1.4.1.1空間中點(diǎn)直線和平面的向量表示課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性

課時(shí)7空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示新授課1.能用向量語(yǔ)言描述直線和平面，理解直線的方向向量和平面的法向量.2.掌握平面法向量的求法.任務(wù)1：探究空間直線的向量表示.目標(biāo)一：能用向量語(yǔ)言描述直線和平面，理解直線的方向向量和平面的法向量.(1)如圖，在空間中，固定平面，如何用向量表示空間中的一個(gè)點(diǎn)？

在空間中，取一定點(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P可以用來(lái)表示，我們把稱為點(diǎn)P的位置向量.定點(diǎn)OPp(2)如圖，空間中給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)方向就能唯一確定一條直線l，如何用移動(dòng)的向量表示固定直線l如圖，a是直線l的方向向量，在直線l上取設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn)，由向量共線可知：PaB點(diǎn)P在直線l上充要條件存在實(shí)數(shù)t，使得即A如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，PaAB可以得到：P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使①或②O①②式稱為空間直線l的向量表示.由此可知，空間任意直線由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定.新知講解1.設(shè)A是直線上一點(diǎn)，a是直線l的方向向量，在直線l上取=a，設(shè)P是l上任意一點(diǎn)：(1)點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝ta，即＝t.(2)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝＋ta.(3)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使＝＋t.新知講解2.＝＋ta、＝＋t都稱為空間向量表達(dá)式，空間任意直線都可以由直線上一點(diǎn)及直線的方向向量唯一確定．注意：(1)空間中，一個(gè)向量成為直線l的方向向量，必須具備兩個(gè)條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合．(2)與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)．練一練已知直線l的一個(gè)方向向量m＝(2，-1,3)，且直線l過(guò)A(0,y,3)和B(－1,2,z)兩點(diǎn)，則y－z等于()A.0B.

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C.

D.3A任務(wù)2：探究平面的空間向量表示.(1)一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)方向能確定一條直線，那么如圖所示一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向能確定一個(gè)平面嗎？如圖，設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得＝xa＋yb.(2)如圖所示，如果O不是兩條直線的交點(diǎn)，而是平面外的一點(diǎn)，那么如何用向量表示平面呢？如圖，取定空間任意一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使＝＋x＋y.我們把這個(gè)式子稱為空間平面ABC的向量表示式．由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定．如何證明(2)的結(jié)論？設(shè)取定空間任意一點(diǎn)O，取平面ABC的任意一點(diǎn)P，則，又根據(jù)三角形的加法法則，有,所以＝＋x＋y.(3)如圖所示，直線l⊥α，A∈α，過(guò)一點(diǎn)且與已知直線垂直的平面有多少個(gè)？(4)由前面問(wèn)題可知，一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定方向可以確定一個(gè)平面，如果再減少一個(gè)條件，即一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定方向能否確定一個(gè)平面？如果能，這個(gè)定方向有什么特點(diǎn)？新知講解直線l⊥α，取直線l的方向向量a，稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.如果另有一條直線m⊥α，在直線m上任取向量b,b與a有什么關(guān)系？注意點(diǎn)：(1)平面α的一個(gè)法向量垂直于平面α內(nèi)的所有向量．(2)一個(gè)平面的法向量有無(wú)限多個(gè)，它們相互平行．目標(biāo)二：掌握平面法向量的求法.任務(wù)1：根據(jù)線面垂直以及向量垂直的性質(zhì)，求解平面法向量.已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M為AB中點(diǎn).以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.（1）求平面BCC1B1的一個(gè)法向量．（2）求平面MCA1的一個(gè)法向量．解：（1）因?yàn)閥軸垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一個(gè)法向量.所以設(shè)n2=(x,y,z)是平面MCA1的一個(gè)法向量，則令z=3，則x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一個(gè)法向量.所以（2）因?yàn)锳B=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中點(diǎn)，所以M,C,A1的坐標(biāo)分別為(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此思考：如何求解平面法向量？歸納總結(jié)求解平面法向量的一般步驟：（1）根據(jù)立體幾何中線面垂直的判定定理得到法向量；（2）根據(jù)向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示得到兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立方程組；（3）根據(jù)三元一次不定方程組，得到一個(gè)法向量.練一練

如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，E是PC的中點(diǎn)，求平面EDB的一個(gè)法向量．解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系．依題意可得D(0,0,0)，P(0,0,1)，E，B(1,1,0)，于是于是取x＝1，則y＝-1，z＝1，故平面EDB的一個(gè)法向量為n＝(1,-