江西省宜春市豐城市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題(含答案)

江西省宜春市豐城市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題本試卷總分值為150分 考試時(shí)長(zhǎng)為120分鐘考試范圍：必修一、必修二一、單選題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1．已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根．若，則()A． B．1 C． D．22．直線的傾斜角為()A． B． C． D．3．設(shè)，則()A． B． C． D．4．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為()A．1 B． C． D．5．條件是條件的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．非充分又非必要條件6．已知，則圓與直線的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定7．在正方體中，點(diǎn)為棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，則與平面所成角的取值范圍為()A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)滿足：，則的最大值為()A． B． C． D．二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)9．設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡可能是()A．圓 B．線段 C．橢圓 D．直線10．已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為64，則下列說(shuō)法正確的是()A． B．展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為32C．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為540 D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第四項(xiàng)11．2023年國(guó)外某智庫(kù)發(fā)布尖端技術(shù)研究國(guó)家競(jìng)爭(zhēng)力排名，在極超音速和水下無(wú)人機(jī)等23個(gè)領(lǐng)域中，中國(guó)在其中19個(gè)領(lǐng)域領(lǐng)先．某科技博主從這19個(gè)領(lǐng)域中選取了A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)領(lǐng)域，準(zhǔn)備在2024年1月1—6日對(duì)公眾進(jìn)行介紹，每天隨機(jī)介紹其中一個(gè)領(lǐng)域，且每個(gè)領(lǐng)域只在其中一天介紹，則()A．A，B在后3天介紹的方法種數(shù)為144 B．C，D相隔一天介紹的方法種數(shù)為96C．不在第一天，不在最后一天介紹的方法種數(shù)為504 D．在B，C之前介紹的概率為12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的最小正周期是 D．在上有最小值，且最小值為三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．若直線與直線垂直，則______.14．已知雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離是，則的漸近線方程為______.15．如圖，將1，2，3，4四個(gè)數(shù)字填在6個(gè)“”中，每個(gè)“”中填一個(gè)數(shù)字，有線段連接______種．16．已知為橢圓：上一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，設(shè)，，若，則該橢圓的離心率______.四、解答題(本大題共6小題，共70分，應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)在中，角所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知．(1)求角的大??；(2)若，求的值．18．(本小題滿分12分)豐城市A，B兩校組織了一次數(shù)學(xué)聯(lián)賽（總分120分)，兩校各自挑選了數(shù)學(xué)成績(jī)最好的100名學(xué)生參賽，成績(jī)不低于115分定義為優(yōu)秀，賽后統(tǒng)計(jì)了所有參賽學(xué)生的成績(jī)(都在區(qū)間內(nèi)),將這些數(shù)據(jù)分成4組：.得到如下兩個(gè)學(xué)校的頻率分布直方圖:(1)聯(lián)賽結(jié)束后兩校將根據(jù)學(xué)生的成績(jī)發(fā)放獎(jiǎng)學(xué)金，已知獎(jiǎng)學(xué)金(單位:百元）與其成績(jī)t的關(guān)系為若以獎(jiǎng)學(xué)金的總額為判斷依據(jù)，本次聯(lián)賽A、B兩校哪所學(xué)校實(shí)力更強(qiáng)?(2)校規(guī)定：按照筆試成績(jī)從高到低，選拔的參賽學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的專業(yè)知識(shí)深度培養(yǎng)，將當(dāng)選者稱為“數(shù)學(xué)達(dá)人”，按照校規(guī)定及該校頻率分布直方圖，估計(jì)校“數(shù)學(xué)達(dá)人”的分?jǐn)?shù)至少達(dá)到多少分?19．(本小題滿分12分)如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面底面ABCD，且分別為棱PC，AD的中點(diǎn).(1)求證：面PBC(2)求點(diǎn)N到平面MBD的距離．20．(本小題滿分12分)已知圓的圓心是拋物線的焦點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)是弦AB的中點(diǎn)，求直線的方程．21．(本小題滿分12分)如圖1，在等邊中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)且滿足，記，將沿DE翻折到的位置并使得平面平面DECB，連接MB，MC得到圖2，點(diǎn)為MC的中點(diǎn).(1)當(dāng)平面MBD時(shí)，求的值；(2)試探究：隨著值的變化，二面角的大小是否改變?如果改變，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不改變，請(qǐng)求出二面角的正弦值大?。?2．(本小題滿分12分)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為是該橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且，若該粗圓的離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，求的面積的最大值．豐城重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期高一期末考試數(shù)學(xué)答案1. 2.B 3. 4. 5. 6. 7. 8.D9. 10. 11.ACD 12.13.2 14. 15.264 16.17.(1)因?yàn)?根據(jù)正弦定理可得在中,,所以有,則有,即,又,所以.(2)根據(jù)余弦定理,,所以.根據(jù)正弦定理,,則有,所以.18.(1)依題意,A校學(xué)生獲得的獎(jiǎng)學(xué)金的總額為:(百元）(元）校學(xué)生獲得的獎(jiǎng)學(xué)金的總額為:(百元）(元）因?yàn)?所以校實(shí)力更強(qiáng).(2)由樣本頻率分布直方圖可知,參賽學(xué)生成績(jī)位于的頻率為0.2,參賽學(xué)生成績(jī)位于的頻率為0.35,這兩組頻率之和為,所以所求分?jǐn)?shù)在,不妨設(shè)“數(shù)學(xué)達(dá)人”的分?jǐn)?shù)至少為,則,解得,所以估計(jì)?！皵?shù)學(xué)達(dá)人”的分?jǐn)?shù)至少達(dá)到111.43分.19.(1)在中,易知,且是PC的中點(diǎn),故,且在正方形ABCD中,,面面ABCD,面面,面面ABCD,故面PCD,易知面PCD,故,又,綜上面PBC(2)如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)平行于DA的直線為軸,以O(shè)C,OP所在直線分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,.設(shè)平面MBD的法向量為,由,得,取,得.所以,又,所以點(diǎn)到平面MBD的距離20.(1)圓x2+y2+2x=0的方程可化為,故圓心的坐標(biāo)為.設(shè)拋物線的方程為,所以,所以,所以拋物線的方程為.(2)設(shè),則兩式相減,得,即,所以直線的斜率.因?yàn)辄c(diǎn)是AB的中點(diǎn),所以,所以.所以直線的方程為,即.21.(1)取MB的中點(diǎn)為,連接DP,PN,因?yàn)?所以,又,所以,即N,E,D,P四點(diǎn)共面,又平面平面NEDP,平面平面,所以,即NEDP為平行四邊形,所以,則,即.(2)取DE的中點(diǎn),連接MO,則,因?yàn)槠矫嫫矫鍰ECB,平面平面,且,所以平面DECB,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,所以,設(shè)平面BMD的法向量為,則,即,令,即.又平面EMD的法向量,所以,即隨著值的變化,二面角的大小不變.且.所以二面角的正弦值為.22.(1)由題可得,,所以因?yàn)闄E圓的