2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第35講 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和-解析版86

第35講等差數(shù)列的前項(xiàng)和通關(guān)一、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式公式一證明:(倒序相加法)①,②,由①+②得,因?yàn)?所以,由此得公式二:證明:將代入可得.通關(guān)二、前項(xiàng)和與函數(shù)關(guān)系由,令,則;為常數(shù)).當(dāng)即時(shí),是關(guān)于的一個(gè)一次函數(shù);它的圖像是在直線上的一群孤立的點(diǎn).(2)當(dāng)即時(shí),是關(guān)于的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù);它的圖像是在拋物線上的一群孤立的點(diǎn).①當(dāng)時(shí),有最小值;②當(dāng)時(shí),有最大值.通關(guān)三、（為奇數(shù)）公式：（為奇數(shù)）證明：因?yàn)?，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，就是前項(xiàng)的中項(xiàng)，所以（為奇數(shù)）要點(diǎn)詮釋?zhuān)?.是這項(xiàng)的中項(xiàng)，其中必須為奇數(shù)，中項(xiàng)的下標(biāo)為，所以（為奇數(shù)），為便于記憶，公式記為：（為奇數(shù)），中項(xiàng)可以臨時(shí)推算出來(lái)2.公式的下標(biāo)推算方法：（1）等差中項(xiàng)推算法：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，向所為奇數(shù)向是首項(xiàng)和尾項(xiàng)的中項(xiàng)，所以下標(biāo)是；（2）定義推算法，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)項(xiàng)，必須是數(shù)列中正中間的一項(xiàng)，他前后項(xiàng)數(shù)應(yīng)該一樣多，所以，先從總項(xiàng)中去掉中項(xiàng)這一項(xiàng)，還一項(xiàng)，還有項(xiàng)，其前面有一半數(shù)量的項(xiàng)，即中項(xiàng)前面有項(xiàng)，所以中項(xiàng)排在第項(xiàng)的位置，所以中項(xiàng)的下標(biāo)為.結(jié)論一、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及其變形（與首末兩項(xiàng)等距離兩項(xiàng)之和）【例1】）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則________【答案】25【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得即整理可得，解得，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，所以【變式】已知是公差為1的等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，，則（） A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭枪顬?得等差，，所以，解得，則，故選B結(jié)論二、前項(xiàng)和構(gòu)造等差數(shù)列若是等差數(shù)列，則，所以也成等差數(shù)列，其首項(xiàng)與首項(xiàng)相同，公差是公差的【例2】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則（） A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】解法一:由題意知所以公差，故選C解法二:等差數(shù)列，也為等差數(shù)列，即，代入得，故選C【變式】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則取得最大值時(shí)的值為（） A. B. C. D.或【答案】B【解析】解法一:由為等差數(shù)列得，由得，令得，所以取得最大值時(shí)的值為，故選B解法二:由為等差數(shù)列得，由得，令得，所以取得最大值時(shí)的值為，故選B結(jié)論三、相同項(xiàng)數(shù)的和構(gòu)造等差數(shù)列等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則也成等差數(shù)列，且公差，注意是第一個(gè)項(xiàng)和，第二個(gè)項(xiàng)和，，即每項(xiàng)和為一段.【例3】一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和為30，前30項(xiàng)的和為10，求前40項(xiàng)的和.【解析】解法一:設(shè)其首項(xiàng)為，公差為，則解得，故解法二:易知數(shù)列成等差數(shù)列，設(shè)其公差為,則前3項(xiàng)得和為即所以解法三:設(shè)則解得所以解法四:因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)，所以也為等差數(shù)列，點(diǎn)在一條直線上，即：三點(diǎn)共線，于是，將代入解之得解法五:因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)，所以也為等差數(shù)列，設(shè)，將代入，解得解法六:因?yàn)橛炙越夥ㄆ?利用性質(zhì)，可得解法八:利用性質(zhì)當(dāng)時(shí)，由于，可得【變式】設(shè)數(shù)列為等差數(shù)，它的前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為，則下列等式中恒成立的是（） A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為，則由等差數(shù)列的性質(zhì)得也成等差數(shù)列，所以，又因?yàn)閷⒋氲?，故選D結(jié)論四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)關(guān)系若為等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，則【例4】已知等差數(shù)列中，，則項(xiàng)數(shù)為（） A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)楣蔬xC【變式】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（） A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，解之得：故選C結(jié)論五、前n項(xiàng)和比值與通項(xiàng)比值關(guān)系已知兩等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，則【例5】已知兩等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，且，則_________【解析】解法一:因?yàn)榻夥ǘ?由解法三令差數(shù)列前項(xiàng)和分別為【變式】等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為和，若，則（）【答案】【解析】結(jié)論六、等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)1.若項(xiàng)數(shù)為，則2.若項(xiàng)數(shù)為，則【例6】在項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則等于（） A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列有項(xiàng)，所以利用性質(zhì)可得，故選B.【變式】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為377，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且前項(xiàng)和中，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)和之比為，則中間項(xiàng)為.【答案】【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，所以利用性質(zhì)可得，解的，所以中間項(xiàng)為，因?yàn)榻Y(jié)論七、等差數(shù)列前項(xiàng)和最大、最小值問(wèn)題1.當(dāng)時(shí)，解不等式組可得取到最大值時(shí)的值；當(dāng)時(shí)，解不等式組可得取到最小值時(shí)的值；2.找到數(shù)列中的正負(fù)（或負(fù)正）轉(zhuǎn)化項(xiàng)，即令，求出，若為整數(shù)（即存在為零項(xiàng)），則答案為兩個(gè)：；若不為整數(shù)（即不存在為零項(xiàng)），答案為一個(gè)，即取整（或高斯）函數(shù)3.利用（二次函數(shù)）來(lái)求最值，但注意取整數(shù)，不一定取對(duì)稱軸，所以要看對(duì)稱軸，當(dāng)對(duì)稱軸是時(shí)，答案有兩個(gè)，其余為一個(gè).【例7】已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和分別為，滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④最小，其中一定正確的結(jié)論是（） A.①③ B.①③④ C.②③④ D.①②【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，整理得，即，①正確.,②不正確.,③正確.可能大于，也可能小于，④不正確，其中正確得結(jié)論是①③，故選A【變式】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，則時(shí)的最大值是（） A.2017 B.2018 C.4033 D.4034【答案】D【解析】，可知時(shí)的最大值是故選D結(jié)論八、數(shù)列的前n項(xiàng)和的求解1.求數(shù)列的前項(xiàng)和的關(guān)鍵時(shí)分清哪些項(xiàng)為正的，哪些為負(fù)的，最終轉(zhuǎn)化為去掉絕對(duì)值符號(hào)后的數(shù)列及進(jìn)行求和.2.當(dāng)?shù)母黜?xiàng)都為非負(fù)數(shù)時(shí)，的前項(xiàng)和就等于的前項(xiàng)和；當(dāng)從某項(xiàng)開(kāi)始各項(xiàng)都為負(fù)數(shù)（或正數(shù)）時(shí)，求的前項(xiàng)和要充分利用的前項(xiàng)和公式。這樣能簡(jiǎn)化解題過(guò)程。3.當(dāng)求的前項(xiàng)和表達(dá)式需分情況討論時(shí)，其結(jié)果應(yīng)該用分段函數(shù)表示?！纠?】已知等差數(shù)列的各項(xiàng)都為整數(shù)，且，則=（） A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由各項(xiàng)都為整數(shù)得，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，