測量中幾種主要的橢球公式

幾種主要的橢球公式過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面，法截面同橢球面交線叫法截線（或法截弧）。包含橢球面一點(diǎn)的法線，可作無數(shù)多個(gè)法截面，相應(yīng)有無數(shù)多個(gè)法截線。橢球面上的法截線曲率半徑不同于球面上的法截線曲率半徑都等于圓球的半徑，而是不同方向的法截弧的曲率半徑都不相同。子午圈曲率半徑子午橢圓的一部分上取一微分弧長，相應(yīng)地有坐標(biāo)增量，點(diǎn)是微分弧的曲率中心，于是線段及便是子午圈曲率半徑。任意平面曲線的曲率半徑的定義公式為：子午圈曲率半徑公式為：或與緯度有關(guān)．它隨的增大而增大，變化規(guī)律如下表所示：說明在赤道上，小于赤道半徑此間隨緯度的增大而增大在極點(diǎn)上,等于極點(diǎn)曲率半徑卯酉圈曲率半徑過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。在圖中即為過點(diǎn)的卯酉圈。卯酉圈的曲率半徑用表示。為了推導(dǎo)的表達(dá)計(jì)算式，過點(diǎn)作以為中心的平行圈的切線，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故也是卯酉圈在點(diǎn)處的切線。即垂直于。所以是平行圈及卯酉圈在點(diǎn)處的公切線。卯酉圈曲率半徑可用下列兩式表示：任意法截弧的曲率半徑子午法截弧是南北方向，其方位角為0°或180°。卯酉法截弧是東西方向，其方位角為90°或270°?，F(xiàn)在來討論方位角為的任意法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式。任意方向的法截弧的曲率半徑的計(jì)算公式如下：（7-87）平均曲率半徑在實(shí)際際工程應(yīng)用中，根據(jù)測量工作的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)成具有適當(dāng)半徑的球面。取過地面某點(diǎn)的所有方向的平均值來作為這個(gè)球體的半徑是合適的。這個(gè)球面的半徑——平均曲率半徑R：或因此，橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑和卯酉圈曲率半徑的幾何平均值。子午線弧長計(jì)算公式子午橢圓的一半，它的端點(diǎn)與極點(diǎn)相重合；而赤道又把子午線分成對(duì)稱的兩部分。如圖所示，取子午線上某微分弧，令點(diǎn)緯度為，點(diǎn)緯度為，點(diǎn)的子午圈曲率半徑為，于是有：從赤道開始到任意緯度的平行圈之間的弧長可由下列積分求出：式中M可用下式表達(dá)：其中：經(jīng)積分，進(jìn)行整理后得子午線弧長計(jì)算式：為求子午線上兩個(gè)緯度及間的弧長，只需按上式分別算出相應(yīng)的及，而后取差：，該即為所求的弧長?？死鞣蛩够鶛E球子午線弧長計(jì)算公式：1975年國際橢球子午線弧長計(jì)算公式：底點(diǎn)緯度計(jì)算在高斯投影反算時(shí)，已知高斯平面直角坐標(biāo)（X，Y）反求其大地坐標(biāo)（L，B）。首先X當(dāng)作中央子午線上弧長，反求其緯度，此時(shí)的緯度稱為底點(diǎn)緯度或垂直緯度。計(jì)算底點(diǎn)緯度的公式可以采用迭代解法和直接解法。（1）迭代法在克拉索夫斯基橢球上計(jì)算時(shí)，迭代開始時(shí)設(shè)以后每次迭代按下式計(jì)算：重復(fù)迭代直至為止。在1975年國際橢球上計(jì)算時(shí)，也有類似公式。（2）直接解法1975年國際橢球：克拉索夫斯基橢球：大地線橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測地線）另有這樣的定義：“大地線上每點(diǎn)的密切面（無限接近的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含該點(diǎn)的曲面法線”，亦即“大地線上各點(diǎn)的主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間曲面曲線。假如在橢球模型表面,兩點(diǎn)之間，畫出相對(duì)法截線如圖所示，然后在,兩點(diǎn)上各插定一個(gè)大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細(xì)橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間沒有摩擦力，則橡皮筋形成一條曲線，恰好位于相對(duì)法截線之間，這就是一條大地線。由于橡皮筋處于