第三章圓錐曲線的方程知識(shí)點(diǎn)匯總高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第三章圓錐曲線的方程第一部分橢圓一、橢圓的定義第三章圓錐曲線的方程第一部分橢圓把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這叫做橢圓的焦點(diǎn)，叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為．(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)>|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為．(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為．(3)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝常數(shù)<|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不存在．二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)圖形焦點(diǎn)與與a，b，c的關(guān)系c2＝三、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)|B1B2|＝，長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|＝焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2F1，F(xiàn)2焦距|F1F2|＝2c范圍對(duì)稱性對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為頂點(diǎn)離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)2.離心率的性質(zhì)四、直線與橢圓的位置關(guān)系1.直線y＝kx＋m與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置關(guān)系：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程.位置關(guān)系解的個(gè)數(shù)Δ的取值相交解Δ0相切解Δ0相離解Δ02.弦長(zhǎng)公式當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的長(zhǎng)點(diǎn)，則弦公式的常見形式有如下幾種：(1)|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|；(2)|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)；(3)|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])；(4)|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])（k≠0）.3.中點(diǎn)弦斜率公式：設(shè)M(x0,y0)為橢圓x2a2+y2b2結(jié)論：焦點(diǎn)在x軸上:x2焦點(diǎn)在y軸上:y2a4.焦半徑：焦點(diǎn)弦：通徑：第二部分雙曲線第二部分雙曲線一、雙曲線的定義1.定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的等于非零常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．焦點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)；焦距：的距離，表示為|F1F2|.2.雙曲線就是下列點(diǎn)的集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0<2a<|F1F2|}．注意：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值為非零常數(shù)，即||MF1|－|MF2||＝2a。當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，軌跡是；當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，軌跡是；當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，軌跡．二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2F1，F(xiàn)2焦距|F1F2|=a，b，c的關(guān)系c2＝三、焦點(diǎn)三角形問(wèn)題雙曲線上一點(diǎn)P與其兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2①定義：②余弦定理：③面積公式：；；四、雙曲線的幾何性質(zhì)1.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍或，y∈或，x∈對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)軸實(shí)軸：線段，長(zhǎng)：；虛軸：線段，長(zhǎng)：；半實(shí)軸長(zhǎng)：，半虛軸長(zhǎng)：離心率e＝∈漸近線2.等軸雙曲線(1)定義：等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線．(2)性質(zhì)：①一般方程形式：.②漸近線方程：.③離心率e＝.注意：具有相同漸近線的雙曲線y＝±eq\f(b,a)x的雙曲線可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0，λ?R)當(dāng)λ＞0時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)λ＜0時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上；3.焦點(diǎn)到漸近線的距離為。五、直線與雙曲線的位置關(guān)系1.直線y＝kx＋m與雙曲線eq\f(x2,a2)eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的位置關(guān)系：聯(lián)立y＝kx＋mx2a2?y2①當(dāng)b2a2k=0，即k=±eq\f(b,a)時(shí)，因?yàn)閙≠0，所以直線l與雙曲線，有.設(shè)直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2.設(shè)直線l與雙曲線交于兩點(diǎn)A(x1,yⅠ.?＞0時(shí)，直線l與雙曲線，有個(gè)公共點(diǎn)Ⅱ.?=0時(shí)，直線l與雙曲線，有個(gè)公共點(diǎn)Ⅲ.?＜0時(shí)，直線l與雙曲線，有個(gè)公共點(diǎn)2.中點(diǎn)弦斜率公式：設(shè)P(x0,y0)為雙曲線x2a2?y2b結(jié)論：焦點(diǎn)在x軸上:x焦點(diǎn)在y軸上:y2a3.雙曲線的通徑：第三部分拋物線第三部分拋物線一、拋物線的定義1.定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l()的的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．(1)焦點(diǎn)：定點(diǎn)F.(2)準(zhǔn)線：定直線l.2．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾種形式p的幾何意義是的距離．三、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)1.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：圖象范圍對(duì)稱軸軸軸頂點(diǎn)O(0,0)離心率e＝1圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)2．拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上任意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段焦半徑公式P(x0，y0)為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)．①若拋物線y2＝2px(p>0)，則|PF|＝；②若拋物線y2＝－2px(p>0)，則|PF|＝；③若拋物線x2＝2py(p>0)，則|PF|＝；④若拋物線x2＝－2py(p>0)，則|PF|＝；3.拋物線的通徑四、直線與拋物線位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l：y＝kx＋b，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.①若k2＝0，此時(shí)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，該直線平行于拋物線的或．②若k2≠0，當(dāng)Δ