B?A，①當B＝?時，m+1＞2m﹣1，即m＜2，②當B≠?時，，解得2≤m≤3，綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，3]．例10．（2020·廣東東莞一中高一月考）設集合，，（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】(1)根據(jù)，求出集合，再求；(2)由得，，再分和列不等式求解.【詳解】(1)由題知，，當時，，所以．(2)若，則.當時，由得，．當時，由解得，.綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.四、課堂定時訓練（30分鐘）1．（2020·全國高一單元測試）下列各組對象中不能形成集合的是（）A．連江中全體老師 B．優(yōu)秀藝術(shù)家C．目前獲得諾貝爾獎的公民 D．高中英語的必修課本【答案】B【分析】根據(jù)集合的概念，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意選項A、C、D所述對象均滿足集合的三要素：確定性、互異性和無序性，可構(gòu)成集合；而選項B中所述對象不滿足確定性，因為什么樣的藝術(shù)家才算“優(yōu)秀”，無法確切界定不能形成集合，故B中對象不能形成集合；故選：B.【點睛】本題主要考查集合的概念，屬于基礎題型.2．（2020·長沙市·湖南師大附中高二開學考試）已知集合，且，則實數(shù)m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】對或分類討論，結(jié)合互異性即可得到正確答案.【詳解】若，則，根據(jù)集合中元素的互異性，舍去；若或3，又，故．故選：D3．（2021·全國）集合，用列舉法可以表示為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)且確定出所有的可取值，然后用列舉法表示集合即可.【詳解】因為且，所以的可取值有：，所以列舉法表示集合為：，故選：B.4．（2021·江蘇高一課時練習）已知集合，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求得集合及集合表示點集，即可求解.【詳解】由題意，集合，集合表示曲線的點作為元素構(gòu)成的一個點集，所以.故選：A.5．（2020·西安市第八十三中學高一月考）滿足的集合有（）A．4個 B．6個 C．8個 D．16個【答案】C【分析】根據(jù)子集的概念可知，集合X中必含有元素1，且最多含有4個元素，對集合X中元素個數(shù)分類，即可列舉出滿足題意的集合X，從而求出個數(shù).【詳解】解：由題意可以確定集合X中必含有元素1，且最多含有4個元素，因此集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，共8個.故選：C．6．（2021·全國高一專題練習）已知集合，則集合的子集的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先求出集合A，再根據(jù)集合元素的個數(shù)即可求出子集個數(shù).【詳解】，有2個元素，則集合的子集的個數(shù)是.故選