2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第14講 復(fù)合函數(shù)與第15講 抽象函數(shù)-原卷版 57

第14講復(fù)合函數(shù)通關(guān)一、復(fù)合函數(shù)定義設(shè)且函數(shù)的值域?yàn)槎x域的子集，那么通過的聯(lián)系而得到自變量x的函數(shù)，稱為是x的復(fù)合函數(shù)，記為通關(guān)二、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(同增異減)對(duì)于復(fù)合函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù)，為外層函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性符合下表：外層函數(shù)單調(diào)性內(nèi)層函數(shù)單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性增增增減減減增減減增結(jié)論一、復(fù)合函數(shù)的求值與求參1.復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計(jì)算的步驟：求函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值.2.已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求x的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出x的值.【例1】設(shè)函數(shù)，則_______；若，則實(shí)數(shù)的值為_______.【變式】若函數(shù)，則函數(shù)的值域是————結(jié)論二、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1.若，函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間.2.若，函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)減（增）區(qū)間.【例2】函數(shù)的值域是（） A. B. C. D.【變式】如果函數(shù)在區(qū)間上的最大值14，則的值為（） A. B.1 C.3 D.或3結(jié)論三、與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性1.若，函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)增（減）區(qū)間.2.若，函數(shù)的單調(diào)減（增）區(qū)間即函數(shù)的單調(diào)減（增）區(qū)間.【例3】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的最小值為（） A.2 B.1 C. D.【變式】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（） A. B. C. D.結(jié)論四、復(fù)合函數(shù)的奇偶性（內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外）若則奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)【例】4、若函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則一定成立的是（） A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)是奇函數(shù) C.函數(shù)是奇函數(shù) D.函數(shù)是奇函數(shù)【變式】已知為R上的函數(shù)，其中函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，則（） A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)為奇函數(shù) C.函數(shù)為偶函數(shù) D.函數(shù)為奇函數(shù)結(jié)論五、復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)，令，1.作出的圖像；2.解方程，求出對(duì)應(yīng)的解；3.結(jié)合的值和的圖像，令，將所求的個(gè)數(shù)匯總后即為的根的個(gè)數(shù).【例5】已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（） A.2 B.3 C.4 D.5【變式】函數(shù)的圖像如圖所示，則方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（） A.3 B.6 C.9 D.12第15講抽象函數(shù)通關(guān)一、抽象函數(shù)模型抽象模型原函數(shù)通關(guān)二、抽象函數(shù)的單調(diào)性抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷,關(guān)鍵是根據(jù)題目所給的性質(zhì)和符號(hào)條件,構(gòu)造相應(yīng)的關(guān)于的函數(shù)值,從而比較出與的大小,同時(shí)還要注意,等變形技巧.通關(guān)三、抽象函數(shù)的奇偶性抽象函數(shù)奇偶性的判斷往往借助于賦值法和定義,對(duì)于已給恒等式中出現(xiàn)的兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量,利用賦值的方法將其替換成都出現(xiàn)的形式,在恒等式中僅有這兩種形式或是具體函數(shù)值的形式,而不會(huì)出現(xiàn)新的函數(shù)結(jié)構(gòu).通關(guān)四、抽象函數(shù)的注意事項(xiàng)解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域；二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號(hào)“”前的“負(fù)號(hào)”；三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“".注意定義域優(yōu)先原則,賦值法（常量賦值和變量賦值,換元法.結(jié)論一、型已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有,且當(dāng)時(shí),.求在上的值域.【變式】函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)有,且當(dāng)時(shí),有.(1)求證:在上為增函數(shù)；(2)若,解不等式.結(jié)論二、型【例】2已知函數(shù)的定義域是,當(dāng)時(shí),,且.(1)求的值；(2)證明:在定義域上是增函數(shù).【變式】的定義域?yàn)?且對(duì)一切都有,當(dāng)時(shí),有.求的值；(2)判斷的單調(diào)性并證明；(3)若,解不等式.結(jié)論三、型【例3】設(shè)函數(shù)定義在上,當(dāng)時(shí),,且對(duì)任意,有,當(dāng)時(shí),.(1)證明：；(2)證明：在上是增函數(shù).【變式】已知對(duì)一切,滿足,且當(dāng)時(shí),.求證：時(shí),在上為減函數(shù).結(jié)論四、型【例4】給出四