2020年全國中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：《圓》解答題（二）含答案

2020年全國中考數(shù)學(xué)真題分類精選匯編：《圓》解答題(二)

含答案解析

1.(2020?廣州)如圖，。。為等邊△ABC的外接圓，半徑為2,點(diǎn)。在劣弧窟上運(yùn)動(不與

點(diǎn)、A,8重合)，連接D4,DB,DC.

(1)求證：0c是NAOB的平分線；

(2)四邊形AOBC的面積S是線段OC的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果

不是，請說明理由；

(3)若點(diǎn)M,N分別在線段CA,C8上運(yùn)動(不含端點(diǎn))，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動到每一

個確定的位置，△OMN的周長有最小值r,隨著點(diǎn)。的運(yùn)動，r的值會發(fā)生變化，求所有r

值中的最大值.

2.(2020?株洲)AB是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接4C、BC,直線MN過點(diǎn)C,滿

足NBCM=NBAC=a.

(1)如圖①，求證：直線是。。的切線;

(2)如圖②，點(diǎn)。在線段BC上，過點(diǎn)力作于點(diǎn)H,直線。H交。。于點(diǎn)E、F,

連接AF并延長交直線MN于點(diǎn)G,連接CE,且C￡=S,若。。的半徑為1,cosa=3,求

34

AG?ED的值.

3.(2020?孝感)已知△ABC內(nèi)接于。。，AB=AC,ZABC的平分線與。。交于點(diǎn)D,與AC

交于點(diǎn)E,連接CD并延長與。0過點(diǎn)4的切線交于點(diǎn)F,記/24C=a.

(1)如圖1,若a=60°,

①直接寫出更的值為；

DC

②當(dāng)。。的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為；

(2)如圖2,若a<60°,且12=2,DE=4,求BE的長.

圖1圖2

4.(2020?鄂州)如圖所示：。0與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)C,與AC、AB分別交于點(diǎn)。、E,

DE//OB.DC是。。的直徑.連接。E,過C作CG〃OE交。。于G,連接力G、EC,DG

與EC交于點(diǎn)F.

(1)求證：直線AB與。。相切;

(2)求證：

(3)若￡F=3,tan/ACE=」寸，過A作4V〃CE交。。于M、N兩點(diǎn)(M在線段AN上),

2

求4N的長.

N

5.(2020?煙臺)如圖，在口ABCZ)中，ZD=60°,對角線AC_LBC,。。經(jīng)過點(diǎn)A,B,與AC

交于點(diǎn)連接A。并延長與OO交于點(diǎn)F,與CB的延長線交于點(diǎn)E,AB=EB.

(1)求證：EC是。。的切線；

(2)若AO=2y?,求金的長(結(jié)果保留it).

6.(2020?婁底)如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的上，8。平分NABC交于點(diǎn)￡),過。作

8c的垂線，垂足為E.

(1)求證：QE與。。相切；

(2)若AB=5,BE=4,求20的長；

(3)請用線段48、BE表示CE的長，并說明理由.

7.(2020?恩施州)如圖1,AB是00的直徑，直線AM與?0相切于點(diǎn)A,直線BN與。。相

切于點(diǎn)8,點(diǎn)C(異于點(diǎn)A)在AM上，點(diǎn)力在。。上，且S=C4,延長CO與BN相交

于點(diǎn)E,連接4。并延長交BN于點(diǎn)尸.

圖2

(1)求證：CE是OO的切線;

(2)求證：BE=EF；

(3)如圖2,連接EO并延長與分別相交于點(diǎn)G、H,連接8".若AB=6,AC=4,求

tanZBHE.

8.(2020?廣東)如圖1,在四邊形ABCD中，AD//BC,ND4B=90°,AB是的直徑，CO

平分/BCD

(1)求證：直線C。與。。相切；

(2)如圖2,記(1)中的切點(diǎn)為E,P為優(yōu)弧窟上一點(diǎn)，40=1,BC=2.求tanNAPE的

值.

9.(2020?城海)如圖，△ABC的外角/A4M的平分線與它的外接圓相交于點(diǎn)E,連接BE,CE,

過點(diǎn)E作E/〃BC,交CAT于點(diǎn)。.

求證：(1)BE=CE；

(2)EF為。0的切線.

M

10.如圖，AC為。。的直徑，AP為。。的切線，M是AP上一點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線與OO交于

點(diǎn)8,。兩點(diǎn)，與AC交于點(diǎn)E,連接AB,AD,AB=BE.

(1)求證：AB—BM-.

(2)若48=3,40=2魚，求。。的半徑.

11.(2020?宜昌)如圖，在四邊形A8CZ)中，AD//BC,AB=2口,N48C=60°,過點(diǎn)B的

00與邊A8,8c分別交于E,F兩點(diǎn).OG_LBC,垂足為G,OG=a.連接。8,OE,OF.

AD

備用圖

(1)若BF=2“，試判斷ABO尸的形狀，并說明理由;

(2)若BE=BF,求證：與4力相切于點(diǎn)A.

12.(2020?湘西州)如圖，AB是。0的直徑，AC是。。的切線，BC交。。于點(diǎn)E.

(1)若。為AC的中點(diǎn)，證明：QE是。。的切線;

(2)若CA=6,CE=3.6,求。0的半徑OA的長.

13.(2020?濰坊)如圖，AB為。。的直徑，射線AO交OO于點(diǎn)F,點(diǎn)C為劣弧前的中點(diǎn)，過

點(diǎn)C作CELAO,垂足為E,連接AC.

(1)求證：CE是。。的切線：

(2)若NBAC=30°,AB=4,求陰影部分的面積.

14.(2020?營口)如圖，ZsABC中，NACB=90°,80為△A8C的角平分線，以點(diǎn)。為圓心,

OC為半徑作。0與線段AC交于點(diǎn)D.

(1)求證：AB為。。的切線；

(2)若tanA=3,AD=2,求8。的長.

4

15.(2020?青海)如圖，已知AB是。0的直徑，直線2C與。0相切于點(diǎn)8,過點(diǎn)A作AO〃

OC交。。于點(diǎn)。，連接CD

(1)求證：C。是。0的切線.

(2)若AC=4,直徑AB=12,求線段BC的長.

16.(2020?鹽城)如圖，。0是aABC的外接圓，AB是的直徑，ZDCA=ZB.

(1)求證：CD是。。的切線;

(2)若￡>EJ_A8,垂足為E,DE交AC于點(diǎn)F,求證：△￡)(7/是等腰三角形.

17.(2020?張家界)如圖，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,以48為直徑作。O,過點(diǎn)C作直

線C。交AB的延長線于點(diǎn)。，使NBCO=/A.

(1)求證：CO為。。的切線；

(2)若平分NAOC,且分別交AC,BC于點(diǎn)E,F,當(dāng)CE=2時;求EF的長.

18.(2020?郴州)如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AB是。。的直徑.直線/與。0相切于點(diǎn)4,在

/上取一點(diǎn)。使得D4=OC,線段OC,AB的延長線交于點(diǎn)E.

(1)求證：直線。C是。。的切線；

(2)若BC=2,/C4B=30°,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留n).

19.(2020?常州)如圖1,。/與直線。相離，過圓心/作直線〃的垂線，垂足為"且交。/

于產(chǎn)、。兩點(diǎn)(。在P、H之間).我們把點(diǎn)P稱為。/關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”,把PQ-PH

的值稱為0/關(guān)于直線。的“特征數(shù)”.

(1)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,4).半徑為1的00與兩坐標(biāo)

軸交于點(diǎn)A、B、C、D.

①過點(diǎn)E畫垂直于y軸的直線機(jī)，則。0關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)(填“A”、“8”、

“C”或"D”),。。關(guān)于直線機(jī)的“特征數(shù)”為；

②若直線〃的函數(shù)表達(dá)式為)，=心+4.求。。關(guān)于直線〃的“特征數(shù)”；

(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/經(jīng)過點(diǎn)4),點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以尸為

圓心，&為半徑作OF.若OF與直線/相離，點(diǎn)N(-1,0)是OF關(guān)于直線/的“遠(yuǎn)點(diǎn)”.且

。/關(guān)于直線/的“特征數(shù)”是4代，求直線/的函數(shù)表達(dá)式.

20.(2020?長沙)如圖，半徑為4的。0中，弦AB的長度為4次，點(diǎn)C是劣弧窟上的一個動

點(diǎn)，點(diǎn)。是弦AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弦8c的中點(diǎn)，連接￡>E、OD、OE.

(1)求NAOB的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)C沿著劣弧源從點(diǎn)A開始，逆時針運(yùn)動到點(diǎn)B時，求△ODE的外心P所經(jīng)過的

路徑的長度；

(3)分別記△ODE,△□)后的面積為Si,S2,當(dāng)SJ-S22=21時，求弦AC的長度.

21.(2020?臨沂)己知OO1的半徑為“，03的半徑為，2.以。1為圓心，以ri+r2的長為半

徑畫弧，再以線段0102的中點(diǎn)尸為圓心，以上。1。的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A,連接

2

O1A,OiA,O1A交。01于點(diǎn)B,過點(diǎn)8作。2A的平行線8c交。1。于點(diǎn)C.

(1)求證：是03的切線；

(2)若門=2,r2=l,013=6,求陰影部分的面積.

B

22.（2020?山西）如圖，四邊形0ABe是平行四邊形，以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑的。。與AB

相切于點(diǎn)B,與A。相交于點(diǎn)￡>,AO的延長線交。。于點(diǎn)E,連接EB交OC于點(diǎn)F.求NC

和NE的度數(shù).

23.（2020?廣元）在RtZXABC中，NACB=90°,。4平分NBAC交BC于點(diǎn)O,以。為圓心,

OC長為半徑作圓交BC于點(diǎn)D.

(1)如圖I,求證：4B為。。的切線;

(2)如圖2,AB與。。相切于點(diǎn)E,連接CE交OA于點(diǎn)F.

①試判斷線段OA與CE的關(guān)系，并說明理由.

②若OF：FC=1：2,OC=3,求tanB的值.

24.（2020?湘潭）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作

DE1AC,垂足為點(diǎn)E.

(1)求證：△ABD絲△AC。；

(2)判斷直線。E與OO的位置關(guān)系，并說明理由.

25.(2020?武漢)如圖，在RtzMBC中，ZABC=90°,以4B為直徑的。。交AC于點(diǎn)

AE與過點(diǎn)。的切線互相垂直，垂足為E.

(1)求證：A。平分NBAE；

(2)若CD=DE,求sin/BAC的值.

26.(2020?隨州)如圖，在RtAABC中，ZACB=90Q,以斜邊A8上的中線CD為直徑作。0,

與BC交于點(diǎn)M,與AB的另一個交點(diǎn)為E,過/作MNL48,垂足為N.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若。。的直徑為5,sin8=3,求ED的長.

27.(2020?江西)已知NMPN的兩邊分別與相切于點(diǎn)A,B,。0的半徑為八

(1)如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)A,B之間的優(yōu)弧上，NMPW=80°,求N4CB的度數(shù)；

(2)如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動，當(dāng)PC最大時，要使四邊形AP8C為菱形，/APB的度數(shù)應(yīng)

為多少？請說明理由；

（3）若PC交。。于點(diǎn)。，求第（2）問中對應(yīng)的陰影部分的周長（用含，的式子表示）.

（1）下面四邊形是垂等四邊形的是；（填序號）

①平行四邊形；②矩形；③菱形：④正方形

（2）圖形判定：如圖1,在四邊形A8C力中，AD//BC,AC1.BD,過點(diǎn)。作垂線交8c

的延長線于點(diǎn)E,且/Z）BC=45°,證明：四邊形ABC。是垂等四邊形.

（3）由菱形面積公式易知性質(zhì)：垂等四邊形的面積等于兩條對角線乘積的一半.應(yīng)用：在

圖2中，面積為24的垂等四邊形ABC。內(nèi)接于。。中，/BCZ）=60°.求。。的半徑.

29.（2020?深圳）如圖，AB為0。的直徑，點(diǎn)C在。。上，40與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂

足為。.連接BC并延長，交4。的延長線于點(diǎn)E.

（1）求證：AE=AB-,

（2）若AB=10,BC=6,求CD的長.

30.(2020?北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。。的半徑為1,A,B為外兩點(diǎn)，AB=\.

給出如下定義：平移線段AB,得到。。的弦Ab(4,B'分別為點(diǎn)A,8的對應(yīng)點(diǎn))，線段

AH長度的最小值稱為線段AB到的“平移距離”.

(1)如圖，平移線段AB得到OO的長度為1的弦PP2和尸3尸4,則這兩條弦的位置關(guān)系

是;在點(diǎn)Pl,P2,P3,P4中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)的線段的長度等于線段AB到

的“平移距離”；

(2)若點(diǎn)A,B都在直線y=亞+2仃匕記線段AB到。。的“平移距離”為力，求力

的最小值；

(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3),記線段AB到。。的“平移距離”為42,直接寫出“2的取

2

31.(2020?咸寧)如圖，在Rt^ABC中，NC=90°,點(diǎn)。在AC上，以。4為半徑的半圓O

交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作半圓。的切線。F,交BC于點(diǎn)尸.

(1)求證：BF=DF；

(2)若4C=4,BC=3,CF=\,求半圓。的半徑長.

32.(2020?陜西)如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，NBAC=75°,NABC=45°.連接AO

并延長，交。。于點(diǎn)。，連接8。.過點(diǎn)C作。。的切線，與BA的延長線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：AD//EC；

(2)若AB=12,求線段EC的長.

E

33.（2020?天水）如圖，在△ABC中，/C=90°,AO平分/BAC交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)。在AB

上，以點(diǎn)。為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)￡>,分別交AC、AB于點(diǎn)E、F.

（1）試判斷直線3c與。0的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若8。=2百，A8=6,求陰影部分的面積（結(jié)果保留n）.

34.（2020?泰州）如圖，在。0中，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，弦A。、PC互相垂直，垂足為M,BC

分別與A。、PO相交于點(diǎn)E、N,連接8。、MN.

（1）求證：N為8E的中點(diǎn).

（2）若OO的半徑為8,定的度數(shù)為90°,求線段MN的長.

35.（2020?內(nèi)江）如圖，AB是00的直徑，C是。。上一點(diǎn)，OD_L8c于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作。0

的切線，交0。的延長線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.

（1）求證：BE是。。的切線；

(2)設(shè)0E交OO于點(diǎn)F,若DF=2,BC=4j§,求線段EF的長;

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

F

36.(2020?哈爾濱)已知：。。是AABC的外接圓，為。。的直徑，AD±BC,垂足為E,

連接80,延長80交AC于點(diǎn)凡

(1)如圖I,求證：NBFC=3NCAD；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作￡>G〃8尸交。0于點(diǎn)G,點(diǎn)”為。G的中點(diǎn)，連接OH,求證：BE

=OH；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接CG,若DG=DE,/\AOF的面積為2亞，求線段

37.(2020?咸寧)定義：有一組對角互余的四邊形叫做對余四邊形.

理解：

(1)若四邊形ABC。是對余四邊形，則NA與/C的度數(shù)之和為；

證明：

(2)如圖1,MN是(3。的直徑，點(diǎn)A,B,C在00上，AM,CN相交于點(diǎn)￡>.

求證：四邊形ABC。是對余四邊形；

探究：

(3)如圖2,在對余四邊形ABCO中，AB=BC,ZABC=60°,探究線段AQ,CDflBD

之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并說明理由.

D

(1)如圖1,在Rt/XABC中，NACB=90°,AC>BC,NACB的平分線交4B于點(diǎn)D過

點(diǎn)。分別作。￡，4。。/，8。.垂足分別為￡,凡則圖1中與線段CE相等的線段是.

問題探究

(2)如圖2,AB是半圓。的直徑，AB=8.尸是窟匕-點(diǎn)，且奇=26，連接AP,BP.Z

AP8的平分線交AB于點(diǎn)C,過點(diǎn)C分別作CELAP,CF±BP,垂足分別為E,F,求線段

C尸的長.

問題解決

(3)如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動中心”的設(shè)計(jì)示意圖.己知。0的直徑48=70小點(diǎn)C

在。。上，且CA=C&P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長，交OO于點(diǎn)D連接A￡>,BD.過

點(diǎn)P分別作PELAZ),PF1BD,垂足分別為E,F.按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEQF內(nèi)部為室內(nèi)

活動區(qū)，陰影部分是戶外活動區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)AP的長為x(%),陰影部分

的面積為yCm2).

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)A尸的長度為30“時，整體布局比較合理.試

求當(dāng)AP=30,〃時.室內(nèi)活動區(qū)(四邊形PEDQ的面積.

ADBAC0

圖1圖2圖3

39.(2020?金昌)如圖，。0是△ABC的外接圓,其切線AE與直徑BD的延長線相交于點(diǎn)E,

且AE=AB.

(1)求/ACB的度數(shù)；

(2)若DE=2,求。。的半徑.

40.(2020?福建)如圖，AB與。。相切于點(diǎn)B,AO交。0于點(diǎn)C,A。的延長線交。。于點(diǎn)

E是面上不與5,。重合的點(diǎn)，sinA=工.

2

(1)求NBED的大小;

(2)若。。的半徑為3,點(diǎn)尸在A8的延長線上，且8F=3?,求證：。尸與。。相切.

2020年全國中考數(shù)學(xué)真題分類精選匯編：《圓》解答題（二）含答

案

參考答案與試題解析

—.解答題（共40小題）

1.（2020?廣州）如圖，。。為等邊△ABC的外接圓，半徑為2,點(diǎn)。在劣弧靠上運(yùn)動（不與

點(diǎn)4,B重合），連接D4,DB,DC.

（1）求證：DC是NAOB的平分線；

（2）四邊形A。8c的面積S是線段OC的長x的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果

不是，請說明理由；

（3）若點(diǎn)M,N分別在線段C4,CB上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)。運(yùn)動到每一

個確定的位置，XDMN的周長有最小值t,隨著點(diǎn)D的運(yùn)動，f的值會發(fā)生變化，求所有t

值中的最大值.

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得/ABC=NBAC=NACB=60°,圓周角定理可得/

ADC^ZBDC=60°,可得結(jié)論；

（2）將△AOC繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△8"C,可證△￡>CH是等邊三角形，可得四邊

形ADBC的面積S—S^ADC+S^BDC—S^CDH=^-CD2,即可求解；

4

（3）作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E,作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)F,由軸對稱的性質(zhì)可

得EM=DM,DN=NF,可得△OWN的周長=￡>M+ON+MN=FN+EM+MV,則當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)M,

點(diǎn)N,點(diǎn)尸四點(diǎn)共線時，的周長有最小值，即最小值為EF=f,由軸對稱的性質(zhì)可求

CD=CE=CF,NECF=120。，由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求EF=2PE=

MEC=?C￡>=r,則當(dāng)CD為直徑時，/有最大值為4?.

【解答】證明：（1）:△ABC是等邊三角形，

/ABC=N8AC=/AC2=60°,

VZADC=ZABC=60a,ZBDC=ZBAC=60°,

ZADC=ZBDC,

.,.■DC是NAO8的平分線；

(2)四邊形A。8c的面積S是線段。C的長x的函數(shù)，

理由如下：

如圖1,將△AOC繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△B”C,

:.CD=CH,4DAC=4HBC,

V四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形,

,ND4C+NZ)BC=180°,

：.ZDBC+ZHBC^\S0°,

...點(diǎn)。，點(diǎn)8,點(diǎn)，三點(diǎn)共線,

VDC=CH,ZCDH=60°,

是等邊三角形，

2

???四邊形ADBC的面積S=SMDC+SABDC=SACDH=J^JCD,

_4

(2?<xW4)；

4

(3)如圖2,作點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E,作點(diǎn)。關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)F,

圖2

?.?點(diǎn)。，點(diǎn)E關(guān)于直線AC對稱,

:.EM=DM,

同理DN=NF,

ADMN的周長=Z）M+LW+MN=FN+EM+MN,

二當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)M,點(diǎn)M點(diǎn)尸四點(diǎn)共線時，△OMN的周長有最小值，

則連接EF,交AC于交8c于N,連接CE,CF,DE,DF,作CP_LEF于尸，

△QMN的周長最小值為EF=t,

?.?點(diǎn)。，點(diǎn)E關(guān)于直線AC對稱，

：.CE=CD,ZACE=ZACD,

:點(diǎn)。，點(diǎn)F關(guān)于直線BC對稱，

：.CF=CD,ZDCB=ZFCB,

：.CD=CE=CF,/ECF=NACE+NACD+NDCB+NFCB=2NACB=120°,

'：CPLEF,CE=CF,NEC尸=120°,

：.EP=PF,NCEP=3O°,

APC=1￡C,PE=4^PC=^-EC,

22

EF=2PE=?K=M3D=t,

.?.當(dāng)CD有最大值時，EF有最大值，即f有最大值，

：CO為00的弦，

二CD為直徑時，CD有最大值4,

的最大值為4次.

【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對

稱的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

2.（2020?株洲）AB是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)，連接AC、BC,直線MN過點(diǎn)C,滿

足NBCM=NBAC=oc.

E

圖①圖②

(1)如圖①，求證：直線MN是。0的切線;

(2)如圖②，點(diǎn)。在線段BC上，過點(diǎn)D作DHLMN于點(diǎn)H,直線。”交。。于點(diǎn)E、F,

連接AF并延長交直線MN于點(diǎn)G,連接CE,且CE=a,若。。的半徑為1,cosa=旦，求

34

AG'ED的值.

【分析】(1)由圓周角定理的推論和直角三角形的性質(zhì)可得/A+/8=90°,由0C=02可

得NB=NOCB,推出NOC8+NBCM=90°,從而可得結(jié)論；

(2)由已知條件易求出AC的長，根據(jù)對頂角相等和圓周角定理可得NGF”=NACE,根據(jù)

余角的性質(zhì)可得NEC￡?=NAGC,進(jìn)而可得△E￡>CS/\ACG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)變形可

^AG-DE=AC'CE,即可求出結(jié)果.

【解答】(1)證明：連接0C,如圖①，

「AB是。。的直徑,

NACB=90°,

AZA+ZB=90°,

OC=OB,

：.ZB=ZOCB,

'：ZBCM=ZA,

：.ZOCB+ZBCM=90Q,B|JOCLMN,

是O。的切線；

(2)解：如圖②，；AB是。。的直徑，的半徑為1,

??AB=2,

VCOSZBAC=COSQ=-^-=-5-,即

AB424

?3

,?AC而'

VZAFE=ZACE,/GFH=NAFE,

：.ZGFH=ZACE,

?；DH1MN,

：.ZGFH+ZAGC=90°,

VZACE+ZECD=90°,

：.ZECD=ZAGC,

又?：/DEC=/CAG,

:?叢EDCs叢ACG,

???,ED一二EC一，

ACAG

o55

??AG-DE=AC'CE-f

L?OC?

【點(diǎn)評】本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形、圓周角定理的推

論以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，屬于?？碱}型，熟練掌握切線的判定和相似三角形

的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2020?孝感)已知△ABC內(nèi)接于OO,AB=AC,ZABC的平分線與。0交于點(diǎn)D,與AC

交于點(diǎn)E,連接C。并延長與00過點(diǎn)A的切線交于點(diǎn)尸，記/8AC=a.

(1)如圖1,若a=60°,

①直接寫出篇的值為__1_;

②當(dāng)00的半徑為2時，直接寫出圖中陰影部分的面積為_￡返二2匚；

—2-3―

(2)如圖2,若a<60°,且巫_=2,DE=4,求8E的長.

圖1圖2

【分析】(1)①由切線的性質(zhì)得：N0A尸=90°,證明△ABC是等邊三角形，

得NABC=/ACB=/BAC=60°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理證明/BAC=90°,可知BD

是。。的直徑，由圓周角，弧，弦的關(guān)系得AO=C￡>,說明△AQF是含30度的直角三角形，

得AD=C￡>=2。凡可解答；

②根據(jù)陰影部分的面積=5mAODF-S扇形04￡>=代入可得結(jié)論；

(2)如圖2,連接AD,連接AO并延長交。。于點(diǎn)，，連接?！?，則NAD〃=90°,先證

明△AOF絲△AOE(ASA),得DF=DE=4,由已知得。C=6,證明△CQEs/XBQC,列比

例式可得80=9,從而解答即可.

【解答】解：(1)如圖1,連接OA,AD,

圖1

是OO的切線，

NOAF=90°,

'：AB=AC,ZBAC=60°,

二AABC是等邊三角形，

ZABC=NAC8=NR4c=60°,

：BO平分NABC,

AZABD=ZCBD=30°,

VZADB=ZACB=60°,

AZBAD=90Q,

???3。是OO的直徑，

*：OA=OB=OD,

：.ZABO=ZOAB=30°,ZOAD=ZADO=60°,

?：ZBDC=ZBAC=60°,

...NA。尸=180°-60°-60°=60°=ZOAD,

：.OA//DF9

/.ZF=180°-ZOAF=90°,

VZDAF=30°,

：.AD=2DF.

,//ABD=/CBD,

AAD=CD.

:?AD=CD,

；?CD=2DF,

?更”，

"DC~2

故答案為：A；

2

②???。0的半徑為2,

：.AD=OA=2,DF=\,

VZAOD=60°,

,陰影部分的面積為：S梯形AODF-S扇形OAD=—(DF+OA)"6。？*2

2360

6QHX4=3V32^.

|xV^(i+2)-

36023

故答案為：三應(yīng)工；

23

(2)如圖2,連接AO,連接A。并延長交。0于點(diǎn)“，連接則NAQ〃=90°,

曲

；.NDAH+NDHA=90°,

??工廠與O。相切，

/.ZDAH+ZDAF=ZFAO=90°,

：.ZDAF=ZDHAf

?.,8。平分NA8C,

???/ABD=NCBD,

VAD=CD>

???ZCAD=ZDHA=ZDAF,

U：AB=AC,

：./ABC=NAC8,

?.?四邊形ABC。內(nèi)接于。。，

ZABC+ZADC=iSO°,

VZADF+ZADC=180°,

，ZADF=N4BC,

ZADB=ZACB=ZABC,

：.ZADF=NADB,

在△ADF和△ADE中

fZDAF=ZDAE

AD=AD，

ZADF=ZADE

AAADF^AADE(ASA),

；.DF=DE=4,

?,?—DF二—2,

DC3

???OC=6,

?「ZDCE=ZABD=/DBC,ZCDE=/CDE,

:ACDES/\BDC,

生理，即上4

DBCDBD6

：,BD=9,

：.BE=DB-DE=9-4=5.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，相

似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解

此題的關(guān)鍵.

4.(2020?鄂州)如圖所示：與△ABC的邊BC相切于點(diǎn)C,與AC、分別交于點(diǎn)。、E,

DE//OB.0c是。。的直徑.連接OE,過C作CG〃OE交00于G,連接。G、EC,DG

與EC交于點(diǎn)F.

(1)求證：直線AB與。。相切；

(2)求證：AE-ED=AC-EF-,

(3)若EF=3,tanN4CE=Uf,過A作AN〃CE交。。于M、N兩點(diǎn)(M在線段AN上)，

2

【分析】(1)證明△BOEg/XBOCCSSS)可得結(jié)論.

(2)連接EG.證明△AECsaEFG可得結(jié)論.

(3)過點(diǎn)。作0//LAN于從解直角三角形求出。E=EC,CD,利用相似三角形的性質(zhì)求

出E,AC,AO,求出AH,HN即可解決問題.

【解答】(1)證明：CO是直徑，

AZDEC=90°,

：.DE±EC,

?:DE"OB,

，OBA-EC,

：?0B垂直平分線段EC,

,BE=EC,OE=OC,

'：OB=OB,

：./\OBE^AOBC(SSS),

：.ZOEB=ZOCBf

??,3C是。。的切線，

/.OCLBC,

：.ZOCB=90°,

：.ZOEB=90°,

???OE±ABf

???AB是OO的切線.

(2)證明：連接EG.

???CQ是直徑，

：.ZDGC=90°,

ACG1DG,

■:CG//OE,

：.OE_LZ)G,

，征=就，

:?DE=EG,

「A瓦LOE,DG.LOE,

：.AE//DG,

：.ZEAC=ZGDC,

?；/GDC=NGEF,

:.NGEF=NEAC,

?：NEGF=NECA,

???△AECSXEFG,

?AE=AC?

，

**EFEG

?：EG=DE,

：?AE?DE=AC?EF.

(3)解：過點(diǎn)。作O"_LAN于".

VDE=EG>

:?/EDG=/ACE,

/.tanZEDF=tanZACE=l.=邁，

2DEEC

?；EF=3,

：.DE=6,。尸=3遙，EC=12,CD=JDE2+EC：2=6遙，

VZAED+ZOED=90°,NOED+NOEC=90°,

???/AED=NOEC,

,:OE=OC,

：.ZOEC=ZOCE,

：./AED=/ACE,

'：ZEAD=ZEAC,

AAE=DE_AD=2,

**ACECAET

，可以假設(shè)AC=2x,

2

\'AE=AD^ACf

(2x-6^/5)*2x,

解得x=4巡(x=O舍去)，

???AE=4遍AC=8代，AD=2后,OA=5后,

■:EC//NN,

：.ZOAH=ZACE,

tanZOAH=tanNACE=01=_L,

AH2

：?OH=5,4”=1O,

?：OHLMN,

:?HM=HN,連接OM，則MH=HN=也解(十)2七2=2遙,

:.AN=AH+HN=10+2娓.

B

【點(diǎn)評】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形

解決問題，屬于中考壓軸題.

5.(2020?煙臺)如圖，在口ABCD中，Z￡>=60°,對角線4CJ_BC,經(jīng)過點(diǎn)A,B,與AC

交于點(diǎn)M,連接40并延長與。。交于點(diǎn)F,與CB的延長線交于點(diǎn)E,AB=EB.

(1)求證：EC是的切線；

(2)若AO=2百，求贏的長(結(jié)果保留n).

【分析】(1)證明：連接OB,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到N4BC=NO=6()。，求得/8AC

=30°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到/A8O=NOAB=30°,于是得

到結(jié)論；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到BC=AD=2g過。作OHLAM于H,則四邊形OBCH

是矩形，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接。8,連接OM,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

；./ABC=/。=60°,

'JACLBC,

NACB=90°,

，NBAC=30°，

,:BE=AB,

:"E=/BAE,

VZABC^ZE+ZBAE=60a,

NE=NBAE=30°,

"：OA=OB,

，NABO=NOAB=30°,

：.ZOBC=300+60°=90°,

OBICE,

，EC是。。的切線；

(2)解：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

:.BC=AD=2M，

過。作OHA.AM于H,

則四邊形OBCH是矩形，

/.O”=BC=2料，

：.OA=―01?—=4,NAOM=2NAOH=60°,

sin600

氤的長度=60?兀><4=".

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，弧長的計(jì)算，正

確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

6.(2020?婁底)如圖，點(diǎn)C在以A2為直徑的。。上，BD平分NABC交。0于點(diǎn)D,過。作

8c的垂線，垂足為E.

(1)求證：OE與。。相切；

(2)若AB=5,BE=4,求8。的長；

(3)請用線段AB、BE表示CE的長，并說明理由.

E

D

0

【分析】(1)連接on根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的定義得到/or?B=NC8￡>,根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到ODLDE,于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)圓周角定理得到NA￡>2=90°,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)過。作OHLAB于根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。H=Z)E,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接on,

?：OD=OB,

："ODB=NOBD,

：8。平分/ABC,

：.NOBD=/CBD,

：.ZODB=ZCBD,

C.OD//BE,

；BELDE,

.".OD1.DE,

...DE與。。相切；

(2)解：是。。的直徑，

.?.乙4。8=90°,

,：BEA.DE,

：.ZADB=ZBED=90°,

：8。平分NABC,

；.NOBD=NCBD,

：./\ABD^ADBE,

.ABBD

'*BD=BE"

.__5_=BD；

,?而

:.BD=2店;

(3)解：結(jié)論CE=AB-BE,

理由：過。作OH_LAB于H,

：8。平分/ABC,DELBE,

：.DH=DE,

在RtABED與Rt/XBHD中，JDE=DH,

lBD=BD

Rt/\BED^RtABHD(HL),

：.BH=BE,

,：Z.DCE^ZA,NO”A=NOEC=90°,

：./\ADH^ACDECAAS),

：.AH=CE,

?；AB=AH+BH,

：.AB=BE+CE,

：.CE=AB-BE.

【點(diǎn)評】本題考查了切線的判定，角平分線的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，熟練掌握切線的判定及全等三角形的判定與性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

7.（2020?恩施州）如圖1,AB是00的直徑，直線AM與?O相切于點(diǎn)A,直線8N與。0相

切于點(diǎn)B,點(diǎn)C（異于點(diǎn)A）在AM上，點(diǎn)。在。。上，且C￡>=C4,延長CO與BN相交

于點(diǎn)E,連接A￡）并延長交BN于點(diǎn)尸.

圖1圖2

(1)求證：CE是00的切線；

(2)求證：BE=EF；

(3)如圖2,連接E。并延長與。。分別相交于點(diǎn)G、H,連接BH.若4B=6,AC=4,求

tanZBHE.

【分析】(1)連接0￡>,根據(jù)等邊對等角可知：NCAD=NCDA,ZOAD^ZODA,再根據(jù)

切線的性質(zhì)可知NC4O=NCAD+NOA￡>=NCD4+/OD4=90°=N0DC,由切線的判定

定理可得結(jié)論；

(2)連接BD,根據(jù)等邊對等角可知N0B。，再根據(jù)切線的性質(zhì)可知NOQE=/

OBE=90°,由等量減等量差相等得再根據(jù)等角對等邊得到ED=EB,然

后根據(jù)平行線的性質(zhì)及對頂角相等可得推出由此得出結(jié)論；

(3)過E點(diǎn)作EL_LAM于L根據(jù)勾股定理可求出BE的長，即可求出lan/BOE的值，再

利用倍角公式即可求出tanZBHE的值.

【解答】解：(1)如圖1中，連接0D,

'：CD=CA,

：.ZCAD=ZCDA,

\"OA=OD

：.ZOAD=ZODA,

?.,直線AM與。0相切于點(diǎn)A,

NCAO=/CAD+NOAO=90°,

AZODC=ZCDA+ZODA=90°,

；.CE是。。的切線.

(2)如圖1中，連接8。,

OD=OB,

；?NODB=/OBD,

???CE是OO的切線，8尸是OO的切線,

：.ZOBD=ZODE=90°,

：,/EDB=/EBD,

：.ED=EB,

?.?AM_LAB,BN工AB,

:?AM〃BN,

???NCAD=/BFD,

*：ZCAD=ZCDA=ZEDF,

1?NBFD=NEDF,

：,EF=ED,

：.BE=EF.

(3)如圖2中，過E點(diǎn)作項(xiàng)4AM于L,則四邊形ABEL是矩形,

圖2

設(shè)BE=x,貝(JCL=4-x,CE=4+x,

/.(4+x)2=(4-x)2+62,

解得：尸旦，

4

旦

tan/BOE=^-=^~整，

tan乙DUEOB34

,/ZBOE=2ZBHE,

?/“l(fā)2tanZBHE3,

??tanZBOE=--5-------

1-tanZBHE4

解得：tanNB4E=2或-3(-3不合題意舍去),

3

tanZB//E=A.

3

補(bǔ)充方法：如圖2中，作〃/_LEB交EB的延長線于J.

VtanZB(?￡=M=A,

OB4

.?.可以假設(shè)BE=3A,OB=4k,則OE=5Z,

,JOB//HJ,

OEEB

------

OB一

EHEJ

HT

5k3k

4k一

------

HT9kEJ

：.HJ=^-k,即=叫，

55

BJ=EJ-BE=2Lk-3仁鳥I

55

HJ3

---NBHE=NHBA=NBHJ,

tanZB//E=A.

圖1

【點(diǎn)評】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性

質(zhì)，三角函數(shù)/,勾股定理等知識，熟練掌握這些知識點(diǎn)并能熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?廣東）如圖1,在四邊形ABCZ）中，AD//BC,