18.2.1 矩形 課件 2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.1矩形第1課時(shí)矩形的性質(zhì)觀察下面圖形,長方形在生活中無處不在.長方形跟我們前面學(xué)習(xí)的平行四邊形有什么關(guān)系？導(dǎo)入新課探究新知矩形活動(dòng)1：利用一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形教具演示,使平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變化,請(qǐng)注意觀察.

你能說出下面四邊形是什么圖形嗎？平行四邊形矩形有一個(gè)角是直角矩形是特殊的平行四邊形.定義：平行四邊形不一定是矩形.知識(shí)歸納有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.也叫做長方形.矩形是常見的圖形，門窗框、書桌面、教科書封面、地磚等都有矩形的形象。探究新知因?yàn)榫匦问瞧叫兴倪呅?，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì)．由于它有一個(gè)角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些性質(zhì)呢？思考猜想1：矩形的四個(gè)角都是直角．猜想2：矩形的對(duì)角線相等．命題1：矩形的四個(gè)角都是直角．已知：如圖，四邊形ABCD是矩形求證：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.ABCD證明：∵四邊形ABCD是矩形，又矩形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C

，∠B=∠D，∠A+∠B=180°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.即矩形的四個(gè)角都是直角.已知：如圖，四邊形ABCD是矩形，

ABCD證明：在矩形ABCD中∵∠ABC=∠DCB=90°又∵AB=DC，BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=BD，即矩形的對(duì)角線相等.命題2:矩形的對(duì)角線相等求證：AC=BD.知識(shí)歸納矩形除了具有平行四邊形所有性質(zhì)，還具有的性質(zhì)有：幾何語言描述：ABCDO矩形的四個(gè)角都是直角矩形的對(duì)角線相等在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與DB相交于點(diǎn)O.∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=DB.例題與練習(xí)例1如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB=60°，AB=4．求矩形對(duì)角線的長．A

B

C

D

O

∴AC與BD相等且互相平分，∴OA=OB=OC=OD，∵∠AOB=60°，解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OA=AB=4cm∴矩形的對(duì)角線長AC=BD=2OA=8.矩形的對(duì)角線相等且互相平分A

B

C

D

O

活動(dòng)：如圖，一張矩形紙片，畫出兩條對(duì)角線，沿著對(duì)角線AC剪去一半.BCOA問題Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關(guān)系？猜想：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.試給出數(shù)學(xué)證明.探究新知OCBAD證明:延長BO至D,

使OD=BO,連接AD、DC.∵AO=OC,BO=OD，∵∠ABC=90°,∴平行四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中線.求證:BO=

AC?∴BO=BD=AC.性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.證一證歸納∴四邊形ABCD是平行四邊形.1.矩形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它有幾條對(duì)稱軸？解：矩形是軸對(duì)稱圖形；練習(xí)ABCDEFGH.O有兩條對(duì)稱軸.知識(shí)歸納邊角對(duì)角線對(duì)稱性平行四邊形矩形對(duì)邊平行且相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)對(duì)角線互相平分中心對(duì)稱圖形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角為直角對(duì)角線互相平分且相等中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形這是矩形所特有的性質(zhì)例題與練習(xí)例2如圖，在矩形ABCD中，以頂點(diǎn)B為圓心，邊BC長為半徑作弧，交AD邊于點(diǎn)E，連接BE，CE，過點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F.求證：BF＝AE.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴△BFC≌△EAB(AAS)，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A＝90°.由作圖可知BC＝EB.在△BFC和△EAB中，∴BF＝AE.例3如圖，在△ABC中，AD是高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)．(1)若AB＝10，AC＝8，求四邊形AEDF的周長；解：∵AD是△ABC的高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，四邊形AEDF的周長為AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；解：∵DE＝AE，DF＝AF，(2)求證：EF垂直平分AD.∴E，F(xiàn)在線段AD的垂直平分線上，∴EF垂直平分AD.

當(dāng)已知條件含有線段的中點(diǎn)、直角三角形的條件時(shí)，可聯(lián)想直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進(jìn)行求解．歸納練習(xí)2．在矩形ABCD中，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周長為24cm，則AB的長為(

)A．1cm

B．2cm

C．2.5cm

D．4cmD3．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且EF＝ED，EF⊥ED.求證：AE平分∠BAD.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD∥BC，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠FED＝90°.∴∠BEF＋∠CED＝90°，∴∠BFE＝∠CED.∴△EBF≌△DCE(AAS)，在△EBF和△DCE中，∴BE＝CD，∵AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA.∴∠BAE＝∠EAD，課堂小結(jié)矩形的相關(guān)概念及性質(zhì)具有平行四邊行的一切性質(zhì)四個(gè)內(nèi)角都是直角，兩條對(duì)角線互相平分且相等軸對(duì)稱圖形有兩條對(duì)稱軸直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十八章平行四邊形18.2特殊的平行四邊形18.2.1矩形第2課時(shí)矩形的判定導(dǎo)入新課問題1矩形的定義是什么？有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.問題2矩形有哪些性質(zhì)？矩形邊：角：對(duì)角線：對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等一位很有名望的木工師傅，招收了兩名徒弟．一天，師傅有事外出，兩徒弟就自己在家練習(xí)用兩塊四邊形的廢料各做了一扇矩形式的門，完事之后，兩人都說對(duì)方的門不是矩形，而自己的是矩形．甲的理由是：“我用直尺量這個(gè)門的兩條對(duì)角線，發(fā)現(xiàn)它們的長度相等，所以我這個(gè)四邊形門就是矩形．”乙的理由是：“我用角尺量我的門任意三個(gè)角，發(fā)現(xiàn)它們都是直角．所以我這個(gè)四邊形門就是矩形．”根據(jù)他們的對(duì)話，你能肯定誰的門一定是矩形．探究新知

上節(jié)課我們已經(jīng)知道“矩形的對(duì)角線相等”，反過來，小明猜想對(duì)角線相等的四邊形是矩形，你覺得對(duì)嗎？我猜想：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.不對(duì)，矩形是特殊的平行四邊形，所以它的對(duì)角線不僅相等且平分.你能證明這一猜想嗎？不對(duì)，等腰梯形的對(duì)角線也相等.已知：如圖,在□ABCD中,AC,DB是它的兩條對(duì)角線,

AC=DB.求證：□ABCD是矩形.ABCD證一證證明：∵AB=DC,BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB,∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,∴∠ABC=90°,∴□

ABCD是矩形（矩形的定義）.矩形的判定定理：幾何語言描述：ABCD知識(shí)歸納對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.在平行四邊形ABCD中，∵AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形.思考數(shù)學(xué)來源于生活，事實(shí)上工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對(duì)邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線長度，如果對(duì)角線長相等，則窗框一定是矩形，你現(xiàn)在知道為什么了嗎？對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.問題1

上節(jié)課我們研究了矩形的四個(gè)角，知道它們都是直角，它的逆命題是什么？成立嗎？逆命題：四個(gè)角是直角的四邊形是矩形.成立問題2

至少有幾個(gè)角是直角的四邊形是矩形？ABDC(有一個(gè)角是直角)ABDC(有二個(gè)角是直角)ABDC(有三個(gè)角是直角)猜測(cè)：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.探究新知已知：如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°,ABCD證一證∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，∴AD∥BC,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是矩形.矩形的判定定理：幾何語言描述：ABCD知識(shí)歸納有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.在四邊形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四邊形ABCD是矩形.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.（對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形.）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.方法1：方法2：方法3：知識(shí)歸納矩形的幾種判定方法例題與練習(xí)例1如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度數(shù)．

A

B

C

D

O解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD.又∵OA=OD，∴AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°.又∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°.1.八年級(jí)（3）班同學(xué)要在廣場(chǎng)上布置一個(gè)矩形的花壇，計(jì)劃用紅花擺成兩條對(duì)角線.如果一條對(duì)角線用了38盆紅花，還需要從花房運(yùn)來多少盆紅花？為什么？如果一條對(duì)角線用了49盆呢？練習(xí)解：還需要從花房運(yùn)來38盆“紅花”.如果一條對(duì)角線用了49盆，那么應(yīng)從花房運(yùn)來48盆“紅花”.因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，但由于49盆是奇數(shù)，因此對(duì)角線交點(diǎn)應(yīng)已擺放花盆，所以，另一條對(duì)角線上的花盆數(shù)應(yīng)少1盆.因?yàn)椋匦蔚膶?duì)角線相等，所以另一條對(duì)角線也需38盆“紅花”.且不應(yīng)除去兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，這是因?yàn)?8盆是偶數(shù)，因此對(duì)較線的交點(diǎn)沒有擺花盆.2.如圖，

ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△OAB是等邊三角形，且AB=4.求

ABCD的面積.

解：∵△OAB是等邊三角形且四邊形

ABCD的對(duì)角線AC、BD互相平分∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4∵∠AOB=60°∴∠AOD=120°

又AO=DO，∴∠ADC=90°.∴四邊形ABCD是矩形，AC=8，DC=4，AD=，∴平行四邊形ABCD的面積為.例2如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長OA到點(diǎn)N，使ON＝OB，再延長OC到點(diǎn)M，使CM＝AN.求證：四邊形NDMB為矩形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，OD＝OB.∵AN＝CM，ON＝OB，∴ON＝OM＝OB＝OD，∴MN＝BD，∴四邊形NDMB為矩形．例3如圖，?ABCD各內(nèi)角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.求證：四邊形EFGH是矩形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠H＝90°.同理，∠HEF＝∠F＝90°，∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°.∵AH，BH分別平分∠DAB，∠ABC，∴四邊形EFGH