數(shù)學(xué)-專項(xiàng)09 算術(shù)平方根與立方根的綜合運(yùn)用（帶答案）

專題09算術(shù)平方根與立方根的綜合運(yùn)用【例題講解】已知4是的算術(shù)平方根，的立方根為．(1)求和的值；(2)求的平方根．【詳解】（1）解：∵4是的算術(shù)平方根，∴，∴，∵的立方根為，∴，∴，∴．（2）解：，64的平方根為，∴的平方根為．【綜合解答】1．已知，那么的立方根是()A．-1 B．1 C．3 D．7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出a，b的值，再代入計(jì)算即可．【詳解】：∵，∴，∴，，∴a=-4，b=3，∴=1，∴的立方根為1，故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和立方根，掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．的值為()

A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的意義分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)有實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】原式；故答案為：A.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握據(jù)算術(shù)平方根和立方根的意義.3．若，，那么等于（

）A．57.68 B．115.36 C．26.776 D．53.552【答案】C【解析】【分析】根據(jù)立方根的運(yùn)算法則即可．【詳解】解：，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是對(duì)進(jìn)行正確的拆分．4．下列計(jì)算正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】

【分析】根據(jù)立方根、算術(shù)平方根、絕對(duì)值等知識(shí)逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】A.，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；B.，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；C.，故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；D.，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了立方根、算術(shù)平方根等知識(shí)，理解立方根、算術(shù)平方根的意義并正確計(jì)算化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．5．一般地，如果（n為正整數(shù)，且），那么x叫做a的n次方根，下列結(jié)論中正確的是（

）A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是C．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2的n次方根隨n的增大而減小 D．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2的n次方根隨n的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意n次方根，列舉出選項(xiàng)中的n次方根，然后逐項(xiàng)分析即可得出答案．【詳解】A.，16的4次方根是，故不符合題意；B.，，32的5次方根是2，故不符合題意；C.設(shè)則且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2的n次方根隨n的增大而減小，故符合題意；

D.由的判斷可得：錯(cuò)誤，故不符合題意．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了新概念問(wèn)題，n次方根根據(jù)題意逐項(xiàng)分析，得出正確的結(jié)論，在分析的過(guò)程中注意x是否為負(fù)數(shù),通過(guò)簡(jiǎn)單舉例驗(yàn)證選項(xiàng)是解題關(guān)鍵．6．已知a的算術(shù)平方根是12.3，b的立方根是，x的平方根是，y的立方根是456，則x和y分別是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，x的算術(shù)平方根和-b的立方根，然后根據(jù)x的算術(shù)平方根和a的算術(shù)平方根即可求出x與a的關(guān)系，根據(jù)-b的立方根和y的立方根關(guān)系即可求出y與b的關(guān)系．【詳解】解：∵a的算術(shù)平方根是，b的立方根是，x的平方根是，y的立方根是456，∴x的算術(shù)平方根是，-b的立方根是∵=×，456=10×∴=，y=103（-b）即故選C．【點(diǎn)睛】此題考查的是平方根、算術(shù)平方根和立方根，根據(jù)兩數(shù)算術(shù)平方根的關(guān)系推出這兩數(shù)的關(guān)系和兩數(shù)立方根的關(guān)系推出這兩數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)后為_(kāi)__________．【答案】8【解析】

【分析】先根據(jù)數(shù)軸的定義可得，從而可得，再計(jì)算算術(shù)平方根和立方根即可得．【詳解】由數(shù)軸的定義得：，則，所以，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸、算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根是解題關(guān)鍵．8．已知，a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，求＝_____．【答案】0．【解析】【分析】根據(jù)a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)求出ab＝1，c+d＝0，然后代入求值即可．【詳解】∵a、b互為倒數(shù)，∴ab＝1，∵c、d互為相反數(shù)，∴c+d＝0，∴＝﹣1+0+1＝0．故答案為：0．【點(diǎn)睛】此題考查倒數(shù)以及相反數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．9．已知的平方根是±3，b+2的立方根是2，則的算術(shù)平方根是___________【答案】1【解析】【分析】先根據(jù)平方根，立方根的定義列出關(guān)于a、b的方程，求出a、b后再代入進(jìn)行計(jì)算求出

的值，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，2a-1=（±3）2=9，b+2=23,∴a=5,b=6,∴b-a=1，∴的算術(shù)平方根是1，故答案是：1.【點(diǎn)睛】本題考查了平方根，立方根，算術(shù)平方根的定義，列式求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．10．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算術(shù)平方根___．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)2a?1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出，解之求出a、b的值，再利用算術(shù)平方根定義得出答案．【詳解】解：∵2a?1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，∴，解得a＝5，b＝2，∴a＋b＝7，則a＋b的算術(shù)平方根為．【點(diǎn)睛】本題主要考查立方根、平方根、算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握立方根、平方根、算術(shù)平方根的定義．11．已知2a-1的平方根是±3，3a+b-9的立方根是2，c是的整數(shù)部分，則a+2b+c的算術(shù)平方根為_(kāi)____．【答案】4【解析】【分析】

由題意首先根據(jù)平方根與立方根的概念可得2a-1與3a+b-9的值，進(jìn)而可得a、b的值，然后估計(jì)的大小，可得c的值，進(jìn)而可得a+2b+c，根據(jù)算術(shù)平方根的求法可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，可得2a-1=9，3a+b-9=8；解得：a=5，b=2；又有7＜＜8，可得c=7；則a+2b+c=16；則16的算術(shù)平方根為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義及無(wú)理數(shù)的估算能力，熟練掌握二次根式的基本運(yùn)算技能，靈活應(yīng)用．“夾逼法”是估算的一般方法是解題的關(guān)鍵．12．若的立方根是A，的算術(shù)平方根為B，則A＋B＝________．【答案】【解析】【詳解】因?yàn)?，所以A=，B=，則A+B=，故答案為.三、解答題13．(1)．(2)已知∶2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值．(3)已知a為的整數(shù)部分，b-3是400的算術(shù)平方根，求．【答案】(1)；(2)m+2n=13；(3)=6【解析】【分析】(1)首先進(jìn)行開(kāi)方和乘方運(yùn)算，再進(jìn)行有理數(shù)的加減運(yùn)算，即可求得；(2)根據(jù)平方根的定義得出方程，解方程即可分別求得m、n的值，據(jù)此即可解答；(3)根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算和算術(shù)平方根的定義，即可求得a、b的值，據(jù)此即可解答．

【詳解】解：(1)(2)2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，，3m+n+1=25，解得m=7，n=3，；(3)，，的整數(shù)部分為13，，又b-3是400的算術(shù)平方根，400的算術(shù)平方根是20，，解得b=23，．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減混合運(yùn)算，平方根和算術(shù)平方根的定義，無(wú)理數(shù)的估算，代數(shù)式求值問(wèn)題，熟練掌握和運(yùn)用各運(yùn)算法則和方法是解決本題的關(guān)鍵．14．已知4是的算術(shù)平方根，的立方根是2．C是的整數(shù)部分．(1)求a，b，c的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義列出式子，解出a，b，c的值即可．（2）將（1）中所求數(shù)值代入，并計(jì)算平方根即可．(1)解：由題有，

解得：；．∵，∴，∴，即：，，；(2)（2）解：把，，，代入得，，∴的平方根是．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，平方根，立方根的定義，無(wú)理數(shù)的整數(shù)部分，熟練理解平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義是解題的關(guān)鍵．15．（1）計(jì)算：①②

（2）求方程中的的值①②【答案】（1）①；②（2）①或；②【解析】【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根以及立方根進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根以及立方根解方程即可．【詳解】（1）①解：原式＝

②解：原式＝（2）①解得或②解得【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根以及立方根，掌握算術(shù)平方根以及立方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)就叫的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．立方根：如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根．16．（1）一個(gè)正數(shù)m的兩個(gè)平方根分別為和，求這個(gè)正數(shù)m．（2）已知的立方根是3，的算術(shù)平方根是4，c是的整數(shù)部分，求的平方根．（3），求的立方根．【答案】（1）49；（2）；（3）－1【解析】【分析】（1）根據(jù)一個(gè)正數(shù)的平方根互為相反數(shù)列式子求解即可；（2）根據(jù)立方根和算術(shù)平方根的定義及無(wú)理數(shù)的估算列出關(guān)于a、b、c的式子求值，再計(jì)算平方根即可；（3）先根據(jù)二次根式有意義的條件求出b的值，從而得出a的值，再計(jì)算兩數(shù)的和，從而得出立方根．

【詳解】解：（1）解：依題意：，解得，，．（2）解依題意：，，解得，，，16的平方根是（3）解：依題意，得，代入，得，的立方根是－1．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根和立方根的綜合，熟練掌握含義列出式子是解題的關(guān)鍵．17．觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問(wèn)題：（1）1.414，14.14，141.4…0.1732，1.732，17.32…由此可見(jiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向移動(dòng)位；（2）已知2.236，7.071，則，；（3）1，10，100…小數(shù)點(diǎn)變化的規(guī)律是：．（4）已知2.154，4.642，則，．【答案】（1）兩，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移動(dòng)一位；（4）21.54，﹣0.4642【解析】【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出即可；（2）利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）歸納總結(jié)得到規(guī)律，寫(xiě)出即可；（4）利用得出的規(guī)律計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）1.414，14，141.4…0.1732，1.732，17.32…

由此可見(jiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，（2）已知2.236，7.071，則0.7071，22.36，（3）1，10，100…小數(shù)點(diǎn)變化的規(guī)律是：被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移動(dòng)一位；（4）∵2.154，4.642，∴21.54，0.4642．故答案為：（1）兩；一；（2）0.7071；22.36；（3）被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移動(dòng)一位；（4）21.54；﹣0.4642【點(diǎn)睛】此題考查了立方根，以及算術(shù)平方根，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．18．觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問(wèn)題：（1），，，……，，，……由此可見(jiàn)，被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向右移動(dòng)______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向______移動(dòng)______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點(diǎn)的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．【答案】（1）兩；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被開(kāi)方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點(diǎn)向右（左）移動(dòng)一位；（4）-0.01【解析】【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出即可；（2）利用得出的規(guī)律計(jì)算即