等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)學(xué)生用

專(zhuān)題04等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)高考概覽1.理解等式的性質(zhì)與不等式的概念;2.掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用.必備知識(shí).真題演練【知識(shí)梳理】1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）?a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1?a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）?a<b（a∈R，b>0）.))2.等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：若a＝b，則b＝a.(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.(5)可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱(chēng)性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開(kāi)方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).【常用結(jié)論】1.不等式相減、相除及取倒數(shù)(1)異向不等式相減：a>b，c<d?a－c＞b－d.(2)異向不等式相除：a>b>0，0<c<d?eq\f(a,c)＞eq\f(b,d).(3)不等式取倒數(shù)：a>b，ab>0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).2.分?jǐn)?shù)性質(zhì)若a>b>0，m>0，則(1)真分?jǐn)?shù)性質(zhì)：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)假分?jǐn)?shù)性質(zhì)：eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0).【真題體驗(yàn)】1．（2020天津卷）設(shè)，則的大小關(guān)系為()A． B． C． D．2．（2021全國(guó)乙卷）設(shè)，，．則（）A.B.C. D.3.2021全國(guó)乙卷）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（）A. B. C. D.考點(diǎn)突破.典題精研考點(diǎn)一比較數(shù)(式)的大小1.已知等比數(shù)列{an}中，a1>0，q>0，前n項(xiàng)和為Sn，則eq\f(S3,a3)與eq\f(S5,a5)的大小關(guān)系為_(kāi)_______.2.若a，b為正數(shù)，且a≠b，則a3＋b3________a2b＋ab2(用符號(hào)>、<、≥、≤填空).3.若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c4.若a＞0，b＞0，則p＝(ab)eq\s\up6(\f(a＋b,2))與q＝ab·ba的大小關(guān)系是()A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.p＜q名師點(diǎn)撥1.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號(hào)；(4)結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差.2.作商法一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大??；(4)結(jié)論.3.函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.4.特殊值法：對(duì)于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)【例1】(1)設(shè)a，b，c，d均為非零實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的為()A.若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，則ab<0B.若a<b<0，則eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b)C.若a>b，c>d，則a－c>b－dD.若a>b>1>d＋1，則loga(b－d)<logb(a－d)(2)(2021屆陜西西安中學(xué)月考)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，給出下列不等式，其中正確的是()A.eq\f(1,a＋b)>eq\f(1,ab)B.|a|＋b>0C.a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)D.lna2>lnb2名師點(diǎn)撥解決此類(lèi)題目常用的三種方法：(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.【訓(xùn)練1】(1)已知a，b，c滿(mǎn)足c＜b＜a，且ac＜0，則下列選項(xiàng)中一定成立的是()A.ab＞ac B.c(b－a)＜0C.cb4＜ab4 D.ac(a－c)＞0(2)下列命題中正確的是()A.若a＞b，c∈R，則ac＞bcB.若a＞b，c＜d，則eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)C.若a＞b，c＞d，則a－c＞b－dD.若ab＞0，a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)考點(diǎn)三不等式及其性質(zhì)的應(yīng)用角度1不等式在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用【例2】某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：(1)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；(2)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù).①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_(kāi)_______.②該小組人數(shù)的最小值為_(kāi)_______.角度2求代數(shù)式的取值范圍【例3】已知－1<x<4，2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________.【變式1】將本例條件改為“－1<x<y<3”，求x－y的取值范圍.【變式2】將本例條件改為“已知－1<x－y<4，2<x＋y<3”，求3x＋2y的取值范圍.名師點(diǎn)撥1.解決有關(guān)不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)抓住關(guān)鍵字詞，例如“要”“必須”“不少于”“大于”等，從而建立相應(yīng)的方程或不等式模型.2.利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.【訓(xùn)練2】(2021·武漢質(zhì)檢)已知實(shí)數(shù)a∈(1，3)，b∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4)))，則eq\f(a,b)的取值范圍是________.課后跟蹤訓(xùn)練【基礎(chǔ)鞏固】一、選擇題1.下列命題中，正確的是()A.若a>b，c>d，則ac>bdB.若ac>bc，則a>bC.若eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，則a<bD.若a>b，c>d，則a－c>b－d2.(2021屆湖北荊州中學(xué)月考)設(shè)b>a>0，c∈R，則下列不等式中不恒成立的是()A.aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2))B.eq\f(1,a)－c>eq\f(1,b)－cC.eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b)D.ac2<bc23.（2021·甘肅張掖市第二中學(xué)高二期中）下列結(jié)論正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，，，則4.（2021·贛州市贛縣第三中學(xué)高一月考）若，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．5.已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是()A.M<N B.M>NC.M＝N D.不確定6.(2021·齊魯名校聯(lián)考)若α，β滿(mǎn)足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是()A.－π＜2α－β＜0 B.－π＜2α－β＜πC.－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2) D.0＜2α－β＜π7.(2019·全國(guó)Ⅱ卷)若a>b，則()A.ln(a－b)>0 B.3a<3bC.a3－b3>0 D.|a|>|b|8.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則()A.c≤3 B.3<c≤6C.6<c≤9 D.c>9二、填空題9（2021·北京高二期末）能夠說(shuō)明“設(shè)a，b，c是任意實(shí)數(shù)．若c＜b＜a，則ab＞ac”是假命題的一組整數(shù)a，b，c的值依次為_(kāi)_______．10.設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________.11.已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則下列命題：①若ab>0，bc－ad>0，則eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；②若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，則bc－ad>0；③若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，則ab>0.其中正確的命題是________(填序號(hào)).12.若0<a<b，且a＋b＝1，則將a，b，eq\f(1,2)，2ab，a2＋b2從小到大排列為_(kāi)_______________.能力提升13.(多選題)(2021·山東新高考模擬)若0＜a＜1，b＞c＞1，則()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(a)＞1