5.2.1三角函數(shù)的概念（五大題型）（原卷版）

5．2．1三角函數(shù)的概念【題型歸納目錄】題型一：三角函數(shù)的定義題型二：判斷三角函數(shù)值的符號(hào)題型三：確定角所在象限題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用題型五：圓上的動(dòng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與半徑是的圓交于點(diǎn)，則，那么：（1）做的正弦，記做，即；（2）叫做的余弦，記做，即；（3）叫做的正切，記做，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）三角函數(shù)的值與點(diǎn)在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，那么，，．（2）三角函數(shù)符號(hào)是一個(gè)整體，離開的、、等是沒有意義的，它們表示的是一個(gè)比值，而不是、、與的積．知識(shí)點(diǎn)二：三角函數(shù)在各象限的符號(hào)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：在記憶上述三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．知識(shí)點(diǎn)詮釋：口訣的含義是在第一象限各三角函數(shù)值為正；在第二象限正弦值為正，在第三象限正切值為正，在第四象限余弦值為正．知識(shí)點(diǎn)三：誘導(dǎo)公式一由三角函數(shù)的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到誘導(dǎo)公式一：，其中注意：利用誘導(dǎo)公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求（或）范圍內(nèi)角的三角函數(shù)值．知識(shí)點(diǎn)四、特殊角的三角函數(shù)值0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°0010100010【典型例題】題型一：三角函數(shù)的定義例1．（23·24上·北京·階段練習(xí)）已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2例2．（23·24上·河西·階段練習(xí)）若角的終邊過點(diǎn)，則的值是（

）A． B．2 C． D．例3．（23·24上·陜西·階段練習(xí)）已知是角的終邊上一點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．變式1．（23·24上·榆林·階段練習(xí)）已知，終邊上有點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．變式2．（23·24上·晉中·階段練習(xí)）若角的終邊上有一點(diǎn)，且，則（

）A．4 B． C．1 D．變式3．（23·24上·渝中·階段練習(xí)）角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，則（

）A． B． C． D．變式4．（22·23下·眉山·期中）已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求值的策略（1）已知角的終邊在直線上求的三角函數(shù)值時(shí)，常用的解題方法有以下兩種：方法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．方法二：在的終邊上任選一點(diǎn)，P到原點(diǎn)的距離為（）．則，．已知的終邊求的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便．（2）當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．（3）若終邊在直線上時(shí)，因?yàn)榻堑慕K邊是射線，應(yīng)分兩種情況處理．題型二：判斷三角函數(shù)值的符號(hào)例4．（22·23·宜賓·三模）已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，其中a是非零實(shí)數(shù)，則下列三角函數(shù)值恒為正的是（

）A． B． C． D．例5．（22·23下·沈陽·期末）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則下列各式一定為正的是（

）A． B． C． D．例6．（20·21上·喀什·階段練習(xí)）已知為第三象限角，那么下列正確的是（），A． B． C． D．變式5．（21·22上·山西·階段練習(xí)）下列各式的值為負(fù)的是（

）A． B． C． D．變式6．（21·22·全國(guó)·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，，則下列各式的值可能大于0的是（

）A． B． C． D．變式7．（18·19·貴陽·期末）下列三角函數(shù)值為正數(shù)的是（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)也可以用下面的口訣記憶：“一全正二正弦，三正切四余弦”，意為：第一象限各個(gè)三角函數(shù)均為正；第二象限只有正弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第三象限正切為正，其余兩個(gè)為負(fù)；第四象限余弦為正，其余兩個(gè)為負(fù)．題型三：確定角所在象限例7．（20·21上·江西·期末）已知．則角所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例8．（20·21上·湖州·階段練習(xí)）我們知道，在直角坐標(biāo)系中，角的終邊在第幾象限，這個(gè)角就是第幾象限角．已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限例9．（18·19下·西安·階段練習(xí)）若，則所在的象限是A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三變式8．（19·20·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）若,且,則角的終邊所在象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式9．（18·19上·哈爾濱·期末）若，則所在象限是A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限變式10．（17·18下·山西·期中）如果點(diǎn)位于第四象限，那么角所在的象限是A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式11．（16·17上·豐臺(tái)·期末）如果點(diǎn)位于第四象限，那么角所在的象限是（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式12．（22·23上·大同·期末）點(diǎn)所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式13．（22·23上·安徽·階段練習(xí)）設(shè)角是第一象限角，且滿足，則的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【方法技巧與總結(jié)】確定角所在象限的步驟（1）判斷該角的某些三角函數(shù)值的符號(hào)；（2）根據(jù)角的三角函數(shù)值的符號(hào)，確定角所在象限．題型四：誘導(dǎo)公式（一）的應(yīng)用例10．（21·22下·深圳·階段練習(xí)）．例11．（23·24上·徐州·階段練習(xí)）的值為．例12．（21·22上·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知是角的終邊上一點(diǎn)，則=.（變式14．（22·23上·西安·期末）．變式15．（20·21下·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）已知，其中a、b、α、β為常數(shù)．若，則.變式16．（22·23下·西城·階段練習(xí)）的值為變式17．（22·23下·浦東新·階段練習(xí)）.【方法技巧與總結(jié)】利用誘導(dǎo)公式一化簡(jiǎn)或求值的步驟（1）將已知角化為（為整數(shù)，）或（為整數(shù)，）的形式．（2）將原三角函數(shù)值化為角的同名三角函數(shù)值．（3）借助特殊角的三角函數(shù)值或任意角的三角函數(shù)的定義達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的．題型五：圓上的動(dòng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)點(diǎn)例13．（20·21上·益陽·期末）在直角坐標(biāo)系中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在半徑為2的圓O上，以圓O與x正半軸的交點(diǎn)為起點(diǎn)，沿逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，每轉(zhuǎn)一圈，則后的長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．例14．（22·23下·順義·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，單位圓上一點(diǎn)P從點(diǎn)（0，1）出發(fā)，逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn)，則Q的坐標(biāo)為（

）A． B．（）C．（，） D．（－，）例15．（22·23下·忻州·開學(xué)考試）在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式18．（21·22上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，滾珠，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿圓形軌道勻速運(yùn)動(dòng)，滾珠按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，滾珠按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，相遇后發(fā)生碰撞，各自按照原來的速度大小反向運(yùn)動(dòng)．(1)求滾珠，第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間及相遇點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求從出發(fā)到第二次相遇滾珠，各自滾動(dòng)的路程．變式19．（19·20上·深圳·期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)P，Q從點(diǎn)出發(fā)，沿圓周運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P按逆時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，點(diǎn)Q按順時(shí)針方向每秒鐘轉(zhuǎn)弧度，求P，Q第一次相遇時(shí)所用的時(shí)間?相遇點(diǎn)的坐標(biāo)及P，Q點(diǎn)各自走過的弧長(zhǎng).【方法技巧與總結(jié)】利用三角函數(shù)的定義求解【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，則“角的終邊過點(diǎn)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知角α的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．我們學(xué)過度量角有角度制與弧度制，最近，有學(xué)者提出用“面度制”度量角，因?yàn)樵诎霃讲煌耐膱A中，同樣的圓心角所對(duì)扇形的面積與半徑平方之比是常數(shù)，從而稱這個(gè)常數(shù)為該角的面度數(shù)，這種度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角的面度數(shù)為，則角的正弦值是（

）A． B． C． D．6．已知角，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．已知是定義在有限實(shí)數(shù)集A上的函數(shù)，且，若函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則的值不可能是（

）A．0 B． C． D．8．質(zhì)點(diǎn)P和Q在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓周上順時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).P的角速度為3rad/s，起點(diǎn)為射線與圓的交點(diǎn)；Q的角速度為5rad/s，起點(diǎn)為圓與x軸正半軸交點(diǎn)，則當(dāng)質(zhì)點(diǎn)Q與P第二次相遇時(shí)，Q的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．角終邊在第二象限或第四象限的充要條件是B．圓的一條弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦對(duì)的圓心角是C．經(jīng)過4小時(shí)時(shí)針轉(zhuǎn)了D．若角與終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則10．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，若,則下列各式的符號(hào)不能確定的是(

).A． B． C． D．11．求函數(shù)可能取值，其中

（

）A．16 B． C．10 D．1012．若，，則可以是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角三、填空題13．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在軸的正半軸上，終邊上一點(diǎn)，則.14．已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且θ與α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則15．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則滿足的一個(gè)角的值可以是．16．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后經(jīng)過點(diǎn)，則．四、解答題17．在單位圓中，確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：(1)；(2)；(3)；(4)．18．已知角的終邊在函數(shù)的圖象上，求，和．19．設(shè)α是銳角，利用單位圓證明下列不等式：(1)；(2)．20．已知，且有意義．(1)試判斷角所在的象限；(2)若角的終