2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第45講 空間平行關(guān)系-解析版6

第45講空間平行關(guān)系通關(guān)一、直線與平面平行的判定定理自然語(yǔ)言:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡(jiǎn)稱:線線平行，則線面平行.圖形語(yǔ)言:如圖所示.符號(hào)語(yǔ)言:.要點(diǎn)詮釋:在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.通關(guān)二、直線與平面平行的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言:一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的平面與此平面的交線與該直線平行.簡(jiǎn)稱:線面平行，則線線平行.圖形語(yǔ)言:如圖所示.符號(hào)語(yǔ)言:.要點(diǎn)詮釋:（1）的判定定理和性質(zhì)定理使用的區(qū)別:如果結(jié)論中有，則要用判定定理，在內(nèi)找與平行的直線;若條件中有，則要用性質(zhì)定理，找(或作)過(guò)且與相交的平面.（2）當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任一點(diǎn)到平面的距離叫作直線與平面的距離.（3）一條直線平行于一個(gè)平面，它可以與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，但這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線可能平行，也可能異面.平面和平面垂直的判定定理的兩個(gè)條件，缺一不可.通關(guān)三、平面與平面平行的判定定理自然語(yǔ)言：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.簡(jiǎn)稱：線面平行，則面面平行.圖形語(yǔ)言：如圖所示.符號(hào)語(yǔ)言：要點(diǎn)詮釋:1.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面相交或平行.2.要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此“面面平行”問(wèn)題最終可轉(zhuǎn)化為“線線平行”問(wèn)題.通關(guān)四、平面與平面平行的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.簡(jiǎn)稱:面面平行，則線線平行.圖形語(yǔ)言:如圖所示.符號(hào)語(yǔ)言:.要點(diǎn)詮釋:兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面.(2)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等.(3)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.(5)如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行.通關(guān)四、平面與平面垂直的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言:兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.圖形語(yǔ)言:如圖所示.符號(hào)語(yǔ)言:，=CD，AB，ABCDAB.結(jié)論一、線線平行思考途徑:1.轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn);2.轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行;3.轉(zhuǎn)化為線面平行;4.轉(zhuǎn)化為線面垂直;5.轉(zhuǎn)化為面面平行.支持定理:配圖助記:【例1】如圖，四邊形ABCD是矩形，P面ABCD，過(guò)BC作平面BCEF交AP于F，交DP于E，求證:四邊形BCEF是梯形.【解析】證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以BC//AD，又AD平面PAD，所以BC//平面PAD.又因?yàn)锽C平面BCFE，平面BCFE∩平面PAD=EF，所以BC//EF.又因?yàn)锽C//AD，所以EF//AD，顯然EF≠AD，又AD=BC，所以EF≠BC，所以四邊形BCEF是梯形.【變式】已知E，F(xiàn)，G，H為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn).（1）若E，F(xiàn)，G，H都分別是所在邊的中點(diǎn)，求證:四邊形EFCH為平行四邊形;（2）若EH//FG，求證:EH//BD.【解析】證明（1）因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，所以EH//BD且EH=BD，同理有FC//BD，F(xiàn)G=BD，所以EH//FG且EH=FG，故四邊形EFGH為平行四邊形.因?yàn)镋H/|FG，EH面BCD，F(xiàn)G面BCD，所以EH//面BCD.又因?yàn)镋H面ABD，面BCD∩面ABD=BD，所以EH//BD.結(jié)論二、線面平行思考途徑:1.轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn);2.轉(zhuǎn)化為線線平行;3.轉(zhuǎn)化為面面平行.支持定理:配圖助記:【例2】如圖，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn).求證:AF//平面PCE.【解析】證法一(線線平行線面平行)取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.由F為PD中點(diǎn)，知FG//CD且FG=CD.又由已知有AECD，所以FGAE.所以四邊形AEGF是平行四邊形，所以AF//EC.又AF平面PCE，EG平面PCE，所以AF//平面PCE.證法二(面面平行線面平行)取DC中點(diǎn)M，連結(jié)FM，AF，AM.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，E，M分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以AM//EC.因?yàn)镕，M分別是PD，CD的中點(diǎn)，所以FM//PC.又FM∩AM=M，AM面AFM，F(xiàn)M面AFM，所以面AFM//面PCE.因?yàn)锳F平面AFM，所以AF//平面PCE.【變式】如圖，三棱柱ABC-A，BC中，D是BC的中點(diǎn).求證:A1C//平面AB1D.【解析】證法一(線線平行線面平行)連結(jié)A1B，記A1B∩AB1=E，連接DE.因?yàn)锳BC-A1B1C1是三棱柱，所以四邊形A1ABB1是平行四邊形，所以E是A1B的中點(diǎn).又D是BC的中點(diǎn)，所以DE//A1C.因?yàn)镈E平面AB1D，A1C平面AB1D，所以A1C//平面AB1D.證法二(面面平行線面平行)取B1C1，中點(diǎn)M，連結(jié)A1M，CM，DM.因?yàn)锳BC一A1B1C1是三棱柱，所以MC//B1D.因?yàn)镸，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，所以MD//A1A，MD=A1A，所以四邊形AA1MD是平行四邊形，有A1M//AD.又A1M∩MC=M，且A1M面A1MC，且MC面A1MC，所以面A1MC//面AB1D.因?yàn)锳1面A1MC，所以A1C//平面AB1D.結(jié)論三、面面平行思考途徑:1.轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn);2.轉(zhuǎn)化為線面平行;3.轉(zhuǎn)化為線面垂直.支持定理:配圖助記:【例3】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點(diǎn).求證:平面AMN//平面EFDB.【解析】證明連結(jié)MF，因?yàn)镸，F(xiàn)是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，四邊形A1B1C1D1為正方形，所以MFA1D1，又A1D1AD，所以MFAD，所以四邊形AMFD是平行四邊形，所以AM//DF.因?yàn)镈F面EFDB，AM面EFDB，所以AM//面EFDB.同理由ANBE，可得AN//面EFDB，又AM，AN平面AMN，AM∩AN=A，所以平面AMN//平面EFDB.【變式】已知長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F(xiàn)分別是AA'，CC'的中點(diǎn).求證:平面BDF//平面B'D'E.【解析】證明因?yàn)锽B'//DD'，BB'=DD'，所以四邊形BDD'B'為平行四邊形，故有BD//B'D'.取BB'的中點(diǎn)G，連結(jié)AG，F(xiàn)G.因?yàn)锳E//B'G