山西省太原市2024屆高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題（教師版）

2023~2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級(jí)期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：上午8:00—10:00）說(shuō)明：本試卷為閉卷筆答，答題時(shí)間120分鐘，滿分150分.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得集合，再利用交集的概念計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，，即，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出，由幾何意義求在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】復(fù)數(shù)滿足，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B3.圓的圓心坐標(biāo)為（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求得圓心坐標(biāo).【詳解】圓可化為，所以圓心坐標(biāo)為.故選：D4.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功舉辦.杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射擊、體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.18 B.24 C.32 D.36【答案】B【解析】【分析】分游泳場(chǎng)有2名志愿者和1名志愿者兩種情況討論，然后利用分類加法原理求解即可.【詳解】先安排游泳場(chǎng)地的志愿者，在除去甲的另三人中選擇，再安排射擊和體操場(chǎng)地的志愿者.當(dāng)游泳場(chǎng)地安排2人時(shí)，則不同的安排方法有種，當(dāng)游泳場(chǎng)地安排1人時(shí)，則不同的安排方法有種，由分類加法原理可知共有種.故選：B.5.已知，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，然后結(jié)合角范圍可得．【詳解】由已知，，∴．故選：C．6.如圖是函數(shù)的部分圖象，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值符號(hào)判定選項(xiàng)即可.【詳解】由圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，且，四個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的定義域均為，對(duì)于A項(xiàng)，，即為偶函數(shù)，而，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、D項(xiàng)，，，顯然兩項(xiàng)均為奇函數(shù)，故B、D錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，即為偶函數(shù)，而，故C正確.故選：C7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的角平分線交線段于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)三角形平分線性質(zhì)求得，利用定義及比例即可求解.【詳解】因?yàn)榈慕瞧椒志€交線段于點(diǎn)，所以，所以由正弦定理得，，又因?yàn)?，，所以，即，不妨設(shè)，如圖：則，解得，所以，由題意，，所以，即.故選：A8.若實(shí)數(shù)，，滿足，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判定，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可判定.【詳解】因?yàn)?，利用換底公式可知，構(gòu)造函數(shù)，顯然時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以由，即，所以，綜上.故選：A【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：觀察式子發(fā)現(xiàn)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判定，即底數(shù)大于1時(shí)，底數(shù)越大圖象在第一象限內(nèi)越平緩，步驟上可以由換底公式計(jì)算；對(duì)于后兩項(xiàng)對(duì)比可以構(gòu)造，通過(guò)其單調(diào)性進(jìn)行對(duì)比即可.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.是等比數(shù)列 B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用等差數(shù)列定義判斷A；求出通項(xiàng)公式判斷B、C；利用分組求和法判斷D.【詳解】由得，又，所以是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，即，，，，顯然，所以不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；，故C錯(cuò)；，故D對(duì)故選：BD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】AC【解析】【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，再結(jié)合正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】依題意，函數(shù)，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的圖象，其關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象和直線后直接判斷A，由圖象確定的關(guān)系及范圍，然后利用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)判斷BC，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷D．【詳解】作出函數(shù)的圖象，，再作出直線，如圖，由得，由對(duì)稱性得，且，，，因此，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又時(shí)，，時(shí)，，因此由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，B錯(cuò)；同理由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，因此，C正確；因?yàn)椋瑒t，D正確．故選：ACD．12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)和分別滿足，，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是C.當(dāng)時(shí)，不存在使得D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用線面平行及三棱錐體積公式可判定A，利用正四棱錐的特征及球的表面積公式可判定B，利用空間向量研究空間位置關(guān)系可判定C，構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)轉(zhuǎn)化為平面中定點(diǎn)到定直線的距離最值問(wèn)題，解三角形計(jì)算即可判定D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，如上圖所示連接，當(dāng)時(shí)是的中點(diǎn)，易知為的中點(diǎn)，所以中，，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，則到平面的距離即到平面距離，顯然三棱錐的底面積是定值，且頂點(diǎn)到底面的距離也是定值，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，如上圖所示，連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，易知四棱錐為正四棱錐，，可知其外接球球心在直線上，設(shè)，外接球半徑為R，則，解之得，所以其外接球的表面積為，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，P與重合，易知，則，所以，，則，符合前提條件，故存在使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，易知點(diǎn)三點(diǎn)在平面上，如圖所示沿著翻折得，E點(diǎn)對(duì)應(yīng)，過(guò)作，垂足為P，交于Q，可知，設(shè)，作交于，易知為的中點(diǎn)且，，易得，所以，由梯形中位線可知：，易知此時(shí)，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：A項(xiàng)可通過(guò)線面平行得點(diǎn)面距離為定值判定即可，B項(xiàng)可根據(jù)正四棱錐、球體的特征及勾股定理計(jì)算即可，C項(xiàng)可直接建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量計(jì)算即可，也可利用正方體體對(duì)角線的特征即平面直接判定，D項(xiàng)轉(zhuǎn)化為平面中點(diǎn)線距離最值問(wèn)題，利用相似三角形線段比例關(guān)系計(jì)算即可.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.雙曲線的漸近線方程為_________．【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)即可求得漸近線方程.【詳解】由雙曲線的相關(guān)知識(shí)可知：，所以焦點(diǎn)在軸雙曲線的漸近線方程為：故答案為：14.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】25【解析】【分析】求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)的系數(shù)后由多項(xiàng)式乘法法則可得，【詳解】中常數(shù)項(xiàng)為1，項(xiàng)為，因此所求常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：25.15.已知非零向量，夾角為，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合二次函數(shù)求最值得解.【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄颗c的夾角為，所以，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.16.已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】方程變形為，令換元后利用函數(shù)的性質(zhì)得出，從而可求解．【詳解】由得，令，則方程化為，設(shè)，則，易知時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，而時(shí)，，因此時(shí)，，又，因此，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩個(gè)變量在兩個(gè)不同的方程中，本題方法是利用換元法，把兩個(gè)方程化為同一種形式，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得出變量的關(guān)系．四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知在等差數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計(jì)算可得，根據(jù)前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系及等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式計(jì)算可得；（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為，由題意得；當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，①，②①－②得，.18.在中，，，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，點(diǎn)在線段上，，，的面積為.（1）當(dāng)，且時(shí)，求；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式及余弦定理計(jì)算即可；（2）利用三角形中線的向量性質(zhì)與數(shù)量積公式、三角形面積公式及余弦定理計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，，，，，，，，；【小問(wèn)2詳解】由題意得，，，，，，，，，，，，，的周長(zhǎng)為.19.“陽(yáng)馬”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，即其底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，.（1）證明：四棱錐是一個(gè)“陽(yáng)馬”；（2）已知點(diǎn)在線段上，且，若二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析;（2）.【解析】【分析】（1）借助線面垂直的相關(guān)知識(shí)證明即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，利用二面角為計(jì)算出，進(jìn)而求出線面角的正切值.【小問(wèn)1詳解】四邊形是正方形，，，，平面，平面，平面，，四邊形是正方形，，，，平面.平面，平面，，，平面，平面，四棱錐是一個(gè)“陽(yáng)馬”；【小問(wèn)2詳解】由（1）得平面，，，，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，，所以，設(shè)，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，令，則，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，令，則，，，或（舍去）.，，平面，直線與底面所成角的正切值為.20.為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校食堂從開學(xué)第1天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞?，那么?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋蝗绻?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?（1）求該同學(xué)開學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩唬?）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）由對(duì)立事件概率、條件概率公式以及全概率公式即可得解.（2）由對(duì)立事件概率、條件概率公式以及全概率公式首先得遞推公式，（i）由等比數(shù)列定義證明即可；（ii）當(dāng)時(shí)，結(jié)合單調(diào)性分奇偶討論即可證明.【小問(wèn)1詳解】設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則“第天選擇面食套餐”，根據(jù)題意，，，，由全概率公式，得；【小問(wèn)2詳解】（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，，，由全概率公式，得，即，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（ii）由（i）可得，當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，.21.已知拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，面積的最小值為4.（1）求拋物線的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線上是否存在定點(diǎn)，使得對(duì)任意的直線，都有.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在定點(diǎn)；理由見解析【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得到，求得，進(jìn)而求得的值，得到拋物線；（2）假設(shè)存在定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理，得到，，結(jié)合，求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由拋物線，可得，準(zhǔn)線為，則，易知直線斜率不為零，設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，可得，所以面積，當(dāng)時(shí)，取最小值，因?yàn)槊娣e的最小值為，所以，解得，所以拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知拋物線，假設(shè)存在定點(diǎn)，易知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，且，，則，，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，，因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)取得的最大整數(shù)值.【答案】22